O surgimento dos números irracionais

Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes

Construções dos Números Reais

Neste trabalho estudamos várias construções do sistema dos números reais. Antes porém, começamos por abordar a evolução do conceito de número, destacando três diferentes aspectos da evolução do conceito de número real. Relacionado com este tema, dedicamos dois capítulos, deste trabalho, à apresentação das teorias que consideramos assumir maior importância, nomeadamente: a construção do sistema dos números reais por cortes na recta ou secções no conjunto dos números racionais, avançada por Dedekind, e a construção do número real como classe de equivalência de sucessões fundamentais de números racionais, ideia protagonizada por Cantor. Posteriormente, e de uma forma mais sintetizada do que nas anteriores, apresentamos outras construções, onde procuramos clarificar a ideia fundamental subjacente ao conceito de número real. Finalmente utilizamos o método axiomático com o intuito de mostrar a unicidade do sistema dos números reais, isto é, concluir finalmente que existe um corpo completo e ordenado, e apenas um a menos de um isomorfismo, do conjunto dos números reais.

Um estudo sobre a aprendizagem de números irracionais no ensino médio

The present study describes theoretical practical relationships between development and application of activities in Mathematics education. It s proposed a methodological approach to Mathematics in the first grade of Ensino Médio, supported by an experiment involving Irrational Numbers education by using constructive activities, applied obeying an educational sequence. Constructivism is used as an important theoretical reference in teaching learning process of Mathematics. The methodological intervention was done with two classes of students of the first grade of Ensino Médio, in two public schools, a state one and a federal one, located on the city of Natal, Rio Grande do Norte. The development, application and testing of the activities used on this experiment led us to think more profoundly about the value of constructivism ideas and understand that the use of activities that obey an educational sequence favors the learning. It s also discussed the research results, commented on a way to contribute to the advances of the proposal and it s more constant use. The participation and testing of the students were analyzed and judged using Skemp s Instrumental Understanding and Relational Understanding concepts. The results of the research were considered good, so we believe this methodological intervention can be used more frequently in the classes of Ensino Médio and also be applied to teachers in courses of initial education and continuous formation

Aprendizagem dos números reais : um estudo com alunos do 9.º ano

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada, Ensino de Matemática, Universidade de Lisboa, 2013

Um estudo sobre a apreciação do raciocínio matemático na formação inicial de professores

The present work focused on developing teaching activities that would provide to the student in initial teacher training, improving the ability of mathematical reasoning and hence a greater appreciation of the concepts related to the golden section, the irrational numbers, and the incommensurability the demonstration from the reduction to the nonsensical. This survey is classified itself as a field one which data collection were inserted within a quantitative and qualitative approach. Acted in this research, two classes in initial teacher training. These were teachers and employees of public schools and local governments, living in the capital, in Natal Metropolitan Region - and within the country. The empirical part of the research took place in Pedagogy and Mathematics courses, IFESP in Natal - RN. The theoretical and methodological way construction aimed to present a teaching situation, based on history, involving mathematics and architecture, derived from a concrete context - Andrea Palladio s Villa Emo. Focused discussions on current studies of Rachel Fletcher stating that the architect used the golden section in this village construction. As a result, it was observed that the proposal to conduct a study on the mathematical reasoning assessment provided, in teaching and activity sequences, several theoretical and practical reflections. These applications, together with four sessions of study in the classroom, turned on to a mathematical thinking organization capable to develop in academic students, the investigative and logical reasoning and mathematical proof. By bringing ancient Greece and Andrea Palladio s aspects of the mathematics, in teaching activities for teachers and future teachers of basic education, it was promoted on them, an improvement in mathematical reasoning ability. Therefore, this work came from concerns as opportunity to the surveyed students, thinking mathematically. In fact, one of the most famous irrational, the golden section, was defined by a certain geometric construction, which is reflected by the Greek phrase (the name "golden section" becomes quite later) used to describe the same: division of a segment - on average and extreme right. Later, the golden section was once considered a standard of beauty in the arts. This is reflected in how to treat the statement questioning by current Palladio s scholars, regarding the use of the golden section in their architectural designs, in our case, in Villa Emo

O uso pedagógico de uma seqüência didática para a aquisição de algumas idéias relacionadas ao conceito de números complexos

The aim of the present work is to contribute to the teaching-learning process in Mathematics through an alternative which tries to motivate the student so that he/she will learn the basic concepts of Complex Numbers and realize that they are not pointless. Therefore, this work s general objective is to construct a didactic sequence which contains structured activities that intends to build up, in each student s thought, the concept of Complex Numbers. The didactic sequence is initially based on a review of the main historical aspects which begot the construction of those numbers. Based on these aspects, and the theories of Richard Skemp, was elaborated a sequence of structured activities linked with Maths history, having the solution of quadratic equations as a main starting point. This should make learning more accessible, because this concept permeates the students previous work and, thus, they should be more familiar with it. The methodological intervention began with the application of that sequence of activities with grade students in public schools who did not yet know the concept of Complex Numbers. It was performed in three phases: a draft study, a draft study II and the final study. Each phase was applied in a different institution, where the classes were randomly divided into groups and each group would discuss and write down the concepts they had developed about Complex Numbers. We also use of another instrument of analysis which consisted of a recorded interview of a semi-structured type, trying to find out the ways the students thought in order to construct their own concepts, i.e. the solutions of the previous activity. Their ideas about Complex Numbers were categorized according to their similarities and then analyzed. The results of the analysis show that the concepts constructed by the students were pertinent and that they complemented each other this supports the conclusion that the use of structured activities is an efficient alternative for the teaching of mathematics

Número Irracionais e transcendentes

Pós-graduação em Matemática - IBILCE

Conjuntos númericos, razão, proporção e regra de três

Apresenta a revisão de tópicos de matemática elementar do ensino fundamental com visão do ensino superior. Na subunidade 1 são abordados os conceitos de conjuntos numéricos e algumas das propriedades inerentes à suas estruturas: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais, números reais, intervalos reais e números complexos. A subunidade 2 engloba a definição dos conceitos de grandezas proporcionais: números direta e inversamente proporcionais, grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de três simples, regra de três composta com resolução de problemas ilustrativos. Os exemplos resolvidos englobam a aplicação da regra de três simples e composta para grandezas direta e inversamente proporcionais.

Sistemas de numeração e grandezas incomensuráveis

Pós-graduação em Matemática em Rede Nacional - IBILCE

Limites dinâmicos para operadores de Schrödinger com potenciais Sturmianos

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

A construção e utilização de um Objeto de Aprendizagem através da perspectiva lógico-histórica na formação do conceito números inteiros

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

A construção da síndrome pré-menstrual

Esta pesquisa visa problematizar a síndrome pré-menstrual (SPM) enquanto entidade biomédica a-histórica tornada evidente a partir do preenchimento de critérios diagnósticos. O ponto de partida é a hipótese de que o modelo biomédico de explicação da SPM incorpora e reproduz os padrões sociais vigentes que insistem em visões estereotipadas dos gêneros em função da diferenciação biológica dos sexos. A partir de uma reflexão sobre a construção do fato científico e da preponderância do discurso biomédico na compreensão dos corpos, emoções e comportamentos femininos, analisamos as mudanças históricas ocorridas nessa visão considerada reducionista. No final do século XVIII e início do XIX, a essência da feminilidade era localizada no útero; a partir de meados do século XIX, os ovários passaram a ser considerados a fonte das doenças das mulheres, inclusive as nervosas e mentais. No início do século XX começou a ocorrer uma mudança nos discursos biomédicos e a essência da feminilidade passou a ser localizada em substâncias químicas denominadas hormônios. Desde então o organismo feminino tornou-se cada vez mais representado como controlado pelos hormônios, reificando a crença de que as mulheres são cíclicas e em determinados períodos, instáveis, irracionais e, portanto, não confiáveis. Essa ênfase nos hormônios coincide com a primeira descrição, em 1931, do que era chamado tensão pré-menstrual. Na década de 1950, a terminologia mudou para síndrome pré-menstrual. Inicialmente foi compreendida como diretamente produzida pelos hormônios femininos, mas não há evidência empírica que comprove esta hipótese. Após 80 anos de pesquisas, não se encontrou um marcador biológico ou teste bioquímico que possa ser utilizado para o diagnóstico. Os próprios critérios diagnósticos não são consensuais entre os pesquisadores, pois foram descritos mais de 200 sintomas que incidem de forma variada e inconstante. Não se conhece ainda o mecanismo etiopatogênico e alguns autores questionam a própria existência da síndrome enquanto entidade biomédica e apresentam visões feministas e sócio-culturais para a compreensão do fenômeno. Muitas mulheres, entretanto, afirmam ter TPM (nomenclatura mais comum nos meios leigos). Para aprofundar esta questão e ampliar nossa compreensão, a análise de artigos biomédicos recentes (2000 a 2011) sobre a SPM foi confrontada com a experiência direta ou indireta da TPM em mulheres de camadas médias da população. Com este objetivo, foram analisados artigos científicos sobre a SPM selecionados a partir de um levantamento no PubMed, ferramenta de buscas online, e realizadas entrevistas individuais em profundidade, abertas, semi-estruturadas com mulheres em idade reprodutiva selecionadas através do sistema de amostragem conhecido como bola de neve (snow ball). Após a análise tanto dos artigos científicos quanto das entrevistas, concluímos que apesar de pressupostos comuns que a biologia determina diferenças de gênero naturais e universais entre homens e mulheres a SPM dos artigos biomédicos e a TPM das mulheres não coincidem. Sem desconsiderar as sensações desagradáveis, os problemas e o sofrimento das mulheres que afirmam ter TPM, os resultados deste estudo apontam para uma realidade complexa que enseja mais pesquisa em direção a descrições menos reducionistas destas experiências femininas

Construção de quadrados mágicos pelo método do passo uniforme

Lehmer (1929) analisa matematicamente o método do passo uniforme para construção de quadrados mágicos de ordem impar. Ele divide sua análise em várias etapas. Na primeira delas, envolvendo a discussão de condições necessárias e suficientes para o preenchimento do quadrado pelo método, o autor afirma que se dois números guardarem entre si uma certa relação, eles serão designados a ocupar a mesma célula do quadrado causando seu não preenchimento. A análise do preenchimento pelo método do passo uniforme envolve a resolução de um sistema linear módulo n. Nesse trabalho, discutimos o comportamento das soluções desse sistema quando o método falha no preenchimento. Como consequência, concluímos que números que guardam a relação mencionada nunca ocupam a mesma célula. A análise das condições necessárias e suficientes para obter quadrados mágicos segundo a definição de Lehmer (1929) envolve a resolução de equações de congruências lineares a duas variáveis. Nesse trabalho, detalhamos os resultados de Lehmer (1929). A análise das condições necessárias e suficientes para obtenção de quadrados mágicos, como são reconhecidos usualmente, também envolve a resolução de equações de congruências lineares a duas variáveis. Discutimos o comportamento das soluções dessas equações para obter diagonais principais mágicas. Como consequência, mostramos que diagonais principais mágicas são obtidas se e somente se as coordenadas iniciais guardarem certas relações

A aprendizagem dos números racionais através das conexões entre as suas representações:uma experiência de ensino no 2º ciclo do ensino básico

Tese de doutoramento, Educação (Didática da Matemática), Universidade de Lisboa, Instituto de Educação, 2014

Determinação de indicadores de qualidade para avaliação do processo de gestão de pequenas e médias empresas do setor de construção civil habitacional

A escolha do tema ficou circunscrita ao subsetor de construção habitacional, que é caracterizado pela presença de pequenas e médias empresas. A consolidação de grandes empresas neste ramo de atividades tende a ocorrer sobretudo em conjunturas onde através da intervenção estatal são definidos programas habitacionais de grande escala que requerem das empresas participantes de maior volume de capital e o acesso a tecnologias mais sofisticadas. A importância da pequena empresa neste ramo de atividades pode ser notada atraves da experiência dos países da Comunidade Econômica Europeia, que em 1985 de um total de mais de um milhão de empresas de construção, 90% tinham até 10 empregados. Igual situação se verifica nos Estados Unidos da América onde conforme dados de 1965, também 90 % das 875.000 empresas então existentes no país empregavam menos de 10 pessoas (ONU, 1987). De uma maneira geral a importância do tema fica evidente quando se analisa o peso do setor da construção civil na economia nacional, que se situa em torno de 5% do PIB nos países industrializados, enquanto que nos países de industrialização recente, este percentual pode atingir o índice de 7% (PNU, op.cit.). Tal constatação evidencia que a indústria da construção representa o principal item na composição dos investimentos (formação bruta de capital fixo) das contas nacionais de diversos países, apresentando uma participação relativa quase sempre superior a 55% nos países industrializados e 60% nos países de industrialização recente (ONU, op.cit.). No Brasil tal importância se confirma pelo valor adicionado do setor habitacional correspondente a 2,2% do PIB, e numa visão mais abrangente, dentro dos contornos da indústria da construção civil como um todo, representando cerca de 7,3% do PIB (FIBGE, 1988). Quanto a questão da mão-de-obra, em que pese a ausência de dados no Brasil, e bastante visível sua larga influência na economia atuando como um ramo de atividades multiplicador de alocação de pessoal, principalmente a nível de utilização intensiva de mão-de-obra menos qualificada. Enquanto nos EEUU e CEE 90% das empresas constituíam-se de organizações com menos de 10 empregados, no Brasil onde há ausência de dados oficiais a respeito, na pior das hipóteses pode-se estimar que este percentual pode variar entre 50 a 70% do total de empresas, o que não deixa de ser um dado de extrema magnitude. Foram exatamente a expressão destes números, sem considerar o déficit habitacional em torno de 10 milhões de pessoas, um terço da população, moram em condições inadequadas (Exame, 1991), que influenciaram fortemente a escolha do tema da presente proposta de Tese.