Métodos de fatoração de números inteiros

A fatoração de números inteiros é um assunto que, embora muito antigo, desperta cada vez mais interesse. Existem vários métodos de criptografia de chave pública, baseados não só em fatoração de inteiros, mas também em resolução de logarítmos discretos, por exemplo, cuja segurança depende da ineficiência dos métodos de fatoração conhecidos. Este trabalho tem como objetivo descrever os principais métodos de fatoração utillizados hoje em dia. Primeiramente, três métodos elementares serão estudados: o método de Fermat e os métodos Rho e p - 1 de Pollard. A seguir, os dois mais poderosos métodos de fatoração para inteiros sem forma especial: o método de curvas elípticas, e o método de peneira quadrática, os quais tomam como base os métodos p - 1 e de Fermat, respectivamente.

Obstáculos superados pelos matemáticos no passado e vivenciados pelos alunos na atualidade : a polêmica multiplicação de números inteiros

In Mathematics literature some records highlight the difficulties encountered in the teaching-learning process of integers. In the past, and for a long time, many mathematicians have experienced and overcome such difficulties, which become epistemological obstacles imposed on the students and teachers nowadays. The present work comprises the results of a research conducted in the city of Natal, Brazil, in the first half of 2010, at a state school and at a federal university. It involved a total of 45 students: 20 middle high, 9 high school and 16 university students. The central aim of this study was to identify, on the one hand, which approach used for the justification of the multiplication between integers is better understood by the students and, on the other hand, the elements present in the justifications which contribute to surmount the epistemological obstacles in the processes of teaching and learning of integers. To that end, we tried to detect to which extent the epistemological obstacles faced by the students in the learning of integers get closer to the difficulties experienced by mathematicians throughout human history. Given the nature of our object of study, we have based the theoretical foundation of our research on works related to the daily life of Mathematics teaching, as well as on theorists who analyze the process of knowledge building. We conceived two research tools with the purpose of apprehending the following information about our subjects: school life; the diagnosis on the knowledge of integers and their operations, particularly the multiplication of two negative integers; the understanding of four different justifications, as elaborated by mathematicians, for the rule of signs in multiplication. Regarding the types of approach used to explain the rule of signs arithmetic, geometric, algebraic and axiomatic , we have identified in the fieldwork that, when multiplying two negative numbers, the students could better understand the arithmetic approach. Our findings indicate that the approach of the rule of signs which is considered by the majority of students to be the easiest one can be used to help understand the notion of unification of the number line, an obstacle widely known nowadays in the process of teaching-learning

A construção e utilização de um Objeto de Aprendizagem através da perspectiva lógico-histórica na formação do conceito números inteiros

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

O surgimento dos números irracionais

Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes

A verbalização da linguagem matemática: números relativos - um estudo de caso no sétimo ano

Dissertação de mestrado, Comunicação Educacional, Faculdade de Ciências Humanas e Sociais. Universidade do Algarve. Faculdade de Letras, Universidade de Lisboa, 2006

De solutione problematum diophanteorum per números integros : o primeiro trabalho de Euler sobre equações diofantinas

The present dissertation analyses Leonhard Euler´s early mathematical work as Diophantine Equations, De solutione problematum diophanteorum per números íntegros (On the solution of Diophantine problems in integers). It was published in 1738, although it had been presented to the St Petersburg Academy of Science five years earlier. Euler solves the problem of making the general second degree expression a perfect square, i.e., he seeks the whole number solutions to the equation ax2+bx+c = y2. For this purpose, he shows how to generate new solutions from those already obtained. Accordingly, he makes a succession of substitutions equating terms and eliminating variables until the problem reduces to finding the solution of the Pell Equation. Euler erroneously assigns this type of equation to Pell. He also makes a number of restrictions to the equation ax2+bx+c = y and works on several subthemes, from incomplete equations to polygonal numbers

Sistema de numeração posicional e a lógica da divisão de inteiros

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Formalização do conjunto dos números racionais e alguns jogos com frações

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Sistema inteligente com entrada e saída remota sem fio.

Este trabalho avalia o desempenho de um controlador fuzzy (tipo Takagi-Sugeno-Kang) quando, utilizando tecnologia sem fio para conectar as entradas e a saída do controlador aos sensores/atuadores, sofre perda das informações destes canais, resultado de perdas de pacotes. Tipicamente são utilizados controladores PID nas malhas de controle. Assim, o estudo realizado compara os resultados obtidos com os controladores fuzzy com os resultados dos controladores PID. Além disso, o trabalho visa estudar o comportamento deste controlador implementado em uma arquitetura microprocessada utilizando números inteiros nos cálculos, interpolação com segmentos de reta para as funções de pertinência da entrada e singletons nas funções de pertinência da saída. Para esse estudo foi utilizado, num ambiente Matlab/Simulink, um controlador fuzzy e o aplicativo True Time para simular o ambiente sem fio. Desenvolvido pelo Departamento de Controle Automático da Universidade de Lund, o True Time é baseado no Matlab/Simulink e fornece todas as ferramentas necessárias para a criação de um ambiente de rede (com e sem fio) virtual. Dado o paradigma de que quanto maior for a utilização do canal, maior a degradação do mesmo, é avaliado o comportamento do sistema de controle e uma proposta para diminuir o impacto da perda de pacotes no controle do sistema, bem como o impacto da variação das características internas da planta e da arquitetura utilizada na rede. Inicialmente são realizados ensaios utilizando-se o controlador fuzzy virtual (Simulink) e, posteriormente, o controlador implementado com dsPIC. Ao final, é apresentado um resumo desses ensaios e a comprovação dos bons resultados obtidos com um controlador fuzzy numa malha de controle utilizando uma rede na entrada e na saída do controlador.

Cálculo mental – um estudo sobre as estratégias utilizadas por alunos do 3.º ano na adição e subtração

Relatório de Estágio apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Ensino do 1.º e do 2.º Ciclo do Ensino Básico

O ensino de matemática no CPES: análise de manuais

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Ensino de Matemática

Conjuntos númericos, razão, proporção e regra de três

Apresenta a revisão de tópicos de matemática elementar do ensino fundamental com visão do ensino superior. Na subunidade 1 são abordados os conceitos de conjuntos numéricos e algumas das propriedades inerentes à suas estruturas: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais, números reais, intervalos reais e números complexos. A subunidade 2 engloba a definição dos conceitos de grandezas proporcionais: números direta e inversamente proporcionais, grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de três simples, regra de três composta com resolução de problemas ilustrativos. Os exemplos resolvidos englobam a aplicação da regra de três simples e composta para grandezas direta e inversamente proporcionais.

Divisor e Máximo Divisor Comum

A videoaula traz o teorema da divisão no contexto dos números inteiros e o Máximo Divisor Comum (MDC). Destaca ainda o algoritmo de Euclides, sendo este usado para cálculo do máximo divisor comum.

Aritmética Modular

A videoaula traz o conceito de aritmética modular, como sendo o estudo das operações básicas sobre um contexto diferente, que é o sistema dos números inteiros módulo n. As operações básicas são: adição mod n, subtração mod n, multiplicação mod n, e divisão mod n. O material destaca ainda a adição e multiplicação modulares, a subtração e a divisão modular, o inverso modular e seus elementos e, por fim, o cálculo de equações.

A matemática sob a ótica do Tarô: Uma experiência com a educação de jovens e adultos

La recherche de la formation des citoyens critiques et participatifs, dans le travail pédagogique avec les jeunes et les adultes, a besoin d un entraînement pédagogique qui va au delà de l attitude traditionnelle d'apprendre avec des méthodes mécaniques et arbitraires qui, en insistant excessivement sur l image du professeur, donnent priorité à l'enseignement, au détriment de l apprentissage. Dans ce sens, la présente étude, cherchant la possibilité de réalisation d'un travail alternatif pour l'enseignement des Mathématiques, dans une perspective transdisciplinaire, dans le sens de développer l apprentissage significatif des étudiants jeunes et adultes du Projet Croire, présente les résultats d'une recherche-intervention qui a utilisé les lettres du tarot comme ressource didactique en salle de classe. On prétend, avec cela, montrer cet instrument comme facilité d apprentissage de contenus des Mathématiques comme systèmes de numération, nombres entiers et géométrie, en amenant les Mathématiques dans une perspective historique et culturelle et donnant un traitement global à l'acte complexe d'apprendre. Dans ce travail, le jeune étudiant et l étudiant adulte est pris comme individu concret, prenant en considération les aspects cognitifs et les aspects d attitude de son apprentissage, ce qui est favorisé par la nature des lettres du tarot et par la compréhension adoptée, des mathématiques comme système symbolique