On differential operators of Calabi-Yau type

This thesis is devoted to the study of Picard-Fuchs operators associated to one-parameter families of $n$-dimensional Calabi-Yau manifolds whose solutions are integrals of $(n,0)$-forms over locally constant $n$-cycles. Assuming additional conditions on these families, we describe algebraic properties of these operators which leads to the purely algebraic notion of operators of CY-type. rnMoreover, we present an explicit way to construct CY-type operators which have a linearly rigid monodromy tuple. Therefore, we first usernthe translation of the existence algorithm by N. Katz for rigid local systems to the level of tuples of matrices which was established by M. Dettweiler and S. Reiter. An appropriate translation to the level of differential operators yields families which contain operators of CY-type. rnConsidering additional operations, we are also able to construct special CY-type operators of degree four which have a non-linearly rigid monodromy tuple. This provides both previously known and new examples.

In der vorliegenden Arbeit besch"aftige ich mich mit Picard-Fuchs Operatoren f"ur Familien von Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ mit einem Deformationsparameter, deren L"osungen durch Integrale einer $(n,0)$-Form "uber lokal konstante $n$-Zykel gegeben sind. Ich beschreibe algebraische Eigenschaften dieser Differenzialoperatoren f"ur Familien, die weiteren Bedingungen unterliegen. Dies f"uhrt zum rein algebraischen Begriff des Differenzialoperators vom CY-Typ. F"ur diejenigen, deren Monodromietupel linear starr ist, stelle ich auss erdem eine explizite Konstruktionsmethode vor. Hierzu verwende ich den Existenzalgorithmus f"ur linear starre lokale Systeme von N. Katz und die von M. Dettweiler und S. Reiter erarbeitete Version desselben f"ur Matrixtupel. Daraufhin entwickele ich eine geeignete Version f"ur Differenzialoperatoren, was zu Familien f"uhrt, die Differenzialoperatoren vom CY-Typ enthalten. Des Weiteren bin ich unter Verwendung zus"atzlicher Operationen in der Lage spezielle Differenzialoperatoren vierter Ordnung vom CY-Typ zu konstruieren, deren Monodromietupel nicht linear starr ist. Dies f"uhrt sowohl zu bereits bekannten als auch zu neuen Beispielen f"ur Operatoren dieser Klasse.