L-2-Kohomologie von Calabi-Yau-Familien über Kurven

Ist $f: X \to S$ eine glatte Familie von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Dimension $m$ über einer quasiprojektiven Kurve, so trägt nach einem Resultat von Zucker die erste $L^2$-Kohomologiegruppe $H^1_{(2)}(S, R^m f_* \mathbb{C}_X)$ eine reine Hodgestruktur vom Gewicht $m+1$. In dieser Arbeit berechnen wir die Hodgezahlen solcher Hodgestrukturen für $m= 1, 2, 3$ und verallgemeinern dabei Formeln aus einem Artikel von del Angel, Müller-Stach, van Straten und Zuo auf den Fall, in dem die lokalen Monodromiematrizen bei Unendlich nicht unipotent, sondern echt quasi-unipotent sind. Wir verwenden dazu den $L^2$-Higgs-Komplex nach Jost, Yang und Zuo. Für Familien von Kurven führt dies auf eine bereits bekannte Formel von Cox und Zucker. Schließlich wenden wir die Ergebnisse im Fall $m=3$ auf 14 Familien von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten an, die eine Rolle in der Spiegelsymmetrie spielen, sowie auf eine von Rohde konstruierte Familie ohne Punkte mit maximal unipotenter Monodromie.

Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

On differential operators of Calabi-Yau type

This thesis is devoted to the study of Picard-Fuchs operators associated to one-parameter families of $n$-dimensional Calabi-Yau manifolds whose solutions are integrals of $(n,0)$-forms over locally constant $n$-cycles. Assuming additional conditions on these families, we describe algebraic properties of these operators which leads to the purely algebraic notion of operators of CY-type. rnMoreover, we present an explicit way to construct CY-type operators which have a linearly rigid monodromy tuple. Therefore, we first usernthe translation of the existence algorithm by N. Katz for rigid local systems to the level of tuples of matrices which was established by M. Dettweiler and S. Reiter. An appropriate translation to the level of differential operators yields families which contain operators of CY-type. rnConsidering additional operations, we are also able to construct special CY-type operators of degree four which have a non-linearly rigid monodromy tuple. This provides both previously known and new examples.

Monodromy calculations for some differential equations

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist es w"{u}nschenswert, die Monodromiegruppe einer homogenen linearen Differenzialgleichung zu verstehen. Es sind nur wenige analytische Methoden zur Berechnung dieser Gruppe bekannt, daher entwickeln wir im ersten Teil dieser Arbeit eine numerische Methode zur Approximation ihrer Erzeuger.rnIm zweiten Abschnitt fassen wir die Grundlagen der Theorie der Uniformisierung Riemannscher Fl"achen und die der arithmetischen Fuchsschen Gruppen zusammen. Auss erdem erkl"aren wir, wie unsere numerische Methode bei der Bestimmung von uniformisierenden Differenzialgleichungen dienlich sein kann. F"ur arithmetische Fuchssche Gruppen mit zwei Erzeugern erhalten wir lokale Daten und freie Parameter von Lam'{e} Gleichungen, welche die zugeh"origen Riemannschen Fl"achen uniformisieren. rnIm dritten Teil geben wir einen kurzen Abriss zur homologischen Spiegelsymmetrie und f"uhren die $widehat{Gamma}$-Klasse ein. Wir erkl"aren wie diese genutzt werden kann, um eine Hodge-theoretische Version der Spiegelsymmetrie f"ur torische Varit"aten zu beweisen. Daraus gewinnen wir Vermutungen "uber die Monodromiegruppe $M$ von Picard-Fuchs Gleichungen von gewissen Familien $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ von $n$-dimensionalen Calabi-Yau Variet"aten. Diese besagen erstens, dass bez"uglich einer nat"urlichen Basis die Monodromiematrizen in $M$ Eintr"age aus dem K"orper $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$ haben. Und zweitens, dass sich topologische Invarianten des Spiegelpartners einer generischen Faser von $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ aus einem speziellen Element von $M$ rekonstruieren lassen. Schliess lich benutzen wir die im ersten Teil entwickelten Methoden zur Verifizierung dieser Vermutungen, vornehmlich in Hinblick auf Dimension drei. Dar"uber hinaus erstellen wir eine Liste von Kandidaten topologischer Invarianten von vermutlich existierenden dreidimensionalen Calabi-Yau Variet"aten mit $h^{1,1}=1$.

A dictionary of modular threefolds

The thesis deals with the modularity conjecture for three-dimensional Calabi-Yau varieties. This is a generalization of the work of A. Wiles and others on modularity of elliptic curves. Modularity connects the number of points on varieties with coefficients of certain modular forms. In chapter 1 we collect the basics on arithmetic on Calabi-Yau manifolds, including general modularity results and strategies for modularity proofs. In chapters 2, 3, 4 and 5 we investigate examples of modular Calabi-Yau threefolds, including all examples occurring in the literature and many new ones. Double octics, i.e. Double coverings of projective 3-space branched along an octic surface, are studied in detail. In chapter 6 we deal with examples connected with the same modular forms. According to the Tate conjecture there should be correspondences between them. Many correspondences are constructed explicitly. We finish by formulating conjectures on the occurring newforms, especially their levels. In the appendices we compile tables of coefficients of weight 2 and weight 4 newforms and many examples of double octics.

The Euler number of OGradys 10-dimensional symplectic manifold

Wir berechnen die Eulerzahl der 10-dimensionalen exzeptionellen irreduziblen symplektischen Mannigfaltigkeit, die von O Grady konstruiert wurde. Die Idee besteht darin, zunächst eine Lagrangefaserung zu konstruieren und dann die Eulerzahlen der Fasern zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass fast alle Fasern die Eulerzahl 0 haben, und deswegen reduziert sich das Problem auf die Berechnung der Eulerzahlen der übrigen Fasern. Diese Fasern sind Modulräume von halbstabilen Garben auf singulären Kurven. Der Hauptteil dieser Dissertation ist der Berechnung der Eulerzahlen dieser Modulräume gewidmet. Diese Resultate sind von unabhängigem Interesse.

Pseudodifferential analysis in Psi*-algebras on transmission spaces, infinite solving ideal chains and K-theory for conformally compact spaces

The present thesis is a contribution to the theory of algebras of pseudodifferential operators on singular settings. In particular, we focus on the $b$-calculus and the calculus on conformally compact spaces in the sense of Mazzeo and Melrose in connection with the notion of spectral invariant transmission operator algebras. We summarize results given by Gramsch et. al. on the construction of $Psi_0$-and $Psi*$-algebras and the corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutators of certain closed operators and derivations. In the case of a manifold with corners $Z$ we construct a $Psi*$-completion $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ of the algebra of zero order $b$-pseudodifferential operators $Psi_{b,cl}(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in the corresponding $C*$-closure $B(Z,{}^bOmega^{12})hookrightarrow L(L^2(Z,{}^bOmega^{1/2}))$. The construction will also provide that localised to the (smooth) interior of Z the operators in the $A_b(Z, {}^bOmega^{1/2})$ can be represented as ordinary pseudodifferential operators. In connection with the notion of solvable $C*$-algebras - introduced by Dynin - we calculate the length of the $C*$-closure of $Psi_{b,cl}^0(F,{}^bOmega^{1/2},R^{E(F)})$ in $B(F,{}^bOmega^{1/2}),R^{E(F)})$ by localizing $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ along the boundary face $F$ using the (extended) indical familiy $I^B_{FZ}$. Moreover, we discuss how one can localise a certain solving ideal chain of $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in neighbourhoods $U_p$ of arbitrary points $pin Z$. This localisation process will recover the singular structure of $U_p$; further, the induced length function $l_p$ is shown to be upper semi-continuous. We give construction methods for $Psi*$- and $C*$-algebras admitting only infinite long solving ideal chains. These algebras will first be realized as unconnected direct sums of (solvable) $C*$-algebras and then refined such that the resulting algebras have arcwise connected spaces of one dimensional representations. In addition, we recall the notion of transmission algebras on manifolds with corners $(Z_i)_{iin N}$ following an idea of Ali Mehmeti, Gramsch et. al. Thereby, we connect the underlying $C^infty$-function spaces using point evaluations in the smooth parts of the $Z_i$ and use generalized Laplacians to generate an appropriate scale of Sobolev spaces. Moreover, it is possible to associate generalized (solving) ideal chains to these algebras, such that to every $ninN$ there exists an ideal chain of length $n$ within the algebra. Finally, we discuss the $K$-theory for algebras of pseudodifferential operators on conformally compact manifolds $X$ and give an index theorem for these operators. In addition, we prove that the Dirac-operator associated to the metric of a conformally compact manifold $X$ is not a Fredholm operator.

Der Renormierungsgruppen-Fluß der konform-reduzierten Quantengravitation

Wir analysieren die Rolle von "Hintergrundunabhängigkeit" im Zugang der effektiven Mittelwertwirkung zur Quantengravitation. Wenn der nicht-störungstheoretische Renormierungsgruppen-(RG)-Fluß "hintergrundunabhängig" ist, muß die Vergröberung durch eine nicht spezifizierte, variable Metrik definiert werden. Die Forderung nach "Hintergrundunabhängigkeit" in der Quantengravitation führt dazu, daß die funktionale RG-Gleichung von zusätzlichen Feldern abhängt; dadurch unterscheidet sich der RG-Fluß in der Quantengravitation deutlich von dem RG-Fluß einer gewöhnlichen Quantentheorie, deren Moden-Cutoff von einer starren Metrik abhängt. Beispielsweise kann in der "hintergrundunabhängigen" Theorie ein Nicht-Gauß'scher Fixpunkt existieren, obwohl die entsprechende gewöhnliche Quantentheorie keinen solchen entwickelt. Wir untersuchen die Bedeutung dieses universellen, rein kinematischen Effektes, indem wir den RG-Fluß der Quanten-Einstein-Gravitation (QEG) in einem "konform-reduzierten" Zusammenhang untersuchen, in dem wir nur den konformen Faktor der Metrik quantisieren. Alle anderen Freiheitsgrade der Metrik werden vernachlässigt. Die konforme Reduktion der Einstein-Hilbert-Trunkierung zeigt exakt dieselben qualitativen Eigenschaften wie in der vollen Einstein-Hilbert-Trunkierung. Insbesondere besitzt sie einen Nicht-Gauß'schen Fixpunkt, der notwendig ist, damit die Gravitation asymptotisch sicher ist. Ohne diese zusätzlichen Feldabhängigkeiten ist der RG-Fluß dieser Trunkierung der einer gewöhnlichen $phi^4$-Theorie. Die lokale Potentialnäherung für den konformen Faktor verallgemeinert den RG-Fluß in der Quantengravitation auf einen unendlich-dimensionalen Theorienraum. Auch hier finden wir sowohl einen Gauß'schen als auch einen Nicht-Gauß'schen Fixpunkt, was weitere Hinweise dafür liefert, daß die Quantengravitation asymptotisch sicher ist. Das Analogon der Metrik-Invarianten, die proportional zur dritten Potenz der Krümmung ist und die die störungstheoretische Renormierbarkeit zerstört, ist unproblematisch für die asymptotische Sicherheit der konform-reduzierten Theorie. Wir berechnen die Skalenfelder und -imensionen der beiden Fixpunkte explizit und diskutieren mögliche Einflüsse auf die Vorhersagekraft der Theorie. Da der RG-Fluß von der Topologie der zugrundeliegenden Raumzeit abhängt, diskutieren wir sowohl den flachen Raum als auch die Sphäre. Wir lösen die Flußgleichung für das Potential numerisch und erhalten Beispiele für RG-Trajektorien, die innerhalb der Ultraviolett-kritischen Mannigfaltigkeit des Nicht-Gauß'schen Fixpunktes liegen. Die Quantentheorien, die durch einige solcher Trajektorien definiert sind, zeigen einen Phasenübergang von der bekannten (Niederenergie-) Phase der Gravitation mit spontan gebrochener Diffeomorphismus-Invarianz zu einer neuen Phase von ungebrochener Diffeomorphismus-Invarianz. Diese Hochenergie-Phase ist durch einen verschwindenden Metrik-Erwartungswert charakterisiert.

Symplectic Lagrangian fibrations

In this work we investigate the deformation theory of pairs of an irreducible symplectic manifold X together with a Lagrangian subvariety Y in X, where the focus is on singular Lagrangian subvarieties. Among other things, Voisin's results [Voi92] are generalized to the case of simple normal crossing subvarieties; partial results are also obtained for more complicated singularities.rnAs done in Voisin's article, we link the codimension of the subspace of the universal deformation space of X parametrizing those deformations where Y persists, to the rank of a certain map in cohomology. This enables us in some concrete cases to actually calculate or at least estimate the codimension of this particular subspace. In these cases the Lagrangian subvarieties in question occur as fibers or fiber components of a given Lagrangian fibration f : X --> B. We discuss examples and the question of how our results might help to understand some aspects of Lagrangian fibrations.

Das Leib-Seele-Problem bei Karl Joël

In dieser Dissertation wird ein in Vergessenheit geratener Philosoph behandelt. Er hieß Karl Joël und war zu seinen Lebzeiten einer der bekannteren Philosophen. Die erste Bedeutung dieser Dissertation liegt deshalb darin, seine zwar genialen, aber vergessenen Gedanken (hauptsächlich von einem seiner Hauptwerke, „Seele und Welt“) wieder ans Licht gebracht zu haben. Es ist aber unmöglich, alle Gedanken einer großartigen Philosophie in einer einzigen Arbeit eingehend zu analysieren; aus diesem Grund wird in dieser Dissertation hauptsächlich Joëls „Seele und Welt“, eines seiner Hauptwerke, behandelt. rnAm Anfang dieser Doktorarbeit wird eine Einleitung (Kapitel 1) gegeben, die Lesern einen Überblick auf die gesamte Arbeit geben soll. Es folgt dann eine Biographie (Kapitel 2), in der das Leben des Philosophen relativ detailliert dargestellt wird. Da der Philosoph heute ein ziemlich unbekannter Philosoph ist, musste die Biographie einen dementsprechenden Umfang haben und nach vorne gestellt werden, so dass Leser gleich das ganze Bild seiner Philosophie haben können. Im Kapitel 3 werden Joëls frühere Werke bis „Seele und Welt“ behandelt und seine Gedanken bis „Seele und Welt“ verfolgt, um die Ideen in diesem Buch vertieft erforschen zu können. Im Kapitel 4 wird die Geschichte des Leib-Seele-Problems kurz zusammengefasst, um die Fragestellung des Problems zu verdeutlichen. Diese vier Kapitel machen zusammen den ersten Teil der Dissertation (die Einführung) aus. rnDanach fängt der zweite Teil der Dissertation an, der mit „Systematische Erklärung von Joëls Organismuskonzeption“ betitelt ist. Im Kapitel 5 wird Fechners Parallelismus erörtert. Joël kritisiert im ersten Teil von „Seele und Welt“ Fechners parallelistische Auffassung und versucht, diese zu überwinden. Deshalb musste in dieser Dissertation auch Fechners Parallelismus behandelt werden, um Joëls Kritik an Fechner richtig einschätzen zu können. Im Kapitel 6 wird zuerst der „Seelenbegriff im 19. Jahrhundert“ thematisiert und die philosophische Lage zu Joëls Zeit klar dargestellt. Anschließend wird Joëls Seelenbegriff behandelt. Joël versucht, seinen Seelenbegriff so formulieren, dass dieser über den traditionellen Seelenbegriff hinaus den neuen naturwissenschaftlichen Erkenntnissen gerecht werden kann. Im Kapitel 7 wird Joëls Organismusbegriff erörtert. Der Organismusbegriff macht das Wesentliche von Joëls Philosophie aus. Dies ist davon abzuleiten, dass „Seele und Welt“ eigentlich „Versuch einer organischen Auffassung“ heißt. Joël nahm neue Erkenntnisse auf und entwarf seinen Organismusbegriff, obwohl dieser von Schelling stark beeinflusst ist. rnAb dem Kapitel 8 wird die Philosophie Joëls dargestellt (der dritte Teil). Im Kapitel 8 wird der Indifferenzbegriff Joëls behandelt, aus der sich die zwei Weltextreme, Seele und Körper, entfalteten. In Kapiteln 9 und 10 wird dargestellt, wie aus der Indifferenz zur Mannigfaltigkeit der Welt gelangt wird. Im Kapitel 11 wird erklärt, wie die Äußerlichkeit (die Anschauungen) zur reinen Innerlichkeit (dem Denken) übergehen kann. Dadurch wird eine gewisse Erklärung für das Leib-Seele-Problem geliefert. Im Kapitel 12 wird versucht, Joëls Philosophie auf die moderne physische Problematik anzuwenden. Unsere Vorstellung des Raums als Dreidimensionalität kommt ins Wanken angesichts der neuen physischen Auffassung, dass es eigentlich nicht drei, sondern neun Raumdimensionen geben muss. In diesem Kapitel wird Joëls Begriff der Dreidimensionalität entwickelt, so dass sich dieser auch an die modernen Erkenntnisse anpassen kann. Im Kapitel 13 wird die Funktionsweise des Willens erörtert. Es ist unmöglich, den Willen als absolut frei oder notwendig zu bestimmen. Es kann nur nach einem freieren und notwendigeren Willen gefragt werden. Im Kapitel 14 befindet sich die Schlussbemerkung. Im Kapitel 15 findet man das Literaturverzeichnis von und über Joël. Da dieser Philosoph unbekannt ist, kann das Kapitel von größerer Bedeutung sein, als man sich sonst vorstellt.