Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

Let $k$ be a finite field of characterstic $p$. For the ordinary fibres $X_{t_0}$, $t_0 \in S_0$ of the reduction $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ over $k$, we derive an explicit formula to compute the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism, the {\em Frobenius polynomial}, on the corresponding submodule $M_{cris}$ of the third crystalline cohomology $H^3_{cris}(X_{t_0})$ by computing two of its roots. Let $f_0(z)$ be the holomorphic solution to the differential equation $Pf=0$ around $z=0$. Since the unit root of the Frobenius polynomial at a Teichm\uller point $t$ is given by $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$, a crucial step of the computation of the Frobenius polynomial is the construction of a $p-$adic analytic continuation of the quotient $f_0(z)/f_0(z^p)$ to the boundary of the $p-$adic unit disc. In case that $f_0(z)$ can be expressed in terms of the constant terms in the powers of a Laurent polynomial whose Newton polyhedron contains the origin as unique interior lattice point, we prove that the coefficients of $f_0(z)$ satisfy certain congruence properties that are crucial to construct the analytic continuation. If the fibre $X_{t_0}$ aquires an ordinary double point, we expect that the limit Frobenius polynomial factors in a specific way, and that there exists one factor of degree two which is determined by one coefficient $a_p$. As $p$ varies, we expect that there exists a modular form of weight four with coefficients $a_p$ by the modularity theorem. We could confirm this expectation by our numerous computations. Furthermore, we derive formulas to compute the Frobenius polynomial in terms of the non-holomorphic solutions to the differential equation $Pf=0$ around $z=0$.