Ausbreitung einer Infektion durch ein System Brownscher Bewegungen

In dieser Arbeit werden wir ein Modell untersuchen, welches die Ausbreitung einer Infektion beschreibt. Bei diesem Modell werden zunächst Partikel gemäß eines Poissonschen Punktprozesses auf der reellen Achse verteilt. Bis zu einem gewissen Punkt auf der reellen Achse sind alle Partikel von einer Infektion befallen. Während sich nicht infizierte Partikel nicht bewegen, folgen die infizierten Partikel den Pfaden von voneinander unabhängigen Brownschen Bewegungen und verbreitet die Infektion dabei an den Orten, welche sie betreten. Wenn sie dabei auf ein nicht infiziertes Partikel treffen, ist dieses von diesem Moment an auch infiziert und beginnt ebenfalls, dem Pfad einer Brownschen Bewegung zu folgen und die Infektion auszubreiten. Auf diese Art verschiebt sich nun der am weitesten rechts liegende Ort R_t, an dem die Infektion bereits verbreitet wurde. Wir werden mit Hilfe des subadditiven Ergodensatzes zeigen, dass sich dieser Ort mit linearer Geschwindigkeit fortbewegt. Ferner werden wir eine obere und eine untere Schranke für die Ausbreitungsgeschwindkeit angeben. Danach werden wir zeigen, dass der Prozess Regenerationszeiten hat, nämlich solche zufällige Zeiten, zu denen er eine Art Neustart unter speziellen Startbedingungen durchführt. Wir werden diese für eine weitere Charakterisierung der Ausbreitungsgeschwingkeit nutzen. Ferner erhalten wir durch die Regenerationszeiten auch einen Zentralen Grenzwertsatz für R_t und können zeigen, dass die Verteilung der infizierten Partikel aus Sicht des am weitesten rechts liegenden infizierten Ortes gegen eine invariante Verteilung konvergiert.

In this thesis we will study a model which describes the spread of an infection. Therefore we assume, that there are particles spread out on the real axis, their positions given by a Poisson point process. Up to a certain point, these particles are carrying an infection. While the non infected particles don't move, the infected particles follow the paths of independent Brownian motions and spread the infection at all places they visit. Should an infected particle arrive at the position of a non infected particle, it will pass on the disease and the newly infected particle will also start following the path of a Brownian motion and spreading the infection. This way the rightmost infected place R_t on the real axis moves on with time. Using the subadditive ergodic theorem, we will show, that this rightmost position moves linearly, and we will give bounds for its speed. Having done that, we will show, that the process admits the definition of regeneration times. At these random times, the process behaves, as if it would be starting anew under certain special conditions. We can use the regeneration times to find another characterization of the speed, at which the infection is spread. Furthermore they allow us to find a central limit theorem for R_t and enable us to show convergence of the distribution of infected particles seen from the rightmost infected point to an invariant distribution.