A linear O(N) model: a functional renormalization group approach for flat and curved space

In questa tesi sono state applicate le tecniche del gruppo di rinormalizzazione funzionale allo studio della teoria quantistica di campo scalare con simmetria O(N) sia in uno spaziotempo piatto (Euclideo) che nel caso di accoppiamento ad un campo gravitazionale nel paradigma dell'asymptotic safety. Nel primo capitolo vengono esposti in breve alcuni concetti basilari della teoria dei campi in uno spazio euclideo a dimensione arbitraria. Nel secondo capitolo si discute estensivamente il metodo di rinormalizzazione funzionale ideato da Wetterich e si fornisce un primo semplice esempio di applicazione, il modello scalare. Nel terzo capitolo è stato studiato in dettaglio il modello O(N) in uno spaziotempo piatto, ricavando analiticamente le equazioni di evoluzione delle quantità rilevanti del modello. Quindi ci si è specializzati sul caso N infinito. Nel quarto capitolo viene iniziata l'analisi delle equazioni di punto fisso nel limite N infinito, a partire dal caso di dimensione anomala nulla e rinormalizzazione della funzione d'onda costante (approssimazione LPA), già studiato in letteratura. Viene poi considerato il caso NLO nella derivative expansion. Nel quinto capitolo si è introdotto l'accoppiamento non minimale con un campo gravitazionale, la cui natura quantistica è considerata a livello di QFT secondo il paradigma di rinormalizzabilità dell'asymptotic safety. Per questo modello si sono ricavate le equazioni di punto fisso per le principali osservabili e se ne è studiato il comportamento per diversi valori di N.

Teorema di Brouwer ed applicazioni

Lo scopo di questa tesi è analizzare il teorema del punto fisso di Brouwer, e lo faremo da più punti di vista, generalizzandolo e dando una piccola illustrazione di una sua possibile applicazione nella teoria dei giochi. Il teorema del punto fisso è uno dei teoremi prìncipi della topologia algebrica. Nella versione classica esso afferma che qualsiasi funzione continua che porta la palla unitaria di \R^{n} in se stessa possiede un punto fisso.

Presentazioni di gruppi con generatori e relazioni

La struttura di gruppo è una delle strutture algebriche più semplici e importanti della matematica. Un gruppo si può descrivere in vari modi: uno dei più interessanti è la presentazione per generatori e relazioni. Sostanzialmente presentare un gruppo per generatori e relazioni significa dire quali specifiche ”regole di calcolo” e semplificazione valgono nel gruppo in considerazione oltre a quelle che derivano dagli assiomi di gruppo. Questo porta in particolare alla definizione di gruppo libero. Un gruppo libero non ha regole di calcolo oltre quelle derivanti dagli assiomi di gruppo. Ogni gruppo è un quoziente di un gruppo libero su un appropriato insieme di generatori per un sottogruppo normale, generato dalle relazioni. In questa tesi si ricordano le definizioni più importanti ed elementari della teoria dei gruppi e si passa in seguito a discutere il gruppo libero e le presentazioni di gruppi con generatori e relazioni, dando alcuni esempi. La tesi si conclude illustrando l’algoritmo di Coxeter e Todd, per enumerare le classi laterali di un sottogruppo quando si ha un gruppo presentato per generatori e relazioni.

L'informazione di fase per la segmentazione volumetrica di dati ecocardiografici

L’imaging ad ultrasuoni è una tecnica di indagine utilizzata comunemente per molte applicazioni diagnostiche e terapeutiche. La tecnica ha numerosi vantaggi: non è invasiva, fornisce immagini in tempo reale e l’equipaggiamento necessario è facilmente trasportabile. Le immagini ottenute con questa tecnica hanno tuttavia basso rapporto segnale rumore a causa del basso contrasto e del rumore caratteristico delle immagini ad ultrasuoni, detto speckle noise. Una corretta segmentazione delle strutture anatomiche nelle immagini ad ultrasuoni è di fondamentale importanza in molte applicazioni mediche . Nella pratica clinica l’identificazione delle strutture anatomiche è in molti casi ancora ottenuta tramite tracciamento manuale dei contorni. Questo processo richiede molto tempo e produce risultati scarsamente riproducibili e legati all’esperienza del clinico che effettua l’operazione. In ambito cardiaco l’indagine ecocardiografica è alla base dello studio della morfologia e della funzione del miocardio. I sistemi ecocardiografici in grado di acquisire in tempo reale un dato volumetrico, da pochi anni disponibili per le applicazioni cliniche, hanno dimostrato la loro superiorità rispetto all’ecocardiografia bidimensionale e vengono considerati dalla comunità medica e scientifica, la tecnica di acquisizione che nel futuro prossimo sostituirà la risonanza magnetica cardiaca. Al fine di sfruttare appieno l’informazione volumetrica contenuta in questi dati, negli ultimi anni sono stati sviluppati numerosi metodi di segmentazione automatici o semiautomatici tesi alla valutazione della volumetria del ventricolo sinistro. La presente tesi descrive il progetto, lo sviluppo e la validazione di un metodo di segmentazione ventricolare quasi automatico 3D, ottenuto integrando la teoria dei modelli level-set e la teoria del segnale monogenico. Questo approccio permette di superare i limiti dovuti alla scarsa qualità delle immagini grazie alla sostituzione dell’informazione di intensità con l’informazione di fase, che contiene tutta l’informazione strutturale del segnale.

Gruppi risolubili

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Proposta di traduzione in francese di parte del sito web "www.Turismo.Ra.It"

Questo elaborato finale analizza la mia proposta di traduzione di parte del sito internet www.turismo.ra.it. Ho intrapreso la traduzione delle pagine di questo sito nel quadro di una collaborazione volontaria con il Comune di Ravenna; anche il mio tirocinio curricolare si è concentrato sulla traduzione del sito. Ho deciso dunque di articolare la tesi come segue: il primo capitolo, si concentra sulla teoria dei siti internet e sulla loro organizzazione, focalizzando l’interesse sulle modalità di scrittura sul web, mentre il secondo capitolo tratta l’analisi del sito, ponendo particolare attenzione alla sua struttura. La mia proposta di traduzione segue poi nel terzo capitolo, mentre nel quarto offro una possibile analisi dei testi tradotti, con commenti relativi agli aspetti linguistici e alle difficoltà riscontrate, e analizzando la memoria di traduzione da me creata nel corso della mia attività. L’elaborato si conclude con alcune mie considerazioni finali circa l’attività svolta, e la bibliografia, con annessa sitografia, da me consultate per lo svolgimento del mio lavoro di ricerca.

Lattices and discrete methods in cooperative games and decisions

Questa tesi si pone l'obiettivo di presentare la teoria dei giochi, in particolare di quelli cooperativi, insieme alla teoria delle decisioni, inquadrandole formalmente in termini di matematica discreta. Si tratta di due campi dove l'indagine si origina idealmente da questioni applicative, e dove tuttavia sono sorti e sorgono problemi più tipicamente teorici che hanno interessato e interessano gli ambienti matematico e informatico. Anche se i contributi iniziali sono stati spesso formulati in ambito continuo e utilizzando strumenti tipici di teoria della misura, tuttavia oggi la scelta di modelli e metodi discreti appare la più idonea. L'idea generale è quindi quella di guardare fin da subito al complesso dei modelli e dei risultati che si intendono presentare attraverso la lente della teoria dei reticoli. Ciò consente di avere una visione globale più nitida e di riuscire agilmente ad intrecciare il discorso considerando congiuntamente la teoria dei giochi e quella delle decisioni. Quindi, dopo avere introdotto gli strumenti necessari, si considerano modelli e problemi con il fine preciso di analizzare dapprima risultati storici e solidi, proseguendo poi verso situazioni più recenti, più complesse e nelle quali i risultati raggiunti possono suscitare perplessità. Da ultimo, vengono presentate alcune questioni aperte ed associati spunti per la ricerca.

Gruppi liberi e giochi di parole

La struttura di gruppo è una delle strutture algebriche più semplici e fondamentali della matematica. Un gruppo si può descrivere in vari modi. Noi abbiamo illustrato la presentazione tramite generatori e relazioni, che consiste sostanzialmente nell'elencare le "regole di calcolo" che valgono nel gruppo considerato, oltre a quelle che derivano dagli assiomi di gruppo. L'idea principale di questa tesi è quella di mostrare come un argomento così tecnico e specifico possa essere reso "elementare" e anche divertente. Siamo partiti dalla costruzione di un gioco, inventando regole da aggiungere di volta in volta. Abbiamo poi tentato di spiegare il medesimo concetto da un punto di vista teorico, tramite la teoria dei gruppi liberi. Si tratta di gruppi che hanno un insieme di generatori soddisfacenti unicamente alle relazioni che sono conseguenza degli assiomi di gruppo.Ogni gruppo è un quoziente di un gruppo libero su un appropriato insieme di generatori per un sottogruppo normale, generato dalle relazioni. Infine si è illustrato il problema della parola formulato da Max Dhen nel 1911, e si è visto come tale problema è risolubile per i gruppi liberi.

H-gruppi e co-H-gruppi

Si inizia generalizzando la teoria dei gruppi a categorie qualsiasi, quindi senza necessariamente un insieme sostegno, studiando anche i cogruppi, ovvero gli oggetti duali dei gruppi, e caratterizzando in termini categoriali tali strutture. Vengono poi studiati oggetti topologici con la struttura di gruppo generalizzato vista inizialmente, compatibile con la struttura topologica. L'utilità degli H-gruppi e dei co-H-gruppi è specialmente in topologia algebrica, dove la struttura di questi oggetti fornisce molte informazioni sul loro comportamento, in termini di gruppi di omotopia e di più generici gruppi di mappe fra loro e altri spazi. Vengono poi dati esempi di questi oggetti, e si studia come i co-H-gruppi, in particolare, permettono di definire i gruppi di omotopia e di dimostrare i risultati fondamentali della teoria dell'omotopia.

Fasi geometriche, fase di Berry ed effetto Aharonov-Bohm

Un sistema sottoposto ad una lenta evoluzione ciclica è descritto da un'Hamiltoniana H(X_1(t),...,X_n(t)) dipendente da un insieme di parametri {X_i} che descrivono una curva chiusa nello spazio di appartenenza. Sotto le opportune ipotesi, il teorema adiabatico ci garantisce che il sistema ritornerà nel suo stato di partenza, e l'equazione di Schrödinger prevede che esso acquisirà una fase decomponibile in due termini, dei quali uno è stato trascurato per lungo tempo. Questo lavoro di tesi va ad indagare principalmente questa fase, detta fase di Berry o, più in generale, fase geometrica, che mostra della caratteristiche uniche e ricche di conseguenze da esplorare: essa risulta indipendente dai dettagli della dinamica del sistema, ed è caratterizzata unicamente dal percorso descritto nello spazio dei parametri, da cui l'attributo geometrico. A partire da essa, e dalle sue generalizzazioni, è stata resa possibile l'interpretazione di nuovi e vecchi effetti, come l'effetto Aharonov-Bohm, che pare mettere sotto una nuova luce i potenziali dell'elettromagnetismo, e affidare loro un ruolo più centrale e fisico all'interno della teoria. Il tutto trova una rigorosa formalizzazione all'interno della teoria dei fibrati e delle connessioni su di essi, che verrà esposta, seppur in superficie, nella parte iniziale.

Algoritmi quantistici e classi di complessità

Solitamente il concetto di difficoltà è piuttosto soggettivo, ma per un matematico questa parola ha un significato diverso: anche con l’aiuto dei più potenti computer può essere impossibile trovare la soluzione di un sudoku, risolvere l’enigma del commesso viaggiatore o scomporre un numero nei suoi fattori primi; in questo senso le classi di complessità computazionale quantificano il concetto di difficoltà secondo le leggi dell’informatica classica. Una macchina quantistica, però, non segue le leggi classiche e costituisce un nuovo punto di vista in una frontiera della ricerca legata alla risoluzione dei celebri problemi del millennio: gli algoritmi quantistici implementano le proprietà straordinarie e misteriose della teoria dei quanti che, quando applicate lucidamente, danno luogo a risultati sorprendenti.

Prodotto di funzioni generalizzate

Le funzioni generalizzate sono uno strumento matematico che trova la sua applicazione fisica quando si trattano problemi con discontinuità o singolarità. Risulta perciò necessario formulare una teoria in grado di descrivere completamente questi oggetti e le loro proprietà. Nella teoria delle funzioni generalizzate il problema del loro prodotto è tuttora aperto poiché non esiste un metodo univoco per dare la definizione tra questi oggetti. Lo scopo di questo elaborato è di presentare la teoria delle funzioni generalizzate e i problemi legati al loro prodotto per poi presentare due metodi per affrontarlo, con esempi e risultati di particolare interesse. Vengono mostrati infine alcuni esempi fisici dove la soluzione richiede l'utilizzo di questo apparato matematico vertendo soprattutto sullo stretto legame tra il prodotto di funzioni generalizzate e la procedura della rinormalizzazione nella teoria dei campi quantistici.

Applicazione del metodo QDanet_PRO alla classificazione di dati omici

Il presente lavoro di tesi si pone nell'ambito dell'analisi dati attraverso un metodo (QDanet_PRO), elaborato dal Prof. Remondini in collaborazine coi Dott. Levi e Malagoli, basato sull'analisi discriminate a coppie e sulla Teoria dei Network, che ha come obiettivo la classificazione di dati contenuti in dataset dove il numero di campioni è molto ridotto rispetto al numero di variabili. Attraverso questo studio si vogliono identificare delle signature, ovvero un'insieme ridotto di variabili che siano in grado di classificare correttamente i campioni in base al comportamento delle variabili stesse. L'elaborazione dei diversi dataset avviene attraverso diverse fasi; si comincia con una un'analisi discriminante a coppie per identificare le performance di ogni coppia di variabili per poi passare alla ricerca delle coppie più performanti attraverso un processo che combina la Teoria dei Network con la Cross Validation. Una volta ottenuta la signature si conclude l'elaborazione con una validazione per avere un'analisi quantitativa del successo o meno del metodo.

Aspects of supergeometry in locally covariant quantum field theory

In questa tesi vengono presentati i piu recenti risultati relativi all'estensione della teoria dei campi localmente covariante a geometrie che permettano di descrivere teorie di campo supersimmetriche. In particolare, si mostra come la definizione assiomatica possa essere generalizzata, mettendo in evidenza le problematiche rilevanti e le tecniche utilizzate in letteratura per giungere ad una loro risoluzione. Dopo un'introduzione alle strutture matematiche di base, varieta Lorentziane e operatori Green-iperbolici, viene definita l'algebra delle osservabili per la teoria quantistica del campo scalare. Quindi, costruendo un funtore dalla categoria degli spazio-tempo globalmente iperbolici alla categoria delle *-algebre, lo stesso schema viene proposto per le teorie di campo bosoniche, purche definite da un operatore Green-iperbolico su uno spazio-tempo globalmente iperbolico. Si procede con lo studio delle supervarieta e alla definizione delle geometrie di background per le super teorie di campo: le strutture di super-Cartan. Associando canonicamente ad ognuna di esse uno spazio-tempo ridotto, si introduce la categoria delle strutture di super-Cartan (ghsCart) il cui spazio-tempo ridotto e globalmente iperbolico. Quindi, si mostra, in breve, come e possibile costruire un funtore da una sottocategoria di ghsCart alla categoria delle super *-algebre e si conclude presentando l'applicazione dei risultati esposti al caso delle strutture di super-Cartan in dimensione 2|2.

Il Museo Ebraico di Berlino. Proposta di traduzione dal Tedesco di alcune pagine del sito web

Questo elaborato finale intende presentare una proposta di traduzione di una parte del sito internet del celebre Museo ebraico di Berlino progettato da Daniel Libeskind, architetto statunitense di origine polacca. Il presente elaborato si articola nelle seguenti sezioni: il primo capitolo si concentrerà sulla teoria dei siti internet e sulla loro organizzazione, focalizzando l’interesse sulle modalità di scrittura dei siti web, nel secondo capitolo, verranno presentate la vita e le opere di Daniel Libeskind con una breve introduzione al Museo Ebraico. Seguirà poi un'analisi testuale e nel quarto capitolo la proposta di traduzione. Nel quinto capitolo verranno analizzate le strategie adottate nella traduzione. L’elaborato si concluderà con alcune considerazioni finali, e con indicazioni sulla bibliografia e sitografia.