Forward implied volatility expansions in LSV models

In this work we address the problem of finding formulas for efficient and reliable analytical approximation for the calculation of forward implied volatility in LSV models, a problem which is reduced to the calculation of option prices as an expansion of the price of the same financial asset in a Black-Scholes dynamic. Our approach involves an expansion of the differential operator, whose solution represents the price in local stochastic volatility dynamics. Further calculations then allow to obtain an expansion of the implied volatility without the aid of any special function or expensive from the computational point of view, in order to obtain explicit formulas fast to calculate but also as accurate as possible.

Metodi perturbativi per E.D.P e applicazioni in finanza matematica

In questa tesi si discute di alcuni modelli di pricing per opzioni di tipo europeo e di opportuni metodi perturbativi che permettono di trovare approssimazioni soddisfacenti dei prezzi e delle volatilità implicite relative a questi modelli.

Sulla Frontiera Libera del Problema con Ostacolo per l'Opzione Put Americana

In questa tesi vengono presentate le prime semplici proprietà della Frontiera Libera relativa alla soluzione del Problema con Ostacolo per l'Operatore di Black & Scholes nel caso dell'Opzione Put Americana. Si ricavano inoltre le cosiddette Equazioni Integrali per la Frontiera Libera, ossia un sistema di equazioni in forma integrale che caratterizzano completamente tale insieme.

Comportamento asintotico della volatilità implicita vicino a scadenza

La tesi presenta una descrizione completa del comportamento asintotico della volatilità implicita vicino a scadenza, sotto le condizioni di non arbitraggio. I risultati ottenuti, che non dipendono dalla scelta del modello per il sottostante, saranno applicati nel caso di un modello a volatilità locale.

Il moto browniano in finanza

In questo lavoro si presenta il fenomeno fisico nominato moto browniano, s’illustra il modello matematico atto a descriverlo e si analizza come questo abbia avuto notevole importanza in ambito finanziario, in particolare nell’elaborazione del modello di Black, Scholes e Merton per la valutazione dei derivati.

Metodi di approssimazione saddlepoint ed applicazioni finanziarie

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Proprietà asintotiche della volatilità implicita

Nella seguente tesi sono state illustrate alcune proprietà della volatilità implicita, una variabile molto importante nell'ambito finanziario, che viene utilizzata nella formula di Black & Scholes per ottenere il prezzo osservato; infatti essendo il prezzo dell'opzione una funzione invertibile della volatilità ad ogni prezzo quotato dell'opzione corrisponde un unico valore della volatilità, detta appunto volatilità implicita.

Metodi di Fourier per la valutazione dei derivati finanziari

Questa tesi affronta uno dei principali argomenti trattati dalla finanza matematica: la determinazione del prezzo dei derivati finanziari. Esistono diversi metodi per trattare questo tema, ma in particolare vengono illustrati i metodi che usano la trasformata di Fourier. Questi ultimi infatti ci permettono di sostituire il calcolo dell'attesa condizionata scontata, con il calcolo dell'integrale della trasformata di Fourier, in quanto la funzione caratteristica, cioè la trasformata di Fourier della funzione densità, è più trattabile rispetto alla funzione densità stessa. Vengono in primo luogo analizzate alcune importanti formule di valutazione e successivamente implementate, attraverso il software Mathematica. I modelli di riferimento utilizzati per l'implementazione sono il modello di Black-Scholes e il modello di Merton.

FX modelling under collateralization

We present the market practice for interest rate yield curves construction and pricing interest rate derivatives. Then we give a brief description of the Vasicek and the Hull-White models, with an example of calibration to market data. We generalize the classical Black-Scholes-Merton pricing formulas, considering more general cases such as perfect or partial collateral, derivatives on a dividend paying asset subject to repo funding, and multiple currencies. Finally we derive generic pricing formulae for different combinations of cash flow and collateral currencies, and we apply the results to the pricing of FX swaps and CCS, and we discuss curve bootstrapping.