Hausdorff dimension of non-hyperbolic repellers. I: Maps with holes

This is the first paper in a two-part series devoted to studying the Hausdorff dimension of invariant sets of non-uniformly hyperbolic, non-conformal maps. Here we consider a general abstract model, that we call piecewise smooth maps with holes. We show that the Hausdorff dimension of the repeller is strictly less than the dimension of the ambient manifold. Our approach also provides information on escape rates and dynamical dimension of the repeller.

Hausdorff dimension for non-hyperbolic repellers II: Da diffeomorphisms

We study non-hyperbolic repellers of diffeomorphisms derived from transitive Anosov diffeomorphisms with unstable dimension 2 through a Hopf bifurcation. Using some recent abstract results about non-uniformly expanding maps with holes, by ourselves and by Dysman, we show that the Hausdorff dimension and the limit capacity (box dimension) of the repeller are strictly less than the dimension of the ambient manifold.

Estimativas inferiores para dimensão de Hausdorff de repulsores não-uniformemente expansores

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

A crítica de Mandelbrot: normalidade como exceção e não como regra

Starting with a brief introduction about the evolution of asset pricing models, we seek here to introduce the critique made by Benoit Mandelbrot about using the normality hypothesis when building such models. This critique arises when empirical and theoretical models where confronted and the expected results diverged from the ones obtained. Next, we reproduce Mandelbrot alternative which he believes is sufficient to solve the main problems implied by the normality hyphotesis

Hausdorff Distance evaluation of orthodontic accessories' streaking artifacts in 3D model superimposition

The aim of this study was to determine whether image artifacts caused by orthodontic metal accessories interfere with the accuracy of 3D CBCT model superimposition. A human dry skull was subjected three times to a CBCT scan: at first without orthodontic brackets (T1), then with stainless steel brackets bonded without (T2) and with orthodontic arch wires (T3) inserted into the brackets' slots. The registration of image surfaces and the superimposition of 3D models were performed. Within-subject surface distances between T1-T2, T1-T3 and T2-T3 were computed and calculated for comparison among the three data sets. The minimum and maximum Hausdorff Distance units (HDu) computed between the corresponding data points of the T1 and T2 CBCT 3D surface images were 0.000000 and 0.049280 HDu, respectively, and the mean distance was 0.002497 HDu. The minimum and maximum Hausdorff Distances between T1 and T3 were 0.000000 and 0.047440 HDu, respectively, with a mean distance of 0.002585 HDu. In the comparison between T2 and T3, the minimum, maximum and mean Hausdorff Distances were 0.000000, 0.025616 and 0.000347 HDu, respectively. In the current study, the image artifacts caused by metal orthodontic accessories did not compromise the accuracy of the 3D model superimposition. Color-coded maps of overlaid structures complemented the computed Hausdorff Distances and demonstrated a precise fusion between the data sets.

Sulle misure di Hausdorff in R^N

L'argomento della tesi è la misura di Hausdorff in RN e la dimostrazione della "Formula dell'Area", che permette di esprimere la misura di particolari.

Note sul ruolo dell'infinito in matematica

Questo elaborato realizzato assieme alla creazione di un link nel sito "progettomatematic@" tratta dell'infinito in tre modi diversi: la storia, l'applicazione ai frattali e alla crittografia. Inizia con una breve storia dai greci all'antinomia di Russel; poi si parla dei frattali in natura, di misura e dimensione di Hausdorff, polvere di Cantor e fiocco di neve di Koch. Infine si trova un riassunto dei cifrari storici famosi, con particolare attenzione al cifrario di Vernam, alla teoria dell'entropia di Shannon e alla dimostrazione che otp ha sicurezza assoluta.

I sistemi di numerazione: dalla didattica ai frattali

Questa tesi è incentrata sullo studio dei sistemi di numerazione. Dopo un'analisi storica dei vari contributi apportati dai diversi popoli, si mostrano alcune applicazioni didattiche elementari e alcuni giochi ricreativi. Per mostrare l'interesse di questi sistemi anche per la ricerca contemporanea, si passa a una trattazione più generale fino a giungere alla geometria frattale.

Fractal sets and their applications in medicine

La geometria euclidea risulta spesso inadeguata a descrivere le forme della natura. I Frattali, oggetti interrotti e irregolari, come indica il nome stesso, sono più adatti a rappresentare la forma frastagliata delle linee costiere o altri elementi naturali. Lo strumento necessario per studiare rigorosamente i frattali sono i teoremi riguardanti la misura di Hausdorff, con i quali possono definirsi gli s-sets, dove s è la dimensione di Hausdorff. Se s non è intero, l'insieme in gioco può riconoscersi come frattale e non presenta tangenti e densità in quasi nessun punto. I frattali più classici, come gli insiemi di Cantor, Koch e Sierpinski, presentano anche la proprietà di auto-similarità e la dimensione di similitudine viene a coincidere con quella di Hausdorff. Una tecnica basata sulla dimensione frattale, detta box-counting, interviene in applicazioni bio-mediche e risulta utile per studiare le placche senili di varie specie di mammiferi tra cui l'uomo o anche per distinguere un melanoma maligno da una diversa lesione della cute.

Rational Hausdorff Divisors: A New approach to the Approximate Parametrization of Curves.

When applying computational mathematics in practical applications, even though one may be dealing with a problem that can be solved algorithmically, and even though one has good algorithms to approach the solution, it can happen, and often it is the case, that the problem has to be reformulated and analyzed from a different computational point of view. This is the case of the development of approximate algorithms. This paper frames in the research area of approximate algebraic geometry and commutative algebra and, more precisely, on the problem of the approximate parametrization.

Algebraic Computations with Hausdorff Continuous Functions

The paper has been presented at the 12th International Conference on Applications of Computer Algebra, Varna, Bulgaria, June, 2006.