Maximum principle, mean value operators and quasi boundedness in non-euclidean settings

This work deals with some classes of linear second order partial differential operators with non-negative characteristic form and underlying non- Euclidean structures. These structures are determined by families of locally Lipschitz-continuous vector fields in RN, generating metric spaces of Carnot- Carath´eodory type. The Carnot-Carath´eodory metric related to a family {Xj}j=1,...,m is the control distance obtained by minimizing the time needed to go from two points along piecewise trajectories of vector fields. We are mainly interested in the causes in which a Sobolev-type inequality holds with respect to the X-gradient, and/or the X-control distance is Doubling with respect to the Lebesgue measure in RN. This study is divided into three parts (each corresponding to a chapter), and the subject of each one is a class of operators that includes the class of the subsequent one. In the first chapter, after recalling “X-ellipticity” and related concepts introduced by Kogoj and Lanconelli in [KL00], we show a Maximum Principle for linear second order differential operators for which we only assume a Sobolev-type inequality together with a lower terms summability. Adding some crucial hypotheses on measure and on vector fields (Doubling property and Poincar´e inequality), we will be able to obtain some Liouville-type results. This chapter is based on the paper [GL03] by Guti´errez and Lanconelli. In the second chapter we treat some ultraparabolic equations on Lie groups. In this case RN is the support of a Lie group, and moreover we require that vector fields satisfy left invariance. After recalling some results of Cinti [Cin07] about this class of operators and associated potential theory, we prove a scalar convexity for mean-value operators of L-subharmonic functions, where L is our differential operator. In the third chapter we prove a necessary and sufficient condition of regularity, for boundary points, for Dirichlet problem on an open subset of RN related to sub-Laplacian. On a Carnot group we give the essential background for this type of operator, and introduce the notion of “quasi-boundedness”. Then we show the strict relationship between this notion, the fundamental solution of the given operator, and the regularity of the boundary points.

Jarrow-Yildirim model for inflation: theory and applications

This thesis deals with inflation theory, focussing on the model of Jarrow & Yildirim, which is nowadays used when pricing inflation derivatives. After recalling main results about short and forward interest rate models, the dynamics of the main components of the market are derived. Then the most important inflation-indexed derivatives are explained (zero coupon swap, year-on-year, cap and floor), and their pricing proceeding is shown step by step. Calibration is explained and performed with a common method and an heuristic and non standard one. The model is enriched with credit risk, too, which allows to take into account the possibility of bankrupt of the counterparty of a contract. In this context, the general method of pricing is derived, with the introduction of defaultable zero-coupon bonds, and the Monte Carlo method is treated in detailed and used to price a concrete example of contract. Appendixes: A: martingale measures, Girsanov's theorem and the change of numeraire. B: some aspects of the theory of Stochastic Differential Equations; in particular, the solution for linear EDSs, and the Feynman-Kac Theorem, which shows the connection between EDSs and Partial Differential Equations. C: some useful results about normal distribution.

Modellazione multibody di veicoli ferroviari: sviluppo ed implementazione di modelli innovativi per l'analisi del contatto ruota - rotaia

The wheel - rail contact analysis plays a fundamental role in the multibody modeling of railway vehicles. A good contact model must provide an accurate description of the global contact phenomena (contact forces and torques, number and position of the contact points) and of the local contact phenomena (position and shape of the contact patch, stresses and displacements). The model has also to assure high numerical efficiency (in order to be implemented directly online within multibody models) and a good compatibility with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). The wheel - rail contact problem has been discussed by several authors and many models can be found in the literature. The contact models can be subdivided into two different categories: the global models and the local (or differential) models. Currently, as regards the global models, the main approaches to the problem are the so - called rigid contact formulation and the semi – elastic contact description. The rigid approach considers the wheel and the rail as rigid bodies. The contact is imposed by means of constraint equations and the contact points are detected during the dynamic simulation by solving the nonlinear algebraic differential equations associated to the constrained multibody system. Indentation between the bodies is not permitted and the normal contact forces are calculated through the Lagrange multipliers. Finally the Hertz’s and the Kalker’s theories allow to evaluate the shape of the contact patch and the tangential forces respectively. Also the semi - elastic approach considers the wheel and the rail as rigid bodies. However in this case no kinematic constraints are imposed and the indentation between the bodies is permitted. The contact points are detected by means of approximated procedures (based on look - up tables and simplifying hypotheses on the problem geometry). The normal contact forces are calculated as a function of the indentation while, as in the rigid approach, the Hertz’s and the Kalker’s theories allow to evaluate the shape of the contact patch and the tangential forces. Both the described multibody approaches are computationally very efficient but their generality and accuracy turn out to be often insufficient because the physical hypotheses behind these theories are too restrictive and, in many circumstances, unverified. In order to obtain a complete description of the contact phenomena, local (or differential) contact models are needed. In other words wheel and rail have to be considered elastic bodies governed by the Navier’s equations and the contact has to be described by suitable analytical contact conditions. The contact between elastic bodies has been widely studied in literature both in the general case and in the rolling case. Many procedures based on variational inequalities, FEM techniques and convex optimization have been developed. This kind of approach assures high generality and accuracy but still needs very large computational costs and memory consumption. Due to the high computational load and memory consumption, referring to the current state of the art, the integration between multibody and differential modeling is almost absent in literature especially in the railway field. However this integration is very important because only the differential modeling allows an accurate analysis of the contact problem (in terms of contact forces and torques, position and shape of the contact patch, stresses and displacements) while the multibody modeling is the standard in the study of the railway dynamics. In this thesis some innovative wheel – rail contact models developed during the Ph. D. activity will be described. Concerning the global models, two new models belonging to the semi – elastic approach will be presented; the models satisfy the following specifics: 1) the models have to be 3D and to consider all the six relative degrees of freedom between wheel and rail 2) the models have to consider generic railway tracks and generic wheel and rail profiles 3) the models have to assure a general and accurate handling of the multiple contact without simplifying hypotheses on the problem geometry; in particular the models have to evaluate the number and the position of the contact points and, for each point, the contact forces and torques 4) the models have to be implementable directly online within the multibody models without look - up tables 5) the models have to assure computation times comparable with those of commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail) and compatible with RT and HIL applications 6) the models have to be compatible with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). The most innovative aspect of the new global contact models regards the detection of the contact points. In particular both the models aim to reduce the algebraic problem dimension by means of suitable analytical techniques. This kind of reduction allows to obtain an high numerical efficiency that makes possible the online implementation of the new procedure and the achievement of performance comparable with those of commercial multibody software. At the same time the analytical approach assures high accuracy and generality. Concerning the local (or differential) contact models, one new model satisfying the following specifics will be presented: 1) the model has to be 3D and to consider all the six relative degrees of freedom between wheel and rail 2) the model has to consider generic railway tracks and generic wheel and rail profiles 3) the model has to assure a general and accurate handling of the multiple contact without simplifying hypotheses on the problem geometry; in particular the model has to able to calculate both the global contact variables (contact forces and torques) and the local contact variables (position and shape of the contact patch, stresses and displacements) 4) the model has to be implementable directly online within the multibody models 5) the model has to assure high numerical efficiency and a reduced memory consumption in order to achieve a good integration between multibody and differential modeling (the base for the local contact models) 6) the model has to be compatible with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). In this case the most innovative aspects of the new local contact model regard the contact modeling (by means of suitable analytical conditions) and the implementation of the numerical algorithms needed to solve the discrete problem arising from the discretization of the original continuum problem. Moreover, during the development of the local model, the achievement of a good compromise between accuracy and efficiency turned out to be very important to obtain a good integration between multibody and differential modeling. At this point the contact models has been inserted within a 3D multibody model of a railway vehicle to obtain a complete model of the wagon. The railway vehicle chosen as benchmark is the Manchester Wagon the physical and geometrical characteristics of which are easily available in the literature. The model of the whole railway vehicle (multibody model and contact model) has been implemented in the Matlab/Simulink environment. The multibody model has been implemented in SimMechanics, a Matlab toolbox specifically designed for multibody dynamics, while, as regards the contact models, the CS – functions have been used; this particular Matlab architecture allows to efficiently connect the Matlab/Simulink and the C/C++ environment. The 3D multibody model of the same vehicle (this time equipped with a standard contact model based on the semi - elastic approach) has been then implemented also in Simpack Rail, a commercial multibody software for railway vehicles widely tested and validated. Finally numerical simulations of the vehicle dynamics have been carried out on many different railway tracks with the aim of evaluating the performances of the whole model. The comparison between the results obtained by the Matlab/ Simulink model and those obtained by the Simpack Rail model has allowed an accurate and reliable validation of the new contact models. In conclusion to this brief introduction to my Ph. D. thesis, we would like to thank Trenitalia and the Regione Toscana for the support provided during all the Ph. D. activity. Moreover we would also like to thank the INTEC GmbH, the society the develops the software Simpack Rail, with which we are currently working together to develop innovative toolboxes specifically designed for the wheel rail contact analysis.

Ein inverses Problem für die degeneriert parabolische Richardsgleichung

In der vorliegenden Arbeit werden zwei physikalischeFließexperimente an Vliesstoffen untersucht, die dazu dienensollen, unbekannte hydraulische Parameter des Materials, wiez. B. die Diffusivitäts- oder Leitfähigkeitsfunktion, ausMeßdaten zu identifizieren. Die physikalische undmathematische Modellierung dieser Experimente führt auf einCauchy-Dirichlet-Problem mit freiem Rand für die degeneriertparabolische Richardsgleichung in derSättigungsformulierung, das sogenannte direkte Problem. Ausder Kenntnis des freien Randes dieses Problems soll dernichtlineare Diffusivitätskoeffizient derDifferentialgleichung rekonstruiert werden. Für diesesinverse Problem stellen wir einOutput-Least-Squares-Funktional auf und verwenden zu dessenMinimierung iterative Regularisierungsverfahren wie dasLevenberg-Marquardt-Verfahren und die IRGN-Methode basierendauf einer Parametrisierung des Koeffizientenraumes durchquadratische B-Splines. Für das direkte Problem beweisen wirunter anderem Existenz und Eindeutigkeit der Lösung desCauchy-Dirichlet-Problems sowie die Existenz des freienRandes. Anschließend führen wir formal die Ableitung desfreien Randes nach dem Koeffizienten, die wir für dasnumerische Rekonstruktionsverfahren benötigen, auf einlinear degeneriert parabolisches Randwertproblem zurück.Wir erläutern die numerische Umsetzung und Implementierungunseres Rekonstruktionsverfahrens und stellen abschließendRekonstruktionsergebnisse bezüglich synthetischer Daten vor.

Black-scholes type equations

In this work we are concerned with the analysis and numerical solution of Black-Scholes type equations arising in the modeling of incomplete financial markets and an inverse problem of determining the local volatility function in a generalized Black-Scholes model from observed option prices. In the first chapter a fully nonlinear Black-Scholes equation which models transaction costs arising in option pricing is discretized by a new high order compact scheme. The compact scheme is proved to be unconditionally stable and non-oscillatory and is very efficient compared to classical schemes. Moreover, it is shown that the finite difference solution converges locally uniformly to the unique viscosity solution of the continuous equation. In the next chapter we turn to the calibration problem of computing local volatility functions from market data in a generalized Black-Scholes setting. We follow an optimal control approach in a Lagrangian framework. We show the existence of a global solution and study first- and second-order optimality conditions. Furthermore, we propose an algorithm that is based on a globalized sequential quadratic programming method and a primal-dual active set strategy, and present numerical results. In the last chapter we consider a quasilinear parabolic equation with quadratic gradient terms, which arises in the modeling of an optimal portfolio in incomplete markets. The existence of weak solutions is shown by considering a sequence of approximate solutions. The main difficulty of the proof is to infer the strong convergence of the sequence. Furthermore, we prove the uniqueness of weak solutions under a smallness condition on the derivatives of the covariance matrices with respect to the solution, but without additional regularity assumptions on the solution. The results are illustrated by a numerical example.

Gebietserkennung mit der Faktorisierungsmethode

In der vorliegenden Arbeit wird die Faktorisierungsmethode zur Erkennung von Gebieten mit sprunghaft abweichenden Materialparametern untersucht. Durch eine abstrakte Formulierung beweisen wir die der Methode zugrunde liegende Bildraumidentität für allgemeine reelle elliptische Probleme und deduzieren bereits bekannte und neue Anwendungen der Methode. Für das spezielle Problem, magnetische oder perfekt elektrisch leitende Objekte durch niederfrequente elektromagnetische Strahlung zu lokalisieren, zeigen wir die eindeutige Lösbarkeit des direkten Problems für hinreichend kleine Frequenzen und die Konvergenz der Lösungen gegen die der elliptischen Gleichungen der Magnetostatik. Durch Anwendung unseres allgemeinen Resultats erhalten wir die eindeutige Rekonstruierbarkeit der gesuchten Objekte aus elektromagnetischen Messungen und einen numerischen Algorithmus zur Lokalisierung der Objekte. An einem Musterproblem untersuchen wir, wie durch parabolische Differentialgleichungen beschriebene Einschlüsse in einem durch elliptische Differentialgleichungen beschriebenen Gebiet rekonstruiert werden können. Dabei beweisen wir die eindeutige Lösbarkeit des zugrunde liegenden parabolisch-elliptischen direkten Problems und erhalten durch eine Erweiterung der Faktorisierungsmethode die eindeutige Rekonstruierbarkeit der Einschlüsse sowie einen numerischen Algorithmus zur praktischen Umsetzung der Methode.

Parameterschätzung in zeitdiskreten ergodischen Markov-Prozessen am Beispiel des Cox-Ingersoll-Ross-Modells

In dieser Arbeit geht es um die Schätzung von Parametern in zeitdiskreten ergodischen Markov-Prozessen im allgemeinen und im CIR-Modell im besonderen. Beim CIR-Modell handelt es sich um eine stochastische Differentialgleichung, die von Cox, Ingersoll und Ross (1985) zur Beschreibung der Dynamik von Zinsraten vorgeschlagen wurde. Problemstellung ist die Schätzung der Parameter des Drift- und des Diffusionskoeffizienten aufgrund von äquidistanten diskreten Beobachtungen des CIR-Prozesses. Nach einer kurzen Einführung in das CIR-Modell verwenden wir die insbesondere von Bibby und Sørensen untersuchte Methode der Martingal-Schätzfunktionen und -Schätzgleichungen, um das Problem der Parameterschätzung in ergodischen Markov-Prozessen zunächst ganz allgemein zu untersuchen. Im Anschluss an Untersuchungen von Sørensen (1999) werden hinreichende Bedingungen (im Sinne von Regularitätsvoraussetzungen an die Schätzfunktion) für die Existenz, starke Konsistenz und asymptotische Normalität von Lösungen einer Martingal-Schätzgleichung angegeben. Angewandt auf den Spezialfall der Likelihood-Schätzung stellen diese Bedingungen zugleich lokal-asymptotische Normalität des Modells sicher. Ferner wird ein einfaches Kriterium für Godambe-Heyde-Optimalität von Schätzfunktionen angegeben und skizziert, wie dies in wichtigen Spezialfällen zur expliziten Konstruktion optimaler Schätzfunktionen verwendet werden kann. Die allgemeinen Resultate werden anschließend auf das diskretisierte CIR-Modell angewendet. Wir analysieren einige von Overbeck und Rydén (1997) vorgeschlagene Schätzer für den Drift- und den Diffusionskoeffizienten, welche als Lösungen quadratischer Martingal-Schätzfunktionen definiert sind, und berechnen das optimale Element in dieser Klasse. Abschließend verallgemeinern wir Ergebnisse von Overbeck und Rydén (1997), indem wir die Existenz einer stark konsistenten und asymptotisch normalen Lösung der Likelihood-Gleichung zeigen und lokal-asymptotische Normalität für das CIR-Modell ohne Einschränkungen an den Parameterraum beweisen.

The factorization method for real elliptic problems

The Factorization Method localizes inclusions inside a body from measurements on its surface. Without a priori knowing the physical parameters inside the inclusions, the points belonging to them can be characterized using the range of an auxiliary operator. The method relies on a range characterization that relates the range of the auxiliary operator to the measurements and is only known for very particular applications. In this work we develop a general framework for the method by considering symmetric and coercive operators between abstract Hilbert spaces. We show that the important range characterization holds if the difference between the inclusions and the background medium satisfies a coerciveness condition which can immediately be translated into a condition on the coefficients of a given real elliptic problem. We demonstrate how several known applications of the Factorization Method are covered by our general results and deduce the range characterization for a new example in linear elasticity.

Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

Diagnose der Residuumszirkulation und ihre Bedeutung für die Klimavariabilität der Stratosphäre

Mit einem in dieser Arbeit entwickelten Diagnose-Werkzeug wird im Rahmenrneines einfachen mechanistischenModells die Residuumszirkulation in der Stratosphärernermittelt. Die Residuumszirkulation wird als eine Schlüsselgröße für diernKlimavariabilität der Stratosphäre angesehen. Für die Diagnose wird mit einemrnmechanistischem Modell die Ausbreitung und das Brechen planetarer Wellenrnbeschrieben und der daraus resultierende Wellenantrieb bestimmt. Dieser Wellenantriebrnwird verwendet, um mit der numerischen Lösung einer elliptischenrnDifferentialgleichung die Residuumszirkulation zu berechnen.rnDieses Diagnose-Werkzeug wird genutzt, um in atmosphärischen Reanalysedatenrnden Zusammenhang der Residuumszirkulation mit verschiedenen Modenrnstratosphärischer Klimavariabilität zu untersuchen. Während für unterschiedlichernPhasen der quasi-zweijährigen Schwingung und der Nordatlantischen Oszillationrndie Residuumszirkulation deutliche Unterschiede aufzeigt, kann ein Einflussrndes 11-jährigen Sonnenfleckenzyklus auf die Residuumszirkulation nichtrneindeutig nachgewiesen werden. Eine Datenstudie zeigt, dass in den WintermonatenrnDezember und Januar die Stärke der Residuumszirkulation mit derrnTemperatur der unteren polaren Stratosphäre signifikant korreliert ist.

Wavelet estimation in diffusions with periodicity

Wir betrachten einen zeitlich inhomogenen Diffusionsprozess, der durch eine stochastische Differentialgleichung gegeben wird, deren Driftterm ein deterministisches T-periodisches Signal beinhaltet, dessen Periodizität bekannt ist. Dieses Signal sei in einem Besovraum enthalten. Wir schätzen es mit Hilfe eines nichtparametrischen Waveletschätzers. Unser Schätzer ist von einem Wavelet-Dichteschätzer mit Thresholding inspiriert, der 1996 in einem klassischen iid-Modell von Donoho, Johnstone, Kerkyacharian und Picard konstruiert wurde. Unter gewissen Ergodizitätsvoraussetzungen an den Prozess können wir nichtparametrische Konvergenzraten angegeben, die bis auf einen logarithmischen Term den Raten im klassischen iid-Fall entsprechen. Diese Raten werden mit Hilfe von Orakel-Ungleichungen gezeigt, die auf Ergebnissen über Markovketten in diskreter Zeit von Clémencon, 2001, beruhen. Außerdem betrachten wir einen technisch einfacheren Spezialfall und zeigen einige Computersimulationen dieses Schätzers.

Potential Analysis for Hypoelliptic Second Order PDEs with Nonnegative Characteristic Form

In this Thesis we consider a class of second order partial differential operators with non-negative characteristic form and with smooth coefficients. Main assumptions on the relevant operators are hypoellipticity and existence of a well-behaved global fundamental solution. We first make a deep analysis of the L-Green function for arbitrary open sets and of its applications to the Representation Theorems of Riesz-type for L-subharmonic and L-superharmonic functions. Then, we prove an Inverse Mean value Theorem characterizing the superlevel sets of the fundamental solution by means of L-harmonic functions. Furthermore, we establish a Lebesgue-type result showing the role of the mean-integal operator in solving the homogeneus Dirichlet problem related to L in the Perron-Wiener sense. Finally, we compare Perron-Wiener and weak variational solutions of the homogeneous Dirichlet problem, under specific hypothesis on the boundary datum.

Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit besch¨aftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. Ein Feynman–Integral h¨angt von einem Dimensionsparameter D ab und kann f¨ur ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte Feynman–Parameter Darstellung. In Abh¨angigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren. Als Funktion in D erh¨alt man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes Integral kann also durch eine Laurent–Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten r¨ucken in das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet. Alle Terme einer solchen Laurent–Reihe eines Feynman–Integrals sind Perioden im Sinne von Kontsevich und Zagier. Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten ”integration by parts” (IBP)– Identit¨aten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picard–Fuchs–Differentialgleichungen. Im Falle projektiver oder quasi–projektiver Variet¨aten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung auf der sogenannten Griffiths–Dwork–Reduktion. Zun¨achst beschreibe ich die Methode f¨ur feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung der Dimension erh¨alt man direkt eine Periode und somit eine Picard–Fuchs–Differentialgleichung. Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf Tarasov zur¨uckgehen, kann in einem zweiten Schritt die L¨osung in der urspr¨unglichen Dimension bestimmt werden. Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffiths–Dwork–Reduktion basiert, um die Differentialgleichung direkt f¨ur beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein g¨ultig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode h¨angt von der M¨oglichkeit ab, große Systeme von linearen Gleichungen zu l¨osen. Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich die Differentialgleichung des sogenannten Sunrise–Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall beliebiger Massen. Diese ist f¨ur spezielle Werte von D eine inhomogene Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunrise–Graph ist besonders interessant, weil eine analytische L¨osung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste Graph ist, dessen Master–Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie von K3–Fl¨achen auf.

The Feynman-Kac formula and applications to PDEs

The thesis presents a probabilistic approach to the theory of semigroups of operators, with particular attention to the Markov and Feller semigroups. The first goal of this work is the proof of the fundamental Feynman-Kac formula, which gives the solution of certain parabolic Cauchy problems, in terms of the expected value of the initial condition computed at the associated stochastic diffusion processes. The second target is the characterization of the principal eigenvalue of the generator of a semigroup with Markov transition probability function and of second order elliptic operators with real coefficients not necessarily self-adjoint. The thesis is divided into three chapters. In the first chapter we study the Brownian motion and some of its main properties, the stochastic processes, the stochastic integral and the Itô formula in order to finally arrive, in the last section, at the proof of the Feynman-Kac formula. The second chapter is devoted to the probabilistic approach to the semigroups theory and it is here that we introduce Markov and Feller semigroups. Special emphasis is given to the Feller semigroup associated with the Brownian motion. The third and last chapter is divided into two sections. In the first one we present the abstract characterization of the principal eigenvalue of the infinitesimal generator of a semigroup of operators acting on continuous functions over a compact metric space. In the second section this approach is used to study the principal eigenvalue of elliptic partial differential operators with real coefficients. At the end, in the appendix, we gather some of the technical results used in the thesis in more details. Appendix A is devoted to the Sion minimax theorem, while in appendix B we prove the Chernoff product formula for not necessarily self-adjoint operators.

Nucleation studies on graphics processing units

Ein System in einem metastabilen Zustand muss eine bestimmte Barriere in derrnfreien Energie überwinden um einen Tropfen der stabilen Phase zu formen.rnHerkömmliche Untersuchungen nehmen hierbei kugelförmige Tropfen an. Inrnanisotropen Systemen (wie z.B. Kristallen) ist diese Annahme aber nicht ange-rnbracht. Bei tiefen Temperaturen wirkt sich die Anisotropie des Systems starkrnauf die freie Energie ihrer Oberfläche aus. Diese Wirkung wird oberhalb derrnAufrauungstemperatur T R schwächer. Das Ising-Modell ist ein einfaches Mo-rndell, welches eine solche Anisotropie aufweist. Wir führen großangelegte Sim-rnulationen durch, um die Effekte, die mit einer endlichen Simulationsbox ein-rnhergehen, sowie statistische Ungenauigkeiten möglichst klein zu halten. DasrnAusmaß der Simulationen die benötigt werden um sinnvolle Ergebnisse zu pro-rnduzieren, erfordert die Entwicklung eines skalierbaren Simulationsprogrammsrnfür das Ising-Modell, welcher auf verschiedenen parallelen Architekturen (z.B.rnGrafikkarten) verwendet werden kann. Plattformunabhängigkeit wird durch ab-rnstrakte Schnittstellen erreicht, welche plattformspezifische Implementierungs-rndetails verstecken. Wir benutzen eine Systemgeometrie die es erlaubt eine Ober-rnfläche mit einem variablen Winkel zur Kristallebene zu untersuchen. Die Ober-rnfläche ist in Kontakt mit einer harten Wand, wobei der Kontaktwinkel Θ durchrnein Oberflächenfeld eingestellt werden kann. Wir leiten eine Differenzialglei-rnchung ab, welche das Verhalten der freien Energie der Oberfläche in einemrnanisotropen System beschreibt. Kombiniert mit thermodynamischer Integrationrnkann die Gleichung benutzt werden, um die anisotrope Oberflächenspannungrnüber einen großen Winkelbereich zu integrieren. Vergleiche mit früheren Mes-rnsungen in anderen Geometrien und anderen Methoden zeigen hohe Überein-rnstimung und Genauigkeit, welche vor allem durch die im Vergleich zu früherenrnMessungen wesentlich größeren Simulationsdomänen erreicht wird. Die Temper-rnaturabhängigkeit der Oberflächensteifheit κ wird oberhalb von T R durch diernKrümmung der freien Energie der Oberfläche für kleine Winkel gemessen. DiesernMessung lässt sich mit Simulationsergebnissen in der Literatur vergleichen undrnhat bessere Übereinstimmung mit theoretischen Voraussagen über das Skalen-rnverhalten von κ. Darüber hinaus entwickeln wir ein Tieftemperatur-Modell fürrndas Verhalten um Θ = 90 Grad weit unterhalb von T R. Der Winkel bleibt bis zu einemrnkritischen Feld H C quasi null; oberhalb des kritischen Feldes steigt der Winkelrnrapide an. H C wird mit der freien Energie einer Stufe in Verbindung gebracht,rnwas es ermöglicht, das kritische Verhalten dieser Größe zu analysieren. Die harternWand muss in die Analyse einbezogen werden. Durch den Vergleich freier En-rnergien bei geschickt gewählten Systemgrößen ist es möglich, den Beitrag derrnKontaktlinie zur freien Energie in Abhängigkeit von Θ zu messen. Diese Anal-rnyse wird bei verschiedenen Temperaturen durchgeführt. Im letzten Kapitel wirdrneine 2D Fluiddynamik Simulation für Grafikkarten parallelisiert, welche u. a.rnbenutzt werden kann um die Dynamik der Atmosphäre zu simulieren. Wir im-rnplementieren einen parallelen Evolution Galerkin Operator und erreichen