Ein inverses Problem für die degeneriert parabolische Richardsgleichung

In der vorliegenden Arbeit werden zwei physikalischeFließexperimente an Vliesstoffen untersucht, die dazu dienensollen, unbekannte hydraulische Parameter des Materials, wiez. B. die Diffusivitäts- oder Leitfähigkeitsfunktion, ausMeßdaten zu identifizieren. Die physikalische undmathematische Modellierung dieser Experimente führt auf einCauchy-Dirichlet-Problem mit freiem Rand für die degeneriertparabolische Richardsgleichung in derSättigungsformulierung, das sogenannte direkte Problem. Ausder Kenntnis des freien Randes dieses Problems soll dernichtlineare Diffusivitätskoeffizient derDifferentialgleichung rekonstruiert werden. Für diesesinverse Problem stellen wir einOutput-Least-Squares-Funktional auf und verwenden zu dessenMinimierung iterative Regularisierungsverfahren wie dasLevenberg-Marquardt-Verfahren und die IRGN-Methode basierendauf einer Parametrisierung des Koeffizientenraumes durchquadratische B-Splines. Für das direkte Problem beweisen wirunter anderem Existenz und Eindeutigkeit der Lösung desCauchy-Dirichlet-Problems sowie die Existenz des freienRandes. Anschließend führen wir formal die Ableitung desfreien Randes nach dem Koeffizienten, die wir für dasnumerische Rekonstruktionsverfahren benötigen, auf einlinear degeneriert parabolisches Randwertproblem zurück.Wir erläutern die numerische Umsetzung und Implementierungunseres Rekonstruktionsverfahrens und stellen abschließendRekonstruktionsergebnisse bezüglich synthetischer Daten vor.

In this thesis two physical flow experiments on nonwovensare investigated whether they can be used for theidentification of unknown hydraulic parameters of thematerial, e.g. the diffusivity or conductivity function. Thephysical and mathematical modeling of these experimentsleads to a Cauchy-Dirichlet problem with a free boundary forthe degenerate parabolic Richards equation in the watercontent formulation, the so-called direct problem. We studythe inverse problem of reconstructing the nonlineardiffusivity coefficient of the differential equation fromthe knowledge of the free boundary. This problem is treatedas a minimization problem for an output least squaresfunctional and we employ iterative regularization methodslike the Levenberg-Marquardt method or the IRGN method,parametrizing the coefficient space by quadratic B-Splines.Concerning the direct problem we prove existence anduniqueness of a solution of the Cauchy-Dirichlet problem andthe existence of the free boundary. Afterwards we formallyreduce the derivative of the free boundary with respect tothe coefficient, which is needed for the numericalreconstruction, to a linear degenerate parabolicboundary-value problem. We discuss the numericalimplementation of our reconstruction method and presentseveral numerical reconstructions for synthetic data.