Algebraische Zyklen auf abelschen Varietäten der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ (1,2,2,2)

Diese Arbeit besch"aftigt sich mit algebraischen Zyklen auf komplexen abelschen Variet"aten der Dimension 4. Ziel der Arbeit ist ein nicht-triviales Element in $Griff^{3,2}(A^4)$ zu konstruieren. Hier bezeichnet $A^4$ die emph{generische} abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$. Die ersten drei Kapitel sind eine Wiederholung von elementaren Definitionen und Begriffen und daher eine Festlegung der Notation. In diesen erinnern wir an elementare Eigenschaften der von Saito definierten Filtrierungen $F_S$ und $Z$ auf den Chowgruppen (vgl. cite{Sa0} und cite{Sa}). Wir wiederholen auch eine Beziehung zwischen der $F_S$-Filtrierung und der Zerlegung von Beauville der Chowgruppen (vgl. cite{Be2} und cite{DeMu}), welche aus cite{Mu} stammt. Die wichtigsten Begriffe in diesem Teil sind die emph{h"ohere Griffiths' Gruppen} und die emph{infinitesimalen Invarianten h"oherer Ordnung}. Dann besch"aftigen wir uns mit emph{verallgemeinerten Prym-Variet"aten} bez"uglich $(2:1)$ "Uberlagerungen von Kurven. Wir geben ihre Konstruktion und wichtige geometrische Eigenschaften und berechnen den Typ ihrer Polarisierung. Kapitel ref{p-moduli} enth"alt ein Resultat aus cite{BCV} "uber die Dominanz der Abbildung $p(3,2):mathcal R(3,2)longrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$. Dieses Resultat ist von Relevanz f"ur uns, weil es besagt, dass die generische abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$ eine verallgemeinerte Prym-Variet"at bez"uglich eine $(2:1)$ "Uberlagerung einer Kurve vom Geschlecht $7$ "uber eine Kurve vom Geschlecht $3$ ist. Der zweite Teil der Dissertation ist die eigentliche Arbeit und ist auf folgende Weise strukturiert: Kapitel ref{Deg} enth"alt die Konstruktion der Degeneration von $A^4$. Das bedeutet, dass wir in diesem Kapitel eine Familie $Xlongrightarrow S$ von verallgemeinerten Prym-Variet"aten konstruieren, sodass die klassifizierende Abbildung $Slongrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$ dominant ist. Desweiteren wird ein relativer Zykel $Y/S$ auf $X/S$ konstruiert zusammen mit einer Untervariet"at $Tsubset S$, sodass wir eine explizite Beschreibung der Einbettung $Yvert _Thookrightarrow Xvert _T$ angeben k"onnen. Das letzte und wichtigste Kapitel enth"ahlt Folgendes: Wir beweisen dass, die emph{ infinitesimale Invariante zweiter Ordnung} $delta _2(alpha)$ von $alpha$ nicht trivial ist. Hier bezeichnet $alpha$ die Komponente von $Y$ in $Ch^3_{(2)}(X/S)$ unter der Beauville-Zerlegung. Damit und mit Hilfe der Ergebnissen aus Kapitel ref{Cohm} k"onnen wir zeigen, dass [ 0neq [alpha ] in Griff ^{3,2}(X/S) . ] Wir k"onnen diese Aussage verfeinern und zeigen (vgl. Theorem ref{a4}) begin{theorem}label{maintheorem} F"ur $sin S$ generisch gilt [ 0neq [alpha _s ]in Griff ^{3,2}(A^4) , ] wobei $A^4$ die generische abelsche Variet"at der Dimension $4$ mit Polarisierung vom Typ $(1,2,2,2)$ ist. end{theorem}

This PhD Thesis is about algebraic cycles on complex abelian varieties of dimension 4. The main goal of our work is to construct a non trivial element in $Griff^{3,2}(A^4)$. Here $A^4$ denotes the emph{generic} abelian variety of dimension 4 with polarization of type $(1,2,2,2)$. The first 3 chapters are a review of the basic definitions and concepts and their pourpose is to fix the notation. In them we recall the definitions and basic properties of the $F_S$ and the $Z$-filtration defined by Saito (cf. cite{Sa0} and cite{Sa}). We review a relationship between the $F_S$ filtration and the decomposition of the Chow groups defined by Beauville (cf.cite{Be2} and cite{DeMu}) which can be founded in cite{Mu}. The main concepts in this part are the emph{higher Griff{}iths' groups} and the emph{higher infinitesimal invariants}. We study after that the emph{generalized Prym variety} associated to a double cover of curves. We give its construction and main geometric properties and compute the type of its polarization. The chapter 3 contains a result of cite{BCV} about the dominantness of the map $p(3,2):mathcal R(3,2)longrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$. This result is relevant for us because it says that the generic abelian variety of dimension 4 and polarization of type $(1,2,2,2)$ is a generalized Prym variety associated to a double covering of a genus 7 curve over a genus 3 curve. The second part of the PhD-Thesis is actually my work and is as follows structured: The chapter 4 contains the construction of the degeneration of $A^4$. This means, in this chapter we construct a family $Xlongrightarrow S$ of generalized Prym varieties such that the classifying map $Slongrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$ is dominant. We construct also a relative cycle $Y/S$ on $X/S$ together with a subvariety $Tsubset S$ in such a way that we can give a explicit description of the embedding $Yvert _Thookrightarrow Xvert _T$. The last and main chapter contains the following: We show that the emph{second infinitesimal invariant} $delta _2(alpha )$ of $alpha$ is non-trivial. Here $alpha$ is the component of $Y$ in $Ch^3_{(2)}(X/S)$ under the decomposition of Beauville for $Ch^3(X/S)$. With this and our results from chapter 5, we can show that [ 0neq [alpha ]in Griff^{3,2}(X/S). ] We can get a finer version of this result (cf. Theorem ref{a4}): begin{theorem}label{maintheorem} For $sin S$ generic holds [ 0neq [alpha _s ]in Griff ^{3,2}(A^4) , ] where $A^4$ is the generic abelian variety of dimension $4$ with polarization of type $(1,2,2,2)$. end{theorem}