Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales.

Se analiza el trabajo de investigación 'Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales'. Dicho trabajo consistió en el estudio de la manera en que los escolares aprenden los distintos sistemas de representación numérica y simbólica. Se estudia el trabajo a nivel de contenido, a nivel curricular y desde el punto de vista metodológico. Se observa que a lo largo del proceso se han volcado muchos esfuerzos en realizar un análisis preliminar del trabajo anterior al contacto con los alumnos. Se observa también que la integración del sistema decimal no ha sido muy tratado en el conjunto de sistemas de representación. Se tiene también en cuenta lo sistemático y descriptivo del trabajo que refleja todos los detalles de la investigación. Se aprecia, por último, que los resultados son abundantes dado que el trabajo es extenso pero que aún así sería interesante complementarlo con apreciaciones teóricas sobre la forma en que los alumnos realizan las abstracciones relativas a los sistemas de representación.

Reacción a la ponencia : fenómenos y problemas en la didáctica de las matemáticas.

Se realiza una réplica al trabajo 'Fenómenos y problemas en la didáctica de las matemáticas' exponiendo la falta de generalidad de algunos problemas que en el trabajo se presentan como generales. Queda patente que en varios de los casos no hay razón para distinguir entre problemas generales y específicos debido a que el tratamiento de los problemas específicos incluye también el de los generales. Falta por tanto una delimitación clara del marco epistemológico de la didáctica de las matemáticas. Finalmente, se expone el desconocimiento de la teoría antropológica usada por el ponente estudiado. A pesar de este desconocimiento por parte del ponente, tiene lugar un cierto entendimiento de la teoría debido a que está expuesta como un sistema de fundamentos matemáticos.

Didáctica de la matemática como disciplina científica.

Se describe el grupo de trabajo 'La didáctica de las matemáticas como disciplina científica'. Se explica su estructura. Esta se compone de varios subgrupos asignados a diversas universidades. Se expone también la actividad del grupo de trabajo. En el marco de la misma se describen dos sesiones de discusión. La primera versa sobre el artículo de Juan Díaz Godino 'Análisis epistémico, semiótico y didáctico de procesos de instrucción matemática'. En el citado trabajo se describe una metodología para la enseñanza de las matemáticas. La discusión se centra en la relaciones entre los distintos conceptos implicados en la metodología citada. La segunda sesión se dedica a la discusión sobre el trabajo ''Didactique fondamentale' versus 'Advanced Mathematical thinking' : ¿Dos programas de investigación inconmensurables?', debatiendo sobre la posibilidad de conciliar los puntos de vista expuestos en ambos trabajos.

Sobre la noción de límite en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales.

Se expone el estado de la investigación sobre la noción de límite en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales realizada por la autora. Se explican los problemas derivados de la enseñanza del concepto de límite. Se expone que los maestros achacan a la enseñanza previa una cierta dificultad de los alumnos para utilizar herramientas formales. Se explica también la dificultad de dar a los alumnos una idea intuitiva del límite. Esta se debe a que la mayor parte de las explicaciones informales usadas para introducir el concepto de límite dejan al alumno con una idea sesgada del mismo. Se da también una descripción de la muestra elegida para la investigación. Se explica que si bien no es una muestra aleatoria la investigación queda legitimada por la experiencia de los investigadores y la saturación de la experiencia. Se constatan los problemas derivados de la enseñanza recibida por los alumnos antes de comenzar el aprendizaje del límite. Se comprueba que las carencias en el aprendizaje de la aproximación generan problemas el de los límites. Se comprueba también que muchas de las dificultades provienen de un incorrecto tratamiento del concepto de función en los cursos anteriores.

Marcos teóricos y metodológicos para la investigación en educación matemática creando espacios de comunicación.

Se exponen las bases para la creación de un marco común de investigación en educación matemática mencionando la importancia de poner en común los distintos métodos de investigación y la necesaria diversidad de éstos a consecuencia de la propia diversidad de las materias investigadas. Se exponen cuatro puntos a partir de los cuales comenzar el debate sobre el contenido del marco metodológico. El primer punto es la identificación de una temática en cuya parte del diseño de la investigación se deben exponer los datos previamente conocidos: objetivos de la investigación, hipótesis realizadas, objetos de estudio, etc. El segundo es el planteamiento de las distintas cuestiones que surgen del conflicto entre los distintos métodos de investigación existentes. En tercer lugar se escuchan los planteamientos de los presentes para comenzar a dar forma a las respuestas a las preguntas planteadas. Por último se realiza un debate utilizando toda la información anteriormente expuesta.

Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico-antropológico para la investigación en didáctica de las matemáticas.

Se describe la estructura para una nueva forma de investigación. Se establecen las pautas para diseñar nuevas investigaciones así como metodologías para la investigación en educación matemática. Se describen tres campos imprescindibles en la investigación: caracterización de nuevos conceptos, interacción entre ellos y evolución hacia otros nuevos. Se expone por último la importancia de dar criterios que legitimen los resultados de las investigaciones y la relación entre los datos concretos observados y los problemas teóricos planteados.

Aproximación a un marco teórico y metodológico específico para la investigación en educación matemática.

Se expone un marco para la investigación en educación matemática. Se exponen en primer lugar los problemas por los que éste es necesario. Se explica que los métodos de investigación están muy fragmentados. Esto se debe a una fuerte separación entre los seguidores de los distintos métodos de investigación. Se expone que los desarrolladores de cada método se centran fundamentalmente en aquello que diferencia su método de los demás y tratan de mostrarlo como algo totalmente independiente e incompatible con el resto de métodos. Se expresa la necesidad de la unificación de los distintos métodos haciendo hincapié en el parecido entre ellos. Se enumeran varias tareas importantes a realizar en toda investigación en educación matemática. La primera es definir con precisión el tema a investigar. A continuación se aconseja valorar la importancia de cada uno de los datos a recoger en la investigación. Se aconseja también revisar el mayor número posible de estudios e investigaciones existentes.

Cuatro cuestiones en torno al aprendizaje de la demostración.

Se estudia el proceso de aprendizaje de los estudiantes de bachiller en materia de demostraciones matemáticas. Se describen criterios para determinar que una demostración matemática se han entendido. Entre ellos se encuentran entender el enunciado, entender los pasos de la demostración y comprender globalmente la solución como una respuesta universal al enunciado. Se estudia que tipos de demostraciones son aceptadas como tales por los alumnos. Se encuentran alumnos que admiten pruebas Empíricas, analíticas, deductivas, basadas en un sólo caso y también basadas en varios casos. Se tiene, por lo tanto, que existe una diveridad de tipos de pruebas y que la aceptación de unas y otras por parte de los alumnos no es excluyente. Se estudia la capacidad de los alumnos para discriminar demostraciones de otros enunciados matemáticos. De los resultados se deduce que la mayoría de los alumnos no son capaces de distinguir una demostración de un ejemplo concreto de una demostración real. Se estudia por último la manera en que la redacción de los enunciados afecta a la manera en que los alumnos lo entienden. Se concluye que un mismo enunciado puede ser interpretado de múltiples maneras cambiando la redacción del mismo o simplemente utilizando los elementos del lenguaje de la lógica que más ambiguos resulten en el lenguaje natural.

La demostración en matemática : una aproximación epistemológica y didáctica.

Se explican los diferentes tipos de demostraciones y su efectividad en la docencia. Se expone la tendencia de los docentes en matemáticas al uso de demostraciones extrictamente formales. Se explica que la procedencia de dicha tendencia es la consideración de las demostraciones formales como las únicas realmente fiables en los entornos matemáticos. Se expone el contraste entre la forma de razonar de los alumnos y las explicaciones de los profesores. Dicho contraste consiste en los tipos de demostración entendidos como correctos por cada uno de ellos. Se explica que los alumnos entienden las demostraciones empíricas pero tienen muchos problemas para aceptar las demostraciones puramente abstractas y formales. Se propone, por lo tanto, cambiar el modelo de enseñanza hacia uno que contemple ambos tipos de demostración.

Sobre conjeturas y demostraciones en la enseñanza de las matemáticas.

Se realiza un ensayo sobre la importancia de las hipótesis e ideas intuitivas en la enseñanza de las demostraciones. Se explica el proceso demostrativo como un proceso de conjetura-demostración-refutación. Se expresa que la primera parte es la más intuitiva y basada en lanzar hipótesis a la vista del problema. Se expone que la segunda y la tercera son las de mayor carga de abstracción requiriendo demostrar o refutar leyes matemáticas utilizando la lógica. Se indica que la enseñanza se centra mucho en la parte de demostración-refutación. Se propone centrarla más en la conjetura-demostración por ser mucho más cercana al estudiante ya que éste tiene mucha más facilidad para plantear hipótesis a la vista del problema aunque no sepa razonar con precisión el motivo por el cual la ley es válida. Se explica que de esta manera se puede salvar el abismo inicial entre las habilidades demostrativas del alumno y la dificultad de las demostraciones formales. Se entiende que con la práctica el alumno irá aumentando su capacidad para realizar las tareas deductivas más abstractas. Se comentan varios experimentos realizados sobre alumnos de secundaria que corroboran dichas conclusiones.

Análisis de datos e investigación en didáctica de la matemática : una aproximación desde la teoría de situaciones.

Se trata la teoría de situaciones. El documento tiene dos partes. En la primera se explica de manera abstracta la Teoría de Situaciones y la manera en que el análisis de datos se le puede aplicar. En la segunda parte se muestra un ejemplo práctico de lo explicado. Se muestran para ello varias formas distintas en las que el análisis de datos puede servir a una investigación en didáctica de las matemáticas. Para llevar a cabo todo esto se aplican conceptos de la ingeniería didáctica y la Teoría de Situaciones.

Cuestiones metodológicas en la investigación educativa.

Se reflexiona sobre los métodos a seguir en las investigaciones en educación matemática. Se realiza una breve explicación de la estructura que debe tener el estudio teórico previo a una investigación. Se reflexiona sobre la importancia de definir bien el problema y los métodos a usar en la investigación. Se expone como ejemplo de investigación la de Vallecillos (1994). En dicha investigación se usó un método estadístico combinado con entrevistas semiestructuradas. El método estadístico arroja resultados muy útiles, mostrando los puntos flacos de la comprensión de la estadística en los estudiantes. Las entrevistas confirman posteriormente estos resultados. Se concluye que el método estadístico es muy útil para la investigación en didáctica de las matemáticas pero que debe de ser aplicado con sumo cuidado. Esto último se debe a que un método no sirve de nada sin una buena definición del problema, de las herramientas y de la interpretación a dar a los datos en una investigación.

Investigación en el aula : las decisiones condicionan las interacciones.

Se estudia las consecuencias de las decisiones de diseño de una investigación en las interacciones que posteriormente se producen entre investigador y sujeto. Se trabaja sobre el ejemplo de una investigación sobre el aprendizaje de los números reales y su representación en la recta. Dicha investigación se realiza sobre alumnos de primer y segundo curso de bachiller, así como de primer curso de licenciatura en matemáticas. Se decide dividir la investigación en tres estudios. El primero es una análisis preliminar sobre los números reales. El segundo es el trabajo de campo con estudiantes. El último es un análisis de los resultados obtenidos y el historial de decisiones de la investigación. La muestra de sujetos de la investigación consta de varios estudiantes de secundaria y primer curso de licenciatura que no han podido ser elegidos por los investigadores. La fase empírica de la investigación consiste en la proposición de una serie de tests a los alumnos. La primera parte del estudio con alumnos se realiza en el aula. Una vez realizados los test en grupo, se hacen entrevistas individuales en una habitación aparte. Durante dichas entrevistas, la labor del investigador es fundamentalmente dejarle claro al alumno que el test no va a ser evaluado ni tendrá repercusión en su currículum. Se observa que la comunicación con los alumnos logra aumentar la fiabilidad del estudio tranquilizando a los estudiantes.

Una actividad matemática organizada en el marco de los modelos teóricos locales : razón y proporción en la escuela primaria.

Se explica una forma de investigación basada en modelos teóricos locales. Se documenta la aplicación de dicho sistema sobre un caso de investigación de enseñanza de la razón y proporción en alumnos de primaria. El sistema de investigación consiste en la generación de una serie de modelos que reflejan las creencias establecidas sobre la forma en que se produce un fenómeno determinado, en este caso la enseñanza matemática. Con dichos modelos, se formulan varias hipótesis contrastables sobre la manera en que los alumnos aprenden. Posteriormente, se realiza un test de papel y lápiz a un grupo amplio de alumnos. En función de los resultados de dicho test, se escoge una muestra de alumnos que representen los distintos tipos de alumnos que puede haber en el grupo. Con los alumnos seleccionados se realizan entrevistas personalizadas durante las cuales se experimenta la enseñanza de la razón y la proporción. Se recoge detalladamente lo ocurrido durante dichas entrevistas. Basándose en los datos de las entrevistas, se determina la manera en que los estudiantes razonan. A partir de dichas determinaciones, se realiza un nuevo modelo teórico local, que en un futuro servirá como punto de partida para una posterior investigación.

Métodos alternativos de investigación en didáctica de las matemáticas : la observación.

Se expone un método de investigación en didáctica de las matemáticas basado en la observación. Dicho método considera la enseñanza una ingeniería. Se considera, por lo tanto, que existe una ciencia ligada a la didáctica de las matemáticas. Se expone la observación como método fundamental para desarrollar la ciencia de la didáctica de las matemáticas. Se indican los problemas más comunes que surgen a la hora de realizar observaciones en didáctica de las matemáticas. En primer lugar se explica que es necesario observar para que los profesores puedan comprender los problemas en su práctica diaria y corregirlos. Se expone que el objeto a observar siempre deben de ser las clases en sí mismas (ya sea en vivo o mediante grabaciones) y nunca entrevistas o cuestionarios realizados aparte. Se explica también que para observar la enseñanza de una manera adecuada es preciso ser objetivo y evitar que los prejuicios del observador enturbien su labor. Se detalla un método de observación basado en análisis. Dicho método consiste en realizar un análisis 'a priori' antes de realizar la observación y otro 'a posteriori' en el que se contrasten las espectativas con los resultados observados. Por último, se explica que la puesta en práctica de dichos métodos por parte de los profesores les ayudaría a aprender a enseñar..