The Euler number of OGradys 10-dimensional symplectic manifold

Wir berechnen die Eulerzahl der 10-dimensionalen exzeptionellen irreduziblen symplektischen Mannigfaltigkeit, die von O Grady konstruiert wurde. Die Idee besteht darin, zunächst eine Lagrangefaserung zu konstruieren und dann die Eulerzahlen der Fasern zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass fast alle Fasern die Eulerzahl 0 haben, und deswegen reduziert sich das Problem auf die Berechnung der Eulerzahlen der übrigen Fasern. Diese Fasern sind Modulräume von halbstabilen Garben auf singulären Kurven. Der Hauptteil dieser Dissertation ist der Berechnung der Eulerzahlen dieser Modulräume gewidmet. Diese Resultate sind von unabhängigem Interesse.

Symplectic Lagrangian fibrations

In this work we investigate the deformation theory of pairs of an irreducible symplectic manifold X together with a Lagrangian subvariety Y in X, where the focus is on singular Lagrangian subvarieties. Among other things, Voisin's results [Voi92] are generalized to the case of simple normal crossing subvarieties; partial results are also obtained for more complicated singularities.rnAs done in Voisin's article, we link the codimension of the subspace of the universal deformation space of X parametrizing those deformations where Y persists, to the rank of a certain map in cohomology. This enables us in some concrete cases to actually calculate or at least estimate the codimension of this particular subspace. In these cases the Lagrangian subvarieties in question occur as fibers or fiber components of a given Lagrangian fibration f : X --> B. We discuss examples and the question of how our results might help to understand some aspects of Lagrangian fibrations.

Logarithmically smooth deformations of strict normal crossing logarithmically symplectic varieties

In this thesis we give a definition of the term logarithmically symplectic variety; to be precise, we distinguish even two types of such varieties. The general type is a triple $(f,nabla,omega)$ comprising a log smooth morphism $fcolon Xtomathrm{Spec}kappa$ of log schemes together with a flat log connection $nablacolon LtoOmega^1_fotimes L$ and a ($nabla$-closed) log symplectic form $omegainGamma(X,Omega^2_fotimes L)$. We define the functor of log Artin rings of log smooth deformations of such varieties $(f,nabla,omega)$ and calculate its obstruction theory, which turns out to be given by the vector spaces $H^i(X,B^bullet_{(f,nabla)}(omega))$, $i=0,1,2$. Here $B^bullet_{(f,nabla)}(omega)$ is the class of a certain complex of $mathcal{O}_X$-modules in the derived category $mathrm{D}(X/kappa)$ associated to the log symplectic form $omega$. The main results state that under certain conditions a log symplectic variety can, by a flat deformation, be smoothed to a symplectic variety in the usual sense. This may provide a new approach to the construction of new examples of irreducible symplectic manifolds.

Mechanismen der Caveolin-Genregulation in neuralen Zellsystemen

Caveolae sind vesikuläre Invaginationen der eukaryontischen Zellmembran, die bei einer Vielzahl zellbiologischer Prozesse eine bedeutende Rolle spielen. Die strukturellen und funktionellen Hauptbestandteile der Caveolae sind die Caveolin-Proteine, welche von drei homologen Genen (Caveolin-1,-2,-3) kodiert werden. Die Caveoline stellen die Struktur-Organisatoren der Caveolae dar, und regulieren direkt die Aktivität von zahlreichen Caveolae-assoziierten Rezeptorproteinen und Signalmolekülen. Oftmals werden die pleiotropen Effekte der Caveoline über eine Veränderung der Caveolin-Genexpressionsstärke moduliert. In der vorliegenden Arbeit wurden drei unterschiedliche biologische Steuerfaktoren identifiziert, unter deren Kontrolle die Caveolin-Genexpression in neuralen Zellsystemen steht. Bei diesen Faktoren handelt es sich um das Steroidhormon Oestrogen und seine Rezeptoren, den Wachstumsfaktor TGFa und den sekundären Botenstoff zyklisches AMP (cAMP). Oestrogen wirkt über die Aktivierung von Oestrogen-Rezeptoren (ERs) im zentralen Nervensystem in der Regel als neurotropher Faktor. In der vorliegenden Arbeit konnte erstmalig gezeigt werden, daß in humanen Neuroblastom-Zellen (SK-N-MC) die stabile, rekombinante Expression des ERa-Subtyps zu einer drastischen Reduktion der Caveolin-1/-2-Transkription führt, und daß in der Folge die zelluläre Caveolin-Biosynthese eingestellt wird. Eine Analyse des Caveolin-1-Gens ergab, daß einhergehend mit der Inaktivierung der Caveolin-1-Transkription eine Vielzahl der im Promoter enthaltenen CpG-Dinukleotide methyliert vorliegen. Durch pharmakologische Inhibition der nukleären DNA-Methyltransferasen sowie der Histon-Deacetylasen konnte die Caveolin-1-Transkription teilweise wiederhergestellt werden. Diese Befunde lassen auf die Existenz eines DNA-Methylierungs-abhängigen Stilllegungsmechanismus der Caveolin-Genexpression durch ERa schließen. Dagegen führte die Überexpression des ERb-Subtyps in SK-N-MC-Zellen zu keiner Veränderung der Caveolin-1/-2-Expression. Interessanterweise wurde die supprimierende Wirkung des ERa durch die gleichzeitige Überexpression des ERb vollständig aufgehoben. Der mitogene Wachstumsfaktor TGFa wurde als zweites extrazelluläres Signalmolekül identifiziert, welches eine Reduktion der Caveolin-1/-2-Genexpression bewirkt. In primären kortikalen Astrozyten konnte gezeigt werden, daß TGFa seine supprimierende Wirkung auf die Caveolin-1-Expression partiell über die Aktivierung des PI3-Kinase-abhängigen Signalweges vermittelt. Zudem wurde die supprimierende Wirkung von TGFa durch einen Inhibitior der Histon-Deacetylasen relativiert. Daher scheinen sowohl für den ERa als auch für TGFa epigenetische Prozesse bei der Suppression der Caveolin-1-Genexpression eine entscheidende Rolle zu spielen. Intrazellulär wirkte neben der PI3-Kinase auch der Botenstoff cAMP in kortikalen Astrozyten als Suppressor der Caveolin-Genexpression. Es wäre denkbar, daß die Caveolin-Suppression funktioneller Bestandteil des seit langem etablierten Effekts der cAMP-induzierten Astrozyten-Differenzierung ist. Desweiteren wiesen der cAMP- und TGFa-abhängige Signalweg ein überlappendes, Gehirnregion-spezifisches Regulationsprofil der Caveolin-Expression in Astrozyten auf: während in Kortex und Striatum eine Regulation durch cAMP und TGFa erfolgte, blieb diese in Klein- und Zwischenhirn aus. Somit bewirken drei zentrale regulatorische Faktoren der Proliferation und Differenzierung neuraler Zellen eine Reduktion in der Konzentration der pleiotrop funktionellen Caveoline. Zukünftige Studien müssen zeigen, inwieweit die reduzierte Caveolin-Expression für die morphologischen und biochemischen Primärwirkungen dieser Faktoren während der Entwicklung und im Zuge der Tumorgenese mitverantwortlich ist. Außerdem könnten über die Beobachtungen der zellbiologischen Auswirkungen reduzierter Caveolin-Spiegel neue Erkenntnisse über die Funktion dieser Proteine gewonnen werden.

The swelling behaviour of polyelectrolyte networks

Being basic ingredients of numerous daily-life products with significant industrial importance as well as basic building blocks for biomaterials, charged hydrogels continue to pose a series of unanswered challenges for scientists even after decades of practical applications and intensive research efforts. Despite a rather simple internal structure it is mainly the unique combination of short- and long-range forces which render scientific investigations of their characteristic properties to be quite difficult. Hence early on computer simulations were used to link analytical theory and empirical experiments, bridging the gap between the simplifying assumptions of the models and the complexity of real world measurements. Due to the immense numerical effort, even for high performance supercomputers, system sizes and time scales were rather restricted until recently, whereas it only now has become possible to also simulate a network of charged macromolecules. This is the topic of the presented thesis which investigates one of the fundamental and at the same time highly fascinating phenomenon of polymer research: The swelling behaviour of polyelectrolyte networks. For this an extensible simulation package for the research on soft matter systems, ESPResSo for short, was created which puts a particular emphasis on mesoscopic bead-spring-models of complex systems. Highly efficient algorithms and a consistent parallelization reduced the necessary computation time for solving equations of motion even in case of long-ranged electrostatics and large number of particles, allowing to tackle even expensive calculations and applications. Nevertheless, the program has a modular and simple structure, enabling a continuous process of adding new potentials, interactions, degrees of freedom, ensembles, and integrators, while staying easily accessible for newcomers due to a Tcl-script steering level controlling the C-implemented simulation core. Numerous analysis routines provide means to investigate system properties and observables on-the-fly. Even though analytical theories agreed on the modeling of networks in the past years, our numerical MD-simulations show that even in case of simple model systems fundamental theoretical assumptions no longer apply except for a small parameter regime, prohibiting correct predictions of observables. Applying a "microscopic" analysis of the isolated contributions of individual system components, one of the particular strengths of computer simulations, it was then possible to describe the behaviour of charged polymer networks at swelling equilibrium in good solvent and close to the Theta-point by introducing appropriate model modifications. This became possible by enhancing known simple scaling arguments with components deemed crucial in our detailed study, through which a generalized model could be constructed. Herewith an agreement of the final system volume of swollen polyelectrolyte gels with results of computer simulations could be shown successfully over the entire investigated range of parameters, for different network sizes, charge fractions, and interaction strengths. In addition, the "cell under tension" was presented as a self-regulating approach for predicting the amount of swelling based on the used system parameters only. Without the need for measured observables as input, minimizing the free energy alone already allows to determine the the equilibrium behaviour. In poor solvent the shape of the network chains changes considerably, as now their hydrophobicity counteracts the repulsion of like-wise charged monomers and pursues collapsing the polyelectrolytes. Depending on the chosen parameters a fragile balance emerges, giving rise to fascinating geometrical structures such as the so-called pear-necklaces. This behaviour, known from single chain polyelectrolytes under similar environmental conditions and also theoretically predicted, could be detected for the first time for networks as well. An analysis of the total structure factors confirmed first evidences for the existence of such structures found in experimental results.

On moduli spaces of semistable sheaves on K3 surfaces

Ich untersuche die nicht bereits durch die Arbeit "Singular symplectic moduli spaces" von Kaledin, Lehn und Sorger (Invent. Math. 164 (2006), no. 3) abgedeckten Fälle von Modulräumen halbstabiler Garben auf projektiven K3-Flächen - die Fälle mit Mukai-Vektor (0,c,0) sowie die Modulräume zu nichtgenerischen amplen Divisoren - hinsichtlich der möglichen Konstruktion neuer Beispiele von kompakten irreduziblen symplektischen Mannigfaltigkeiten. Ich stelle einen Zusammenhang zu den bereits untersuchten Modulräumen und Verallgemeinerungen derselben her und erweitere bekannte Ergebnisse auf alle offenen Fälle von Garben vom Rang 0 und viele Fälle von Garben von positivem Rang. Insbesondere kann in diesen Fällen die Existenz neuer Beispiele von kompakten irreduziblen symplektischen Mannigfaltigkeiten, die birational über Komponenten des Modulraums liegen, ausgeschlossen werden.

Moduli spaces of (G,h)-constellations

Given a reductive group G acting on an affine scheme X over C and a Hilbert function h: Irr G → N_0, we construct the moduli space M_Ө(X) of Ө-stable (G,h)-constellations on X, which is a common generalisation of the invariant Hilbert scheme after Alexeev and Brion and the moduli space of Ө-stable G-constellations for finite groups G introduced by Craw and Ishii. Our construction of a morphism M_Ө(X) → X//G makes this moduli space a candidate for a resolution of singularities of the quotient X//G. Furthermore, we determine the invariant Hilbert scheme of the zero fibre of the moment map of an action of Sl_2 on (C²)⁶ as one of the first examples of invariant Hilbert schemes with multiplicities. While doing this, we present a general procedure for the realisation of such calculations. We also consider questions of smoothness and connectedness and thereby show that our Hilbert scheme gives a resolution of singularities of the symplectic reduction of the action.