Monodromy calculations for some differential equations

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist es w"{u}nschenswert, die Monodromiegruppe einer homogenen linearen Differenzialgleichung zu verstehen. Es sind nur wenige analytische Methoden zur Berechnung dieser Gruppe bekannt, daher entwickeln wir im ersten Teil dieser Arbeit eine numerische Methode zur Approximation ihrer Erzeuger.rnIm zweiten Abschnitt fassen wir die Grundlagen der Theorie der Uniformisierung Riemannscher Fl"achen und die der arithmetischen Fuchsschen Gruppen zusammen. Auss erdem erkl"aren wir, wie unsere numerische Methode bei der Bestimmung von uniformisierenden Differenzialgleichungen dienlich sein kann. F"ur arithmetische Fuchssche Gruppen mit zwei Erzeugern erhalten wir lokale Daten und freie Parameter von Lam'{e} Gleichungen, welche die zugeh"origen Riemannschen Fl"achen uniformisieren. rnIm dritten Teil geben wir einen kurzen Abriss zur homologischen Spiegelsymmetrie und f"uhren die $widehat{Gamma}$-Klasse ein. Wir erkl"aren wie diese genutzt werden kann, um eine Hodge-theoretische Version der Spiegelsymmetrie f"ur torische Varit"aten zu beweisen. Daraus gewinnen wir Vermutungen "uber die Monodromiegruppe $M$ von Picard-Fuchs Gleichungen von gewissen Familien $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ von $n$-dimensionalen Calabi-Yau Variet"aten. Diese besagen erstens, dass bez"uglich einer nat"urlichen Basis die Monodromiematrizen in $M$ Eintr"age aus dem K"orper $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$ haben. Und zweitens, dass sich topologische Invarianten des Spiegelpartners einer generischen Faser von $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ aus einem speziellen Element von $M$ rekonstruieren lassen. Schliess lich benutzen wir die im ersten Teil entwickelten Methoden zur Verifizierung dieser Vermutungen, vornehmlich in Hinblick auf Dimension drei. Dar"uber hinaus erstellen wir eine Liste von Kandidaten topologischer Invarianten von vermutlich existierenden dreidimensionalen Calabi-Yau Variet"aten mit $h^{1,1}=1$.

In many branches of mathematics it is eligible to understand the monodromy group of a homogeneous linear differential equation.But only few analytic methods to compute this group are known. Hence, in the first part of this thesis we develop a numerical method to approximate its generators. rnIn the second part we summarize the basics of uniformization of Riemann surfaces and of arithmetic Fuchsian groups. Furthermore we explain how our numerical method can be useful when computing uniformizing differential equations. For arithmetic Fuchsian groups with two generators we obtain the local data and the accessory parameter of a Lam'e equation uniformizing the associated Riemann surface.rnIn the third part we briefly review homological mirror symmetry and introduce the $widehat{Gamma}$-class. We explain how it can be used to prove a Hodge-theoretic version of mirror symmetry for toric varieties. We gain conjectures on the monodromy group $M$ of Picard-Fuchs equations of certain families $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ of n-dimensional Calabi-Yau varieties. rnThe first part of these conjectures tells that with respect to a natural basis the entries of the matrices in M are contained in the field $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$. The second part of the conjectures is that topological invariants of the mirror partner of a generic fiber of $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ are reconstructible from a special element of $M$. Finally, we apply our numerical method to verify the conjecture mainly in dimension three. Additionally we compile a list of candidates of topological invariants of conjecturally existing three-dimensional Calabi-Yau varieties with $h^{1,1}=1$.