Verzweigung periodischer Lösungen bei rein nichtlinearen Differentialgleichungssystemen in der Ebene

Zusammenfassung:In dieser Arbeit werden die Abzweigung stationärer Punkte und periodischer Lösungen von isolierten stationären Punkten rein nichtlinearer Differentialgleichungen in der reellenEbene betrachtet.Das erste Kapitel enthält einige technische Hilfsmittel, während im zweiten ausführlich das Verhalten von Differentialgleichungen in der Ebene mit zwei homogenen Polynomen gleichen Grades als rechter Seite diskutiert wird.Im dritten Kapitel beginnt der Hauptteil der Arbeit. Hier wird eine Verallgemeinerung des Hopf'schen Verzweigungssatzes bewiesen, der den klassischen Satz als Spezialfall enthält.Im vierten Kapitel untersuchen wir die Abzweigung stationärer Punkte und im letzten Kapitel die Abzweigung periodischer Lösungen unter Störungen, deren Ordnung echt kleiner ist, als die erste nichtverschwindende Näherung der ungestörten Gleichung.Alle Voraussetzungen in dieser Arbeit sind leicht nachzurechnen und es werden zahlreiche Beispiele ausführlich diskutiert.

Dispersion approach to real and virtual Compton scattering

In recent years, new precision experiments have become possible withthe high luminosity accelerator facilities at MAMIand JLab, supplyingphysicists with precision data sets for different hadronic reactions inthe intermediate energy region, such as pion photo- andelectroproduction and real and virtual Compton scattering.By means of the low energy theorem (LET), the global properties of thenucleon (its mass, charge, and magnetic moment) can be separated fromthe effects of the internal structure of the nucleon, which areeffectively described by polarizabilities. Thepolarizabilities quantify the deformation of the charge andmagnetization densities inside the nucleon in an applied quasistaticelectromagnetic field. The present work is dedicated to develop atool for theextraction of the polarizabilities from these precise Compton data withminimum model dependence, making use of the detailed knowledge of pionphotoproduction by means of dispersion relations (DR). Due to thepresence of t-channel poles, the dispersion integrals for two ofthe six Compton amplitudes diverge. Therefore, we have suggested to subtract the s-channel dispersion integrals at zero photon energy($nu=0$). The subtraction functions at $nu=0$ are calculated through DRin the momentum transfer t at fixed $nu=0$, subtracted at t=0. For this calculation, we use the information about the t-channel process, $gammagammatopipito Nbar{N}$. In this way, four of thepolarizabilities can be predicted using the unsubtracted DR in the $s$-channel. The other two, $alpha-beta$ and $gamma_pi$, are free parameters in ourformalism and can be obtained from a fit to the Compton data.We present the results for unpolarized and polarized RCS observables,%in the kinematics of the most recent experiments, and indicate anenhanced sensitivity to the nucleon polarizabilities in theenergy range between pion production threshold and the $Delta(1232)$-resonance.newlineindentFurthermore,we extend the DR formalism to virtual Compton scattering (radiativeelectron scattering off the nucleon), in which the concept of thepolarizabilities is generalized to the case of avirtual initial photon by introducing six generalizedpolarizabilities (GPs). Our formalism provides predictions for the fourspin GPs, while the two scalar GPs $alpha(Q^2)$ and $beta(Q^2)$ have to befitted to the experimental data at each value of $Q^2$.We show that at energies betweenpion threshold and the $Delta(1232)$-resonance position, thesensitivity to the GPs can be increased significantly, as compared tolow energies, where the LEX is applicable. Our DR formalism can be used for analysing VCS experiments over a widerange of energy and virtuality $Q^2$, which allows one to extract theGPs from VCS data in different kinematics with a minimum of model dependence.

Quadraturformeln für das Qualokationsverfahren

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht Beweis der Existenz- und Eindeutigkeit von Quadraturformeln, die für das Qualokationsverfahren geeignet sind. Letzteres ist ein von Sloan, Wendland und Chandler entwickeltes Verfahren zur numerischen Behandlung von Randintegralgleichungen auf glatten Kurven (allgemeiner: periodische Pseudodifferentialgleichungen). Es erreicht die gleichen Konvergenzordnungen wie das Petrov-Galerkin-Verfahren, wenn man durch den Operator bestimmte Quadraturformeln verwendet. Zunächst werden die hier behandelten Pseudodifferentialoperatoren und das Qualokationsverfahren vorgestellt. Anschließend wird eine Theorie zur Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln entwickelt. Ein wesentliches Hilfsmittel hierzu ist die hier bewiesene Verallgemeinerung eines Satzes von Nürnberger über die Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln mit positiven Gewichten, die exakt für Tschebyscheff-Räume sind. Es wird schließlich gezeigt, dass es stets eindeutig bestimmte Quadraturformeln gibt, welche die in den Arbeiten von Sloan und Wendland formulierten Bedingungen erfüllen. Desweiteren werden 2-Punkt-Quadraturformeln für so genannte einfache Operatoren bestimmt, mit welchen das Qualokationsverfahren mit einem Testraum von stückweise konstanten Funktionen eine höhere Konvergenzordnung hat. Außerdem wird gezeigt, dass es für nicht-einfache Operatoren im Allgemeinen keine Quadraturformel gibt, mit der die Konvergenzordnung höher als beim Petrov-Galerkin-Verfahren ist. Das letzte Kapitel beinhaltet schließlich numerische Tests mit Operatoren mit konstanten und variablen Koeffizienten, welche die theoretischen Ergebnisse der vorangehenden Kapitel bestätigen.

Novel simulation methods for Coulomb and hydrodynamic interactions

This thesis presents new methods to simulate systems with hydrodynamic and electrostatic interactions. Part 1 is devoted to computer simulations of Brownian particles with hydrodynamic interactions. The main influence of the solvent on the dynamics of Brownian particles is that it mediates hydrodynamic interactions. In the method, this is simulated by numerical solution of the Navier--Stokes equation on a lattice. To this end, the Lattice--Boltzmann method is used, namely its D3Q19 version. This model is capable to simulate compressible flow. It gives us the advantage to treat dense systems, in particular away from thermal equilibrium. The Lattice--Boltzmann equation is coupled to the particles via a friction force. In addition to this force, acting on {it point} particles, we construct another coupling force, which comes from the pressure tensor. The coupling is purely local, i.~e. the algorithm scales linearly with the total number of particles. In order to be able to map the physical properties of the Lattice--Boltzmann fluid onto a Molecular Dynamics (MD) fluid, the case of an almost incompressible flow is considered. The Fluctuation--Dissipation theorem for the hybrid coupling is analyzed, and a geometric interpretation of the friction coefficient in terms of a Stokes radius is given. Part 2 is devoted to the simulation of charged particles. We present a novel method for obtaining Coulomb interactions as the potential of mean force between charges which are dynamically coupled to a local electromagnetic field. This algorithm scales linearly, too. We focus on the Molecular Dynamics version of the method and show that it is intimately related to the Car--Parrinello approach, while being equivalent to solving Maxwell's equations with freely adjustable speed of light. The Lagrangian formulation of the coupled particles--fields system is derived. The quasi--Hamiltonian dynamics of the system is studied in great detail. For implementation on the computer, the equations of motion are discretized with respect to both space and time. The discretization of the electromagnetic fields on a lattice, as well as the interpolation of the particle charges on the lattice is given. The algorithm is as local as possible: Only nearest neighbors sites of the lattice are interacting with a charged particle. Unphysical self--energies arise as a result of the lattice interpolation of charges, and are corrected by a subtraction scheme based on the exact lattice Green's function. The method allows easy parallelization using standard domain decomposition. Some benchmarking results of the algorithm are presented and discussed.

On the geometry of the spin-statistics connection in quantum mechanics

The Spin-Statistics theorem states that the statistics of a system of identical particles is determined by their spin: Particles of integer spin are Bosons (i.e. obey Bose-Einstein statistics), whereas particles of half-integer spin are Fermions (i.e. obey Fermi-Dirac statistics). Since the original proof by Fierz and Pauli, it has been known that the connection between Spin and Statistics follows from the general principles of relativistic Quantum Field Theory. In spite of this, there are different approaches to Spin-Statistics and it is not clear whether the theorem holds under assumptions that are different, and even less restrictive, than the usual ones (e.g. Lorentz-covariance). Additionally, in Quantum Mechanics there is a deep relation between indistinguishabilty and the geometry of the configuration space. This is clearly illustrated by Gibbs' paradox. Therefore, for many years efforts have been made in order to find a geometric proof of the connection between Spin and Statistics. Recently, various proposals have been put forward, in which an attempt is made to derive the Spin-Statistics connection from assumptions different from the ones used in the relativistic, quantum field theoretic proofs. Among these, there is the one due to Berry and Robbins (BR), based on the postulation of a certain single-valuedness condition, that has caused a renewed interest in the problem. In the present thesis, we consider the problem of indistinguishability in Quantum Mechanics from a geometric-algebraic point of view. An approach is developed to study configuration spaces Q having a finite fundamental group, that allows us to describe different geometric structures of Q in terms of spaces of functions on the universal cover of Q. In particular, it is shown that the space of complex continuous functions over the universal cover of Q admits a decomposition into C(Q)-submodules, labelled by the irreducible representations of the fundamental group of Q, that can be interpreted as the spaces of sections of certain flat vector bundles over Q. With this technique, various results pertaining to the problem of quantum indistinguishability are reproduced in a clear and systematic way. Our method is also used in order to give a global formulation of the BR construction. As a result of this analysis, it is found that the single-valuedness condition of BR is inconsistent. Additionally, a proposal aiming at establishing the Fermi-Bose alternative, within our approach, is made.

Higher-order calculations in manifestly Lorentz-invariant baryon chiral perturbation theory

This thesis is concerned with calculations in manifestly Lorentz-invariant baryon chiral perturbation theory beyond order D=4. We investigate two different methods. The first approach consists of the inclusion of additional particles besides pions and nucleons as explicit degrees of freedom. This results in the resummation of an infinite number of higher-order terms which contribute to higher-order low-energy constants in the standard formulation. In this thesis the nucleon axial, induced pseudoscalar, and pion-nucleon form factors are investigated. They are first calculated in the standard approach up to order D=4. Next, the inclusion of the axial-vector meson a_1(1260) is considered. We find three diagrams with an axial-vector meson which are relevant to the form factors. Due to the applied renormalization scheme, however, the contributions of the two loop diagrams vanish and only a tree diagram contributes explicitly. The appearing coupling constant is fitted to experimental data of the axial form factor. The inclusion of the axial-vector meson results in an improved description of the axial form factor for higher values of momentum transfer. The contributions to the induced pseudoscalar form factor, however, are negligible for the considered momentum transfer, and the axial-vector meson does not contribute to the pion-nucleon form factor. The second method consists in the explicit calculation of higher-order diagrams. This thesis describes the applied renormalization scheme and shows that all symmetries and the power counting are preserved. As an application we determine the nucleon mass up to order D=6 which includes the evaluation of two-loop diagrams. This is the first complete calculation in manifestly Lorentz-invariant baryon chiral perturbation theory at the two-loop level. The numerical contributions of the terms of order D=5 and D=6 are estimated, and we investigate their pion-mass dependence. Furthermore, the higher-order terms of the nucleon sigma term are determined with the help of the Feynman-Hellmann theorem.

Pseudodifferential analysis in Psi*-algebras on transmission spaces, infinite solving ideal chains and K-theory for conformally compact spaces

The present thesis is a contribution to the theory of algebras of pseudodifferential operators on singular settings. In particular, we focus on the $b$-calculus and the calculus on conformally compact spaces in the sense of Mazzeo and Melrose in connection with the notion of spectral invariant transmission operator algebras. We summarize results given by Gramsch et. al. on the construction of $Psi_0$-and $Psi*$-algebras and the corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutators of certain closed operators and derivations. In the case of a manifold with corners $Z$ we construct a $Psi*$-completion $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ of the algebra of zero order $b$-pseudodifferential operators $Psi_{b,cl}(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in the corresponding $C*$-closure $B(Z,{}^bOmega^{12})hookrightarrow L(L^2(Z,{}^bOmega^{1/2}))$. The construction will also provide that localised to the (smooth) interior of Z the operators in the $A_b(Z, {}^bOmega^{1/2})$ can be represented as ordinary pseudodifferential operators. In connection with the notion of solvable $C*$-algebras - introduced by Dynin - we calculate the length of the $C*$-closure of $Psi_{b,cl}^0(F,{}^bOmega^{1/2},R^{E(F)})$ in $B(F,{}^bOmega^{1/2}),R^{E(F)})$ by localizing $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ along the boundary face $F$ using the (extended) indical familiy $I^B_{FZ}$. Moreover, we discuss how one can localise a certain solving ideal chain of $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in neighbourhoods $U_p$ of arbitrary points $pin Z$. This localisation process will recover the singular structure of $U_p$; further, the induced length function $l_p$ is shown to be upper semi-continuous. We give construction methods for $Psi*$- and $C*$-algebras admitting only infinite long solving ideal chains. These algebras will first be realized as unconnected direct sums of (solvable) $C*$-algebras and then refined such that the resulting algebras have arcwise connected spaces of one dimensional representations. In addition, we recall the notion of transmission algebras on manifolds with corners $(Z_i)_{iin N}$ following an idea of Ali Mehmeti, Gramsch et. al. Thereby, we connect the underlying $C^infty$-function spaces using point evaluations in the smooth parts of the $Z_i$ and use generalized Laplacians to generate an appropriate scale of Sobolev spaces. Moreover, it is possible to associate generalized (solving) ideal chains to these algebras, such that to every $ninN$ there exists an ideal chain of length $n$ within the algebra. Finally, we discuss the $K$-theory for algebras of pseudodifferential operators on conformally compact manifolds $X$ and give an index theorem for these operators. In addition, we prove that the Dirac-operator associated to the metric of a conformally compact manifold $X$ is not a Fredholm operator.

Pseudodifferentialoperatoren mit nichtregulären banachraumwertigen Symbolen

Untersucht werden in der vorliegenden Arbeit Versionen des Satzes von Michlin f¨r Pseudodiffe- u rentialoperatoren mit nicht-regul¨ren banachraumwertigen Symbolen und deren Anwendungen a auf die Erzeugung analytischer Halbgruppen von solchen Operatoren auf vektorwertigen Sobo- levr¨umen Wp (Rn

Algebraische Zyklen auf abelschen Varietäten der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ (1,2,2,2)

Diese Arbeit besch"aftigt sich mit algebraischen Zyklen auf komplexen abelschen Variet"aten der Dimension 4. Ziel der Arbeit ist ein nicht-triviales Element in $Griff^{3,2}(A^4)$ zu konstruieren. Hier bezeichnet $A^4$ die emph{generische} abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$. Die ersten drei Kapitel sind eine Wiederholung von elementaren Definitionen und Begriffen und daher eine Festlegung der Notation. In diesen erinnern wir an elementare Eigenschaften der von Saito definierten Filtrierungen $F_S$ und $Z$ auf den Chowgruppen (vgl. cite{Sa0} und cite{Sa}). Wir wiederholen auch eine Beziehung zwischen der $F_S$-Filtrierung und der Zerlegung von Beauville der Chowgruppen (vgl. cite{Be2} und cite{DeMu}), welche aus cite{Mu} stammt. Die wichtigsten Begriffe in diesem Teil sind die emph{h"ohere Griffiths' Gruppen} und die emph{infinitesimalen Invarianten h"oherer Ordnung}. Dann besch"aftigen wir uns mit emph{verallgemeinerten Prym-Variet"aten} bez"uglich $(2:1)$ "Uberlagerungen von Kurven. Wir geben ihre Konstruktion und wichtige geometrische Eigenschaften und berechnen den Typ ihrer Polarisierung. Kapitel ref{p-moduli} enth"alt ein Resultat aus cite{BCV} "uber die Dominanz der Abbildung $p(3,2):mathcal R(3,2)longrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$. Dieses Resultat ist von Relevanz f"ur uns, weil es besagt, dass die generische abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$ eine verallgemeinerte Prym-Variet"at bez"uglich eine $(2:1)$ "Uberlagerung einer Kurve vom Geschlecht $7$ "uber eine Kurve vom Geschlecht $3$ ist. Der zweite Teil der Dissertation ist die eigentliche Arbeit und ist auf folgende Weise strukturiert: Kapitel ref{Deg} enth"alt die Konstruktion der Degeneration von $A^4$. Das bedeutet, dass wir in diesem Kapitel eine Familie $Xlongrightarrow S$ von verallgemeinerten Prym-Variet"aten konstruieren, sodass die klassifizierende Abbildung $Slongrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$ dominant ist. Desweiteren wird ein relativer Zykel $Y/S$ auf $X/S$ konstruiert zusammen mit einer Untervariet"at $Tsubset S$, sodass wir eine explizite Beschreibung der Einbettung $Yvert _Thookrightarrow Xvert _T$ angeben k"onnen. Das letzte und wichtigste Kapitel enth"ahlt Folgendes: Wir beweisen dass, die emph{ infinitesimale Invariante zweiter Ordnung} $delta _2(alpha)$ von $alpha$ nicht trivial ist. Hier bezeichnet $alpha$ die Komponente von $Y$ in $Ch^3_{(2)}(X/S)$ unter der Beauville-Zerlegung. Damit und mit Hilfe der Ergebnissen aus Kapitel ref{Cohm} k"onnen wir zeigen, dass [ 0neq [alpha ] in Griff ^{3,2}(X/S) . ] Wir k"onnen diese Aussage verfeinern und zeigen (vgl. Theorem ref{a4}) begin{theorem}label{maintheorem} F"ur $sin S$ generisch gilt [ 0neq [alpha _s ]in Griff ^{3,2}(A^4) , ] wobei $A^4$ die generische abelsche Variet"at der Dimension $4$ mit Polarisierung vom Typ $(1,2,2,2)$ ist. end{theorem}

Thermal Casimir effect at fluid interfaces: Fluctuation-induced forces between anisotropic colloids

We study the effective interaction between two ellipsoidal particles at the interface of two fluid phases which are mediated by thermal fluctuations of the interface. Within a coarse-grained picture, the properties of fluid interfaces are very well described by an effective capillary wave Hamiltonian which governs both the equilibrium interface configuration and the thermal fluctuations (capillary waves) around this equilibrium (or mean-field) position. As postulated by the Goldstone theorem the capillary waves are long-range correlated. The interface breaks the continuous translational symmetry of the system, and in the limit of vanishing external fields - like gravity - it has to be accompanied by easily excitable long wavelength (Goldstone) modes – precisely the capillary waves. In this system the restriction of the long-ranged interface fluctuations by particles gives rise to fluctuation-induced forces which are equivalent to interactions of Casimir type and which are anisotropic in the interface plane. Since the position and the orientation of the colloids with respect to the interface normal may also fluctuate, this system is an example for the Casimir effect with fluctuating boundary conditions. In the approach taken here, the Casimir interaction is rewritten as the interaction between fluctuating multipole moments of an auxiliary charge density-like field defined on the area enclosed by the contact lines. These fluctuations are coupled to fluctuations of multipole moments of the contact line position (due to the possible position and orientational fluctuations of the colloids). We obtain explicit expressions for the behavior of the Casimir interaction at large distances for arbitrary ellipsoid aspect ratios. If colloid fluctuations are suppressed, the Casimir interaction at large distances is isotropic, attractive and long ranged (double-logarithmic in the distance). If, however, colloid fluctuations are included, the Casimir interaction at large distances changes to a power law in the inverse distance and becomes anisotropic. The leading power is 4 if only vertical fluctuations of the colloid center are allowed, and it becomes 8 if also orientational fluctuations are included.

Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

Ausbreitung einer Infektion durch ein System Brownscher Bewegungen

In dieser Arbeit werden wir ein Modell untersuchen, welches die Ausbreitung einer Infektion beschreibt. Bei diesem Modell werden zunächst Partikel gemäß eines Poissonschen Punktprozesses auf der reellen Achse verteilt. Bis zu einem gewissen Punkt auf der reellen Achse sind alle Partikel von einer Infektion befallen. Während sich nicht infizierte Partikel nicht bewegen, folgen die infizierten Partikel den Pfaden von voneinander unabhängigen Brownschen Bewegungen und verbreitet die Infektion dabei an den Orten, welche sie betreten. Wenn sie dabei auf ein nicht infiziertes Partikel treffen, ist dieses von diesem Moment an auch infiziert und beginnt ebenfalls, dem Pfad einer Brownschen Bewegung zu folgen und die Infektion auszubreiten. Auf diese Art verschiebt sich nun der am weitesten rechts liegende Ort R_t, an dem die Infektion bereits verbreitet wurde. Wir werden mit Hilfe des subadditiven Ergodensatzes zeigen, dass sich dieser Ort mit linearer Geschwindigkeit fortbewegt. Ferner werden wir eine obere und eine untere Schranke für die Ausbreitungsgeschwindkeit angeben. Danach werden wir zeigen, dass der Prozess Regenerationszeiten hat, nämlich solche zufällige Zeiten, zu denen er eine Art Neustart unter speziellen Startbedingungen durchführt. Wir werden diese für eine weitere Charakterisierung der Ausbreitungsgeschwingkeit nutzen. Ferner erhalten wir durch die Regenerationszeiten auch einen Zentralen Grenzwertsatz für R_t und können zeigen, dass die Verteilung der infizierten Partikel aus Sicht des am weitesten rechts liegenden infizierten Ortes gegen eine invariante Verteilung konvergiert.

Formfaktor-Bestimmung des semileptonischen K +- pi 0 my +- ny-Zerfalls mit dem NA48/2-Experiment

Der semileptonische Zerfall K^±→π^0 μ^± υ ist ein geeigneter Kanal zur Be-stimmung des CKM-Matrixelementes 〖|V〗_us |. Das hadronische Matrixelement dieses Zerfalls wird durch zwei dimensionslose Formfaktoren f_± (t) beschrieben. Diese sind abhängig vom Impulsübertrag t=〖(p_K-p_π)〗^2 auf das Leptonpaar. Zur Bestimmung von 〖|V〗_us | dienen die Formfaktoren als wichtige Parameter zur Berechnung des Phasenraumintegrals dieses Zerfalls. Eine präzise Messung der Formfaktoren ist zusätzlich dadurch motiviert, dass das Resultat des NA48-Experimentes von den übrigen Messungen der Experimente KLOE, KTeV und ISTRA+ abweicht. Die Daten einer Messperiode des NA48/2 -Experimentes mit offenem Trigger aus dem Jahre 2004 wurden analysiert. Daraus wählte ich 1.8 Millionen K_μ3^±-Zerfallskandidaten mit einem Untergrundanteil von weniger als 0.1% aus. Zur Bestimmung der Formfaktoren diente die zweidimensionale Dalitz-Verteilung der Daten, nachdem sie auf Akzeptanz des Detektors und auf radiative Effekte korrigiert war. An diese Verteilung wurde die theoretische Parameter-abhängige Funktion mit einer Chiquadrat-Methode angepasst. Es ergeben sich für quadratische, Pol- und dispersive Parametrisierung folgende Formfaktoren: λ_0=(14.82±〖1.67〗_stat±〖0.62〗_sys )×〖10〗^(-3) λ_+^'=(25.53±〖3.51〗_stat±〖1.90〗_sys )×〖10〗^(-3) λ_+^''=( 1.40±〖1.30〗_stat±〖0.48〗_sys )×〖10〗^(-3) m_S=1204.8±〖32.0〗_stat±〖11.4〗_(sys ) MeV/c^2 m_V=(877.4±〖11.1〗_stat±〖11.2〗_(sys ) MeV/c^2 LnC=0.1871±〖0.0088〗_stat±〖0.0031〗_(sys )±=〖0.0056〗_ext Λ_+=(25.42±〖0.73〗_stat±〖0.73〗_(sys )±=〖1.52〗_ext )×〖10〗^(-3) Die Resultate stimmen mit den Messungen der Experimente KLOE, KTeV und ISTRA+ gut überein, und ermöglichen eine Verbesserung des globalen Fits der Formfaktoren. Mit Hilfe der dispersiven Parametrisierung der Formfaktoren, unter Verwendung des Callan-Treiman-Theorems, ist es möglich, einen Wert für f_± (0) zu bestimmen. Das Resultat lautet: f_+ (0)=0.987±〖0.011〗_(NA48/2)±〖0.008〗_(ext ) Der für f_+ (0) berechnete Wert stimmt im Fehler gut mit den vorherigen Messungen von KTeV, KLOE und ISTRA+ überein, weicht jedoch um knapp zwei Standardabweichungen von der theoretischen Vorhersage ab.

Ein inverses Rückstreuproblem der elektrischen Impedanztomographie

Die vorliegende Arbeit untersucht das inverse Hindernisproblem der zweidimensionalen elektrischen Impedanztomographie (EIT) mit Rückstreudaten. Wir präsentieren und analysieren das mathematische Modell für Rückstreudaten, diskutieren das inverse Problem für einen einzelnen isolierenden oder perfekt leitenden Einschluss und stellen zwei Rekonstruktionsverfahren für das inverse Hindernisproblem mit Rückstreudaten vor. Ziel des inversen Hindernisproblems der EIT ist es, Inhomogenitäten (sogenannte Einschlüsse) der elektrischen Leitfähigkeit eines Körpers aus Strom-Spannungs-Messungen an der Körperoberfläche zu identifizieren. Für die Messung von Rückstreudaten ist dafür nur ein Paar aus an der Körperoberfläche nahe zueinander angebrachten Elektroden nötig, das zur Datenerfassung auf der Oberfläche entlang bewegt wird. Wir stellen ein mathematisches Modell für Rückstreudaten vor und zeigen, dass Rückstreudaten die Randwerte einer außerhalb der Einschlüsse holomorphen Funktion sind. Auf dieser Grundlage entwickeln wir das Konzept des konvexen Rückstreuträgers: Der konvexe Rückstreuträger ist eine Teilmenge der konvexen Hülle der Einschlüsse und kann daher zu deren Auffindung dienen. Wir stellen einen Algorithmus zur Berechnung des konvexen Rückstreuträgers vor und demonstrieren ihn an numerischen Beispielen. Ferner zeigen wir, dass ein einzelner isolierender Einschluss anhand seiner Rückstreudaten eindeutig identifizierbar ist. Der Beweis dazu beruht auf dem Riemann'schen Abbildungssatz für zweifach zusammenhängende Gebiete und dient als Grundlage für einen Rekonstruktionsalgorithmus, dessen Leistungsfähigkeit wir an verschiedenen Beispielen demonstrieren. Ein perfekt leitender Einschluss ist hingegen nicht immer aus seinen Rückstreudaten rekonstruierbar. Wir diskutieren, in welchen Fällen die eindeutige Identifizierung fehlschlägt und zeigen Beispiele für unterschiedliche perfekt leitende Einschlüsse mit gleichen Rückstreudaten.