Existence of solutions and asymtptotic limits of the Euler-Poisson and the quantum drift-diffusion systems

My work concerns two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas: the Euler-Poisson system and the quantum drift-diffusion system. The first is given by the Euler equations for the conservation of mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential. The second one takes into account the physical effects due to the smallness of the devices (quantum effects). It is a simple extension of the classical drift-diffusion model which consists of two continuity equations for the charge densities, with a Poisson equation for the electrostatic potential. Using an asymptotic expansion method, we study (in the steady-state case for a potential flow) the limit to zero of the three physical parameters which arise in the Euler-Poisson system: the electron mass, the relaxation time and the Debye length. For each limit, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimates. For a vanishing electron mass or a vanishing relaxation time, this method gives us a new approach in the convergence of the Euler-Poisson system to the incompressible Euler equations. For a vanishing Debye length (also called quasineutral limit), we obtain a new approach in the existence of solutions when boundary layers can appear (i.e. when no compatibility condition is assumed). Moreover, using an iterative method, and a finite volume scheme or a penalized mixed finite volume scheme, we numerically show the smallness condition on the electron mass needed in the existence of solutions to the system, condition which has already been shown in the literature. In the quantum drift-diffusion model for the transient bipolar case in one-space dimension, we show, by using a time discretization and energy estimates, the existence of solutions (for a general doping profile). We also prove rigorously the quasineutral limit (for a vanishing doping profile). Finally, using a new time discretization and an algorithmic construction of entropies, we prove some regularity properties for the solutions of the equation obtained in the quasineutral limit (for a vanishing pressure). This new regularity permits us to prove the positivity of solutions to this equation for at least times large enough.

Quadraturformeln für das Qualokationsverfahren

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht Beweis der Existenz- und Eindeutigkeit von Quadraturformeln, die für das Qualokationsverfahren geeignet sind. Letzteres ist ein von Sloan, Wendland und Chandler entwickeltes Verfahren zur numerischen Behandlung von Randintegralgleichungen auf glatten Kurven (allgemeiner: periodische Pseudodifferentialgleichungen). Es erreicht die gleichen Konvergenzordnungen wie das Petrov-Galerkin-Verfahren, wenn man durch den Operator bestimmte Quadraturformeln verwendet. Zunächst werden die hier behandelten Pseudodifferentialoperatoren und das Qualokationsverfahren vorgestellt. Anschließend wird eine Theorie zur Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln entwickelt. Ein wesentliches Hilfsmittel hierzu ist die hier bewiesene Verallgemeinerung eines Satzes von Nürnberger über die Existenz und Eindeutigkeit von Quadraturformeln mit positiven Gewichten, die exakt für Tschebyscheff-Räume sind. Es wird schließlich gezeigt, dass es stets eindeutig bestimmte Quadraturformeln gibt, welche die in den Arbeiten von Sloan und Wendland formulierten Bedingungen erfüllen. Desweiteren werden 2-Punkt-Quadraturformeln für so genannte einfache Operatoren bestimmt, mit welchen das Qualokationsverfahren mit einem Testraum von stückweise konstanten Funktionen eine höhere Konvergenzordnung hat. Außerdem wird gezeigt, dass es für nicht-einfache Operatoren im Allgemeinen keine Quadraturformel gibt, mit der die Konvergenzordnung höher als beim Petrov-Galerkin-Verfahren ist. Das letzte Kapitel beinhaltet schließlich numerische Tests mit Operatoren mit konstanten und variablen Koeffizienten, welche die theoretischen Ergebnisse der vorangehenden Kapitel bestätigen.

Pseudodifferentialoperatoren mit nichtregulären banachraumwertigen Symbolen

Untersucht werden in der vorliegenden Arbeit Versionen des Satzes von Michlin f¨r Pseudodiffe- u rentialoperatoren mit nicht-regul¨ren banachraumwertigen Symbolen und deren Anwendungen a auf die Erzeugung analytischer Halbgruppen von solchen Operatoren auf vektorwertigen Sobo- levr¨umen Wp (Rn

Random lattice models

This thesis deals with three different physical models, where each model involves a random component which is linked to a cubic lattice. First, a model is studied, which is used in numerical calculations of Quantum Chromodynamics.In these calculations random gauge-fields are distributed on the bonds of the lattice. The formulation of the model is fitted into the mathematical framework of ergodic operator families. We prove, that for small coupling constants, the ergodicity of the underlying probability measure is indeed ensured and that the integrated density of states of the Wilson-Dirac operator exists. The physical situations treated in the next two chapters are more similar to one another. In both cases the principle idea is to study a fermion system in a cubic crystal with impurities, that are modeled by a random potential located at the lattice sites. In the second model we apply the Hartree-Fock approximation to such a system. For the case of reduced Hartree-Fock theory at positive temperatures and a fixed chemical potential we consider the limit of an infinite system. In that case we show the existence and uniqueness of minimizers of the Hartree-Fock functional. In the third model we formulate the fermion system algebraically via C*-algebras. The question imposed here is to calculate the heat production of the system under the influence of an outer electromagnetic field. We show that the heat production corresponds exactly to what is empirically predicted by Joule's law in the regime of linear response.

Comparative genomic sequencing analysis of a region in human chromosome 11p15.3, mouse chromosome 7 and analysis of the novel STK33, Stk33 gene

The comparative genomic sequence analysis of a region in human chromosome 11p15.3 and its homologous segment in mouse chromosome 7 between ST5 and LMO1 genes has been performed. 158,201 bases were sequenced in the mouse and compared with the syntenic region in human, partially available in the public databases. The analysed region exhibits the typical eukaryotic genomic structure and compared with the close neighbouring regions, strikingly reflexes the mosaic pattern distribution of (G+C) and repeats content despites its relative short size. Within this region the novel gene STK33 was discovered (Stk33 in the mouse), that codes for a serine/threonine kinase. The finding of this gene constitutes an excellent example of the strength of the comparative sequencing approach. Poor gene-predictions in the mouse genomic sequence were corrected and improved by the comparison with the unordered data from the human genomic sequence publicly available. Phylogenetical analysis suggests that STK33 belongs to the calcium/calmodulin-dependent protein kinases group and seems to be a novelty in the chordate lineage. The gene, as a whole, seems to evolve under purifying selection whereas some regions appear to be under strong positive selection. Both human and mouse versions of serine/threonine kinase 33, consists of seventeen exons highly conserved in the coding regions, particularly in those coding for the core protein kinase domain. Also the exon/intron structure in the coding regions of the gene is conserved between human and mouse. The existence and functionality of the gene is supported by the presence of entries in the EST databases and was in vivo fully confirmed by isolating specific transcripts from human uterus total RNA and from several mouse tissues. Strong evidence for alternative splicing was found, which may result in tissue-specific starting points of transcription and in some extent, different protein N-termini. RT-PCR and hybridisation experiments suggest that STK33/Stk33 is differentially expressed in a few tissues and in relative low levels. STK33 has been shown to be reproducibly down-regulated in tumor tissues, particularly in ovarian tumors. RNA in-situ hybridisation experiments using mouse Stk33-specific probes showed expression in dividing cells from lung and germinal epithelium and possibly also in macrophages from kidney and lungs. Preliminary experimentation with antibodies designed in this work, performed in parallel to the preparation of this manuscript, seems to confirm this expression pattern. The fact that the chromosomal region 11p15 in which STK33 is located may be associated with several human diseases including tumor development, suggest further investigation is necessary to establish the role of STK33 in human health.

Analysis of nonlinear diffusion equations of second and fourth order

Wegen der fortschreitenden Miniaturisierung von Halbleiterbauteilen spielen Quanteneffekte eine immer wichtigere Rolle. Quantenphänomene werden gewöhnlich durch kinetische Gleichungen beschrieben, aber manchmal hat eine fluid-dynamische Beschreibung Vorteile: die bessere Nutzbarkeit für numerische Simulationen und die einfachere Vorgabe von Randbedingungen. In dieser Arbeit werden drei Diffusionsgleichungen zweiter und vierter Ordnung untersucht. Der erste Teil behandelt die implizite Zeitdiskretisierung und das Langzeitverhalten einer degenerierten Fokker-Planck-Gleichung. Der zweite Teil der Arbeit besteht aus der Untersuchung des viskosen Quantenhydrodynamischen Modells in einer Raumdimension und dessen Langzeitverhaltens. Im letzten Teil wird die Existenz von Lösungen einer parabolischen Gleichung vierter Ordnung in einer Raumdimension bewiesen, und deren Langzeitverhalten studiert.

Highly accurate quantum chemistry : spin-orbit splittings via multireference coupled-cluster methods and applications in heavy-atom main-group chemistry

Diese Dissertation demonstriert und verbessert die Vorhersagekraft der Coupled-Cluster-Theorie im Hinblick auf die hochgenaue Berechnung von Moleküleigenschaften. Die Demonstration erfolgt mittels Extrapolations- und Additivitätstechniken in der Single-Referenz-Coupled-Cluster-Theorie, mit deren Hilfe die Existenz und Struktur von bisher unbekannten Molekülen mit schweren Hauptgruppenelementen vorhergesagt wird. Vor allem am Beispiel von cyclischem SiS_2, einem dreiatomigen Molekül mit 16 Valenzelektronen, wird deutlich, dass die Vorhersagekraft der Theorie sich heutzutage auf Augenhöhe mit dem Experiment befindet: Theoretische Überlegungen initiierten eine experimentelle Suche nach diesem Molekül, was schließlich zu dessen Detektion und Charakterisierung mittels Rotationsspektroskopie führte. Die Vorhersagekraft der Coupled-Cluster-Theorie wird verbessert, indem eine Multireferenz-Coupled-Cluster-Methode für die Berechnung von Spin-Bahn-Aufspaltungen erster Ordnung in 2^Pi-Zuständen entwickelt wird. Der Fokus hierbei liegt auf Mukherjee's Variante der Multireferenz-Coupled-Cluster-Theorie, aber prinzipiell ist das vorgeschlagene Berechnungsschema auf alle Varianten anwendbar. Die erwünschte Genauigkeit beträgt 10 cm^-1. Sie wird mit der neuen Methode erreicht, wenn Ein- und Zweielektroneneffekte und bei schweren Elementen auch skalarrelativistische Effekte berücksichtigt werden. Die Methode eignet sich daher in Kombination mit Coupled-Cluster-basierten Extrapolations-und Additivitätsschemata dafür, hochgenaue thermochemische Daten zu berechnen.

A multi-regional view on aging societies accounting for the existence of non-tradable goods

This thesis assesses the question, whether accounting for non-tradable goods sectors in a calibrated Auerbach-Kotlikoff multi-regional overlapping-generations-model significantly affects this model’s results when simulating the economic impact of demographic change. Non-tradable goods constitute a major part of up to 80 percent of GDP of modern economies. At the same time, multi-regional overlapping-generations-models presented by literature on demographic change so far ignored their existence and counterfactually assumed perfect tradability between model regions. Moreover, this thesis introduces the assumption of an increasing preference share for non-tradable goods of old generations. This fact-based as-sumption is also not part of models in relevant literature. rnThese obvious simplifications of common models vis-à-vis reality notwithstanding, this thesis concludes that differences in results between a model featuring non-tradable goods and a common model with perfect tradability are very small. In other words, the common simplifi-cation of ignoring non-tradable goods is unlikely to lead to significant distortions in model results. rnIn order to ensure that differences in results between the ‘new’ model, featuring both non-tradable and tradable goods, and the common model solely reflect deviations due to the more realistic structure of the ‘new’ model, both models are calibrated to match exactly the same benchmark data and thus do not show deviations in their respective baseline steady states.rnA variation analysis performed in this thesis suggests that differences between the common model and a model with non-tradable goods can theoretically be large, but only if the bench-mark tradable goods sector is assumed to be unrealistically small.rnFinally, this thesis analyzes potential real exchange rate effects of demographic change, which could occur due to regional price differences of non-tradable goods. However, results show that shifts in real exchange rate based on these price differences are negligible.rn

Operative Therapie des gastrooesophagealen Refluxes im Kindesalter unter besonderer Berücksichtigung von Kindern mit Behinderung

Ein pathologischer Gastrooesophagealer Reflux (GÖR) tritt häufig bei Kindern mitBehinderung und nach einer Operation am Oesophagus auf wie zum Beispiel nach Korrektureiner Oesophagusatresie. Bei diesen Kindern ist eine medikamentöse Therapie überwiegendzum Scheitern verurteilt und eine Therapie wie die der Antirefluxoperation wird notwendig.In der vorliegenden Arbeit werden die 100 Kinder beschrieben, die mit derVerdachtsdiagnose GÖR in den Jahren 1983 bis 1998 vorgestellt wurden. 68 Kinderbenötigten eine Antirefluxoperation. Schwerpunktmäßig werden neurologisch behinderteKinder (85%), bei denen erwartungsgemäß häufig ein GÖR vorliegt, untersucht. Mitbesonderem Interesse werden dabei das Vorliegen und Zusammentreffen mehrerer GÖRprädisponierenderErkrankungen (Behinderung und Zustand nach Korrektur einerOesophagusatresie) untersucht, um Hinweise für eine mögliche Differenzierung prae- undpostoperativer Bilder des GÖR und seine Komplikationen zu gewinnen.Weiterhin werden Aussagen gewonnen bezüglich des Alters der Kinder zum Zeitpunkt desAuftretens der Symptome und zum Zeitpunkt der Operation. Diese werden ebenso wie dieZeiträume zwischen dem Auftreten der Symptome und der Diagnosenstellung, bzw. demOperationszeitpunkt mit den Aussagen in der Literatur verglichen.Ferner wird überprüft, ob sich für die einzelnen Personengruppen (Kinder mit cerebralen undmotorischen Retardierungen (85%), Kinder mit angeborener Oesophagusatresie (4%), Kindermit beiderlei GÖR-prädisponierender Erkrankungen (3%) und Kinder ohne prädisponierendeErkrankungen (8%)) differenzierte Aussagen finden.A pathological gastroesophageal reflux (GER) is often found in handicapped children andafter surgical treatment at the esophagus e. g. after correction of esophagusatresia. Here,medical treatment is often ineffective and an antireflux plasty is needed.In this study 100 children are examined, who had the suspected diagnosis of GER in the years1983 – 1998. 68 children needed a surgical treatment. The majority form the neurologicalhandicapped children (85%), who are predisposed to GER as expected.A special interest of the study is on the existence and coincidence of several GERpredisposingdiseases (disability and esophagusatresia), in order to get an indication forpossible differentiations of pre- and postoperative symptoms and complications of GER.Furthermore evidence is obtained on the age of the children, when the symptoms appearedfirst and when the operation took place. These data and the period of time between theappearence of symptoms and the time of diagnosis and operation are compared with theinformation given in the literature.Moreover the different evidences between the four groups (children with cerebral andmotorial retardation (85%), children with congenital esophagusatresia (4%), children withboth (3%) and children without GER-predisposing diseases (8%)) are analysed.

Numeralklassifikatoren im Thai

Wie viele andere Sprachen Ost- und Südostasiens ist das Thai eine numerusneutrale Sprache, in der ein Nomen lediglich das Konzept benennt und keinen Hinweis auf die Anzahl der Objekte liefert. Um Nomina im Thai zählen zu können, ist der Klassifikator (Klf) nötig, der die Objekte anhand ihrer semantischen Schlüsseleigenschaft herausgreift und individualisiert. Neben der Klassifikation stellt die Individualisierung die Hauptfunktion des Klf dar. Weitere Kernfunktionen des Klf außerhalb des Zählkontextes sind die Markierung der Definitheit, des Numerus sowie des Kontrasts. Die wichtigsten neuen Ergebnisse dieser Arbeit, die sowohl die Ebenen der Grammatik und Semantik als auch die der Logik und Pragmatik integriert, sind folgende: Im Thai kann der Klf sowohl auf der Element- als auch auf der Mengenebene agieren. In der Verbindung mit einem Demonstrativ kann der Klf auch eine pluralische Interpretation hervorrufen, wenn er auf eine als pluralisch präsupponierte Gesamtmenge referiert oder die Gesamtmenge in einer Teil-Ganzes-Relation individualisiert. In einem Ausdruck, der bereits eine explizite Zahlangabe enthält, bewirkt die Klf-Demonstrativ-Konstruktion eine Kontrastierung von Mengen mit gleichen Eigenschaften. Wie auch der Individualbegriff besitzt der Klf Intension und Extension. Intension und Extension von Thai-Klf verhalten sich umgekehrt proportional, d.h. je spezifischer der Inhalt eines Klf ist, desto kleiner ist sein Umfang. Der Klf signalisiert das Schlüsselmerkmal, das mit der Intension des Nomens der Identifizierung des Objekts dient. Der Klf individualisiert das Nomen, indem er Teilmengen quantifiziert. Er kann sich auf ein Objekt, eine bestimmte Anzahl von Objekten oder auf alle Objekte beziehen. Formal logisch lassen sich diese Funktionen mithilfe des Existenz- und des Allquantors darstellen. Auch die Nullstelle (NST) läßt sich formal logisch darstellen. Auf ihren jeweiligen Informationsgehalt reduziert, ergeben sich für Klf und NST abhängig von ihrer Positionierung verschiedene Informationswerte: Die Opposition von Klf und NST bewirkt in den Fragebögen ausschließlich skalare Q-Implikaturen, die sich durch die Informationsformeln in Form einer Horn-Skala darstellen lassen. In einem sich aufbauenden Kontext transportieren sowohl Klf als auch NST in der Kontextmitte bekannte Informationen, wodurch Implikaturen des M- bzw. I-Prinzips ausgelöst werden. Durch die Verbindung der Informationswerte mit den Implikaturen des Q-, M- und I-Prinzips lässt sich anhand der Positionierung direkt erkennen, wann der Klf die Funktion der Numerus-, der Definitheits- oder der Kontrast-Markierung erfüllt.

Funktionelle Analyse der onkologisch relevanten Protease Threonin-Aspartase 1

Krebs stellt eine der häufigsten Todesursachen in Europa dar. Grundlage für eine langfristige Verbesserung des Behandlungserfolgs ist ein molekulares Verständnis der Mechanismen, welche zur Krankheitsentstehung beitragen. In diesem Zusammenhang spielen Proteasen nicht nur eine wichtige Rolle, sondern stellen auch bei vielerlei Erkrankungen bereits anerkannte Zielstrukturen derzeitiger Behandlungsstrategien dar. Die Protease Threonin Aspartase 1 (Taspase1) spielt eine entscheidende Rolle bei der Aktivierung von Mixed Lineage Leukemia (MLL)-Fusionsproteinen und somit bei der Entstehung aggressiver Leukämien. Aktuelle Arbeiten unterstreichen zudem die onkologische Relevanz von Taspase1 auch für solide Tumore. Die Kenntnisse über die molekularen Mechanismen und Signalnetzwerke, welche für die (patho)biologischen Funktionen von Taspase1 verantwortlich sind, stellen sich allerdings noch immer als bruchstückhaft dar. Um diese bestehenden Wissenslücken zu schließen, sollten im Rahmen der Arbeit neue Strategien zur Inhibition von Taspase1 erarbeitet und bewertet werden. Zusätzlich sollten neue Einsichten in evolutionären Funktionsmechanismen sowie eine weitergehende Feinregulation von Taspase1 erlangt werden. Zum einen erlaubte die Etablierung und Anwendung eines zellbasierten Taspase1-Testsystem, chemische Verbindungen auf deren inhibitorische Aktivität zu testen. Überraschenderweise belegten solch zelluläre Analysen in Kombination mit in silico-Modellierungen eindeutig, dass ein in der Literatur postulierter Inhibitor in lebenden Tumorzellen keine spezifische Wirksamkeit gegenüber Taspase1 zeigte. Als mögliche Alternative wurden darüber hinaus Ansätze zur genetischen Inhibition evaluiert. Obwohl publizierte Studien Taspase1 als ααββ-Heterodimer beschreiben, konnte durch Überexpression katalytisch inaktiver Mutanten kein trans-dominant negativer Effekt und damit auch keine Inhibition des wildtypischen Enzyms beobachtet werden. Weiterführende zellbiologische und biochemische Analysen belegten erstmalig, dass Taspase1 in lebenden Zellen in der Tat hauptsächlich als Monomer und nicht als Dimer vorliegt. Die Identifizierung evolutionär konservierter bzw. divergenter Funktionsmechanismen lieferte bereits in der Vergangenheit wichtige Hinweise zur Inhibition verschiedenster krebsrelevanter Proteine. Da in Drosophila melanogaster die Existenz und funktionelle Konservierung eines Taspase1-Homologs postuliert wurde, wurde in einem weiteren Teil der vorliegenden Arbeit die evolutionäre Entwicklung der Drosophila Taspase1 (dTaspase1) untersucht. Obwohl Taspase1 als eine evolutionär stark konservierte Protease gilt, konnten wichtige Unterschiede zwischen beiden Orthologen festgestellt werden. Neben einem konservierten autokatalytischen Aktivierungsmechanismus besitzt dTaspase1 verglichen mit dem humanen Enzym eine flexiblere Substraterkennungs-sequenz, was zu einer Vergrößerung des Drosophila-spezifischen Degradoms führt. Diese Ergebnisse zeigen des Weiteren, dass zur Definition und Vorhersage des Degradoms nicht nur proteomische sondern auch zellbiologische und bioinformatische Untersuchungen geeignet und notwendig sind. Interessanterweise ist die differentielle Regulation der dTaspase1-Aktivität zudem auf eine veränderte intrazelluläre Lokalisation zurückzuführen. Das Fehlen von in Vertebraten hochkonservierten aktiven Kernimport- und nukleolären Lokalisationssignalen erklärt, weshalb dTaspase1 weniger effizient nukleäre Substrate prozessiert. Somit scheint die für die humane Taspase1 beschriebene Regulation von Lokalisation und Aktivität über eine Importin-α/NPM1-Achse erst im Laufe der Entwicklung der Vertebraten entstanden zu sein. Es konnte also ein bislang unbekanntes evolutionäres Prinzip identifiziert werden, über welches eine Protease einen Transport- bzw. Lokalisations-basierten Mechanismus zur Feinregulation ihrer Aktivität „von der Fliege zum Menschen“ nutzt. Eine weitere Möglichkeit zur dynamischen Funktionsmodulation bieten post-translationale Modifikationen (PTMs) der Proteinsequenz, zu welcher Phosphorylierung und Acetylierung zählen. Interessanterweise konnte für die humane Taspase1 über den Einsatz unabhängiger Methoden einschließlich massenspektrometrischer Analysen eine Acetylierung durch verschiedene Histon-Acetyltransferasen (HATs) nachgewiesen werden. Diese Modifikation erfolgt reversibel, wobei vor allem die Histon-Deacetylase HDAC1 durch Interaktion mit Taspase1 die Deacetylierung der Protease katalysiert. Während Taspase1 in ihrer aktiven Konformation acetyliert vorliegt, kommt es nach Deacetylierung zu einer Reduktion ihrer enzymatischen Aktivität. Somit scheint die Modulation der Taspase1-Aktivität nicht allein über intra-proteolytische Autoaktivierung, Transport- und Interaktionsmechanismen, sondern zudem durch post-translationale Modifikationen gesteuert zu werden. Zusammenfassend konnten im Rahmen dieser Arbeit entscheidende neue Einblicke in die (patho)biologische Funktion und Feinregulation der Taspase1 gewonnen werden. Diese Ergebnisse stellen nicht nur einen wichtigen Schritt in Richtung eines verbesserten Verständnis der „Taspase1-Biologie“, sondern auch zur erfolgreichen Inhibition und Bewertung der krebsrelevanten Funktion dieser Protease dar.

Analysis and numerical solution of the Peterlin viscoelastic model

Liquids and gasses form a vital part of nature. Many of these are complex fluids with non-Newtonian behaviour. We introduce a mathematical model describing the unsteady motion of an incompressible polymeric fluid. Each polymer molecule is treated as two beads connected by a spring. For the nonlinear spring force it is not possible to obtain a closed system of equations, unless we approximate the force law. The Peterlin approximation replaces the length of the spring by the length of the average spring. Consequently, the macroscopic dumbbell-based model for dilute polymer solutions is obtained. The model consists of the conservation of mass and momentum and time evolution of the symmetric positive definite conformation tensor, where the diffusive effects are taken into account. In two space dimensions we prove global in time existence of weak solutions. Assuming more regular data we show higher regularity and consequently uniqueness of the weak solution. For the Oseen-type Peterlin model we propose a linear pressure-stabilized characteristics finite element scheme. We derive the corresponding error estimates and we prove, for linear finite elements, the optimal first order accuracy. Theoretical error of the pressure-stabilized characteristic finite element scheme is confirmed by a series of numerical experiments.