Quadraturformeln für das Qualokationsverfahren

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht Beweis der Existenz- und Eindeutigkeit von Quadraturformeln, die für das Qualokationsverfahren geeignet sind. Letzteres ist ein von Sloan, Wendland und Chandler entwickeltes Verfahren zur numerischen Behandlung von Randintegralgleichungen auf glatten Kurven (allgemeiner: periodische Pseudodifferentialgleichungen). Es erreicht die gleichen Konvergenzordnungen wie das Petrov-Galerkin-Verfahren, wenn man durch den Operator bestimmte Quadraturformeln verwendet. Zunächst werden die hier behandelten Pseudodifferentialoperatoren und das Qualokationsverfahren vorgestellt. Anschließend wird eine Theorie zur Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln entwickelt. Ein wesentliches Hilfsmittel hierzu ist die hier bewiesene Verallgemeinerung eines Satzes von Nürnberger über die Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln mit positiven Gewichten, die exakt für Tschebyscheff-Räume sind. Es wird schließlich gezeigt, dass es stets eindeutig bestimmte Quadraturformeln gibt, welche die in den Arbeiten von Sloan und Wendland formulierten Bedingungen erfüllen. Desweiteren werden 2-Punkt-Quadraturformeln für so genannte einfache Operatoren bestimmt, mit welchen das Qualokationsverfahren mit einem Testraum von stückweise konstanten Funktionen eine höhere Konvergenzordnung hat. Außerdem wird gezeigt, dass es für nicht-einfache Operatoren im Allgemeinen keine Quadraturformel gibt, mit der die Konvergenzordnung höher als beim Petrov-Galerkin-Verfahren ist. Das letzte Kapitel beinhaltet schließlich numerische Tests mit Operatoren mit konstanten und variablen Koeffizienten, welche die theoretischen Ergebnisse der vorangehenden Kapitel bestätigen.

The main concern of this thesis is the proof of existence and uniqueness of quadrature rules that are suitable for the qualocation method, which is a method for the numerical solution of boundary integral equations on smooth curves (more general: periodic pseudo-differential equations) introduced by Sloan, Wendland and Chandler.It yields the same order of convergence as the Petrov-Galerkin method, if certain quadrature rules are used that are determined by the operator.First, the pseudo-differential operators and the qualocation method are defined. Then a theory for the existence and uniqueness of quadrature rules is developed. An important tool for this is the generalization of a Theorem by Nürnberger about the existence of positive quadrature rules for Chebychev-systems, which is proved here. Finally it is shown that there always exist quadrature rules fulfilling the conditions stated in the works of Sloan and Wendland, i.e. they are suitable for the qualocation method.In the next part, 2-point quadrature rules are determined for so called simple operators, which yield an even higher order of convergence with piecewise constant functions as a test space. Then it is shown that in general there do not exist quadrature rules for non-simple operators such that the qualocation method is of higher order than the Petrov-Galerkin method.In the final part, numerical tests are presented with constant and variable coefficient operators that confirm the theoretical results given above.