Logarithmically smooth deformations of strict normal crossing logarithmically symplectic varieties

In this thesis we give a definition of the term logarithmically symplectic variety; to be precise, we distinguish even two types of such varieties. The general type is a triple $(f,nabla,omega)$ comprising a log smooth morphism $fcolon Xtomathrm{Spec}kappa$ of log schemes together with a flat log connection $nablacolon LtoOmega^1_fotimes L$ and a ($nabla$-closed) log symplectic form $omegainGamma(X,Omega^2_fotimes L)$. We define the functor of log Artin rings of log smooth deformations of such varieties $(f,nabla,omega)$ and calculate its obstruction theory, which turns out to be given by the vector spaces $H^i(X,B^bullet_{(f,nabla)}(omega))$, $i=0,1,2$. Here $B^bullet_{(f,nabla)}(omega)$ is the class of a certain complex of $mathcal{O}_X$-modules in the derived category $mathrm{D}(X/kappa)$ associated to the log symplectic form $omega$. The main results state that under certain conditions a log symplectic variety can, by a flat deformation, be smoothed to a symplectic variety in the usual sense. This may provide a new approach to the construction of new examples of irreducible symplectic manifolds.

In dieser Arbeit geben wir eine Definition des Terms logarithmisch-symplektische Varietät; genau genommen unterscheiden wir sogar zwei Typen solcher Varietäten. Der allgemeinere Typ ist dabei ein Tripel $(f,nabla,omega)$ bestehend aus einem log glatten Morphismus $fcolon Xtomathrm{Spec}kappa$ von log Schemata, zusammen mit einem flachen log Zusammenhang $nablacolon LtoOmega^1_fotimes L$ und einer (bezüglich $nabla$ geschlossenen) log symplektischen Form $omegainGamma(X,Omega^2_fotimes L)$. Wir definieren den Funktor von log Artinringen der Deformationen solcher Varietäten $(f,nabla,omega)$ und berechnen dessen Hindernistheorie, die sich als durch die Vektorräume $H^i(X,B^bullet_{(f,nabla)}(omega))$, $i=0,1,2$, gegeben herausstellt. Dabei ist $B^bullet_{(f,nabla)}(omega)$ die Klasse eines gewissen Komplexes von $mathcal{O}_X$-Moduln in der derivierten Kategorie $mathrm{D}(X/kappa)$, der zur log symplektischen Form $omega$ gehört. Die Hauptresultate sagen aus, dass sich unter gewissen Voraussetzungen eine log symplektische Varietät mittels einer flachen Deformation zu einer symplektischen Varietät im üblichen Sinne glätten lässt. Dies liefert möglicherweise einen neuen Ansatz für die Konstruktion neuer Beispiele irreduzibler symplektischer Mannigfaltigkeiten.rn