Analysis and numerical solution of the Peterlin viscoelastic model

Liquids and gasses form a vital part of nature. Many of these are complex fluids with non-Newtonian behaviour. We introduce a mathematical model describing the unsteady motion of an incompressible polymeric fluid. Each polymer molecule is treated as two beads connected by a spring. For the nonlinear spring force it is not possible to obtain a closed system of equations, unless we approximate the force law. The Peterlin approximation replaces the length of the spring by the length of the average spring. Consequently, the macroscopic dumbbell-based model for dilute polymer solutions is obtained. The model consists of the conservation of mass and momentum and time evolution of the symmetric positive definite conformation tensor, where the diffusive effects are taken into account. In two space dimensions we prove global in time existence of weak solutions. Assuming more regular data we show higher regularity and consequently uniqueness of the weak solution. For the Oseen-type Peterlin model we propose a linear pressure-stabilized characteristics finite element scheme. We derive the corresponding error estimates and we prove, for linear finite elements, the optimal first order accuracy. Theoretical error of the pressure-stabilized characteristic finite element scheme is confirmed by a series of numerical experiments.

Flüssigkeiten und Gase bilden einen wesentlich Bestandteil der Natur. Hier kommen vor allem komplexe Fluide vor, die nichtnewtonsches Verhalten aufweisen. Wir stellen ein mathematisches Modell vor, das die instationäre Bewegung eines inkompressiblen polymeren Fluide beschreibt. Ein Polymermolekül wird beschrieben durch zwei Kugeln, die durch eine Feder verbunden sind. Es ist nicht möglich, die nichtlineare Federkraft durch ein geschlossenes Gleichungssystem zu beschreiben, außer wir approximieren das Kraftgesetz. Die Peterlin-Näherung ersetzt die Länge der Feder durch die Durchschnittslänge. Auf diese Weise wird ein makroskopisches Modell für verdünnte Polymerlösungen auf der Grundlage des Hantelmodells hergeleitet. Das Modell besteht aus den Erhaltungsgleichung für Masse und Impuls sowie der zeitliche Evolutionsgleichung für den symmetrisch possitiv-definiten Konformationstensor, die Diffusionseffekte berücksichtigt. In zwei Raumdimensionen beweisen wir globale Existenz in der Zeit von schwachen Lösungen. Unter strengeren Glattheitsanforderungen an die Daten zeigen wir höhere Regularität und folglich Eindeutigkeit der schwachen Lösung. Wir stellen eine lineare druckstabilisierte Finite-Elemente-Charakteristiken-Methode für das Peterlinmodell vom Oseen-Typ. Wir leiten entsprechende Fehlerabschätzungen her und zeigen für lineare finite Elemente optimale Approximationsordnung erster Ordnung. Die theoretische Fehlerabschätzung der druckstabilisierte Finite-Elemente-Charakteristiken-Methode wird durch eine Reihe numerischer Experimente bestätigt.