Estrategias de investigación cuando los marcos teóricos existentes no son útiles.

Se explica la existencia de alternativas para investigaciones en lo referente a los marcos teóricos. Se expone la posibilidad de utilizar el marco teórico de otro investigador o de crear uno propio. Se comentan ventajas y desventajas de ambas posibilidades. Se expresa la posibilidad de crear un marco teórico modificando uno existente con anterioridad. Se muestran dos ejemplos de investigaciones en las que ha sido necesaria la construcción o modificación de un marco teórico. En la primera se partía de un marco teórico en el que se entiende el progreso académico de los alumnos como una sucesión de 'niveles' de conocimiento. Una vez establecidos un grupo de 'niveles' o estadíos del aprendizaje para un temario concreto, se entiende que el alumno va pasando sucesivamente de uno a otro. Se entiende que para cada alumno los niveles son excluyentes y consecutivos. A lo largo de la investigación, se observa que hay alumnos que están en dos niveles consecutivos a la vez. Se modifica el marco teórico preexistente para incluir la posibilidad de la existencia de un estado 'de transición' entre niveles de aprendizaje. El segundo ejemplo muestra como pueden refundirse varios marcos teóricos en otro más completo. Se describe una investigación sobre los tipos de demostraciones matemáticas realizadas por los alumnos. Se explica en primer lugar un marco teórico preexistente que contempla varios tipos de demostraciones (basadas en ejemplos, deductivas, basadas en la comprensión del problema,...). Se explica la existencia de otro marco teórico igualmente rico que contempla la otro tipos de demostraciones. Por último, se genera un nuevo marco teórico que integra las demostraciones de ambos marcos.

Análisis de datos e investigación en didáctica de la matemática : una aproximación desde la teoría de situaciones.

Se trata la teoría de situaciones. El documento tiene dos partes. En la primera se explica de manera abstracta la Teoría de Situaciones y la manera en que el análisis de datos se le puede aplicar. En la segunda parte se muestra un ejemplo práctico de lo explicado. Se muestran para ello varias formas distintas en las que el análisis de datos puede servir a una investigación en didáctica de las matemáticas. Para llevar a cabo todo esto se aplican conceptos de la ingeniería didáctica y la Teoría de Situaciones.

Cuestiones metodológicas en la investigación educativa.

Se reflexiona sobre los métodos a seguir en las investigaciones en educación matemática. Se realiza una breve explicación de la estructura que debe tener el estudio teórico previo a una investigación. Se reflexiona sobre la importancia de definir bien el problema y los métodos a usar en la investigación. Se expone como ejemplo de investigación la de Vallecillos (1994). En dicha investigación se usó un método estadístico combinado con entrevistas semiestructuradas. El método estadístico arroja resultados muy útiles, mostrando los puntos flacos de la comprensión de la estadística en los estudiantes. Las entrevistas confirman posteriormente estos resultados. Se concluye que el método estadístico es muy útil para la investigación en didáctica de las matemáticas pero que debe de ser aplicado con sumo cuidado. Esto último se debe a que un método no sirve de nada sin una buena definición del problema, de las herramientas y de la interpretación a dar a los datos en una investigación.

Debate del seminario II : metodología.

Se presenta un seminario de exposición y debate de trabajos y metodologías de investigación. Durante el seminario se realizan la exposición y debate de cuatro investigaciones. Dichas investigaciones son 'Un estudio cualitativo de corte interpretativo en el ámbito del pensamiento del profesor de secundaria', 'Estrategias de investigación cuando los marcos teóricos existentes no son útiles', 'Análisis de datos e investigaciónen Didáctica de la Matemática. Una aproximación desde la teoría de situaciones' y 'Cuestiones metodológicas en la investigación educativa'. Posteriormente José Manuel Matos, en calidad de invitado, realizó una clasificación de las metodologías de acuerdo a varias categorías. Los ponentes expresan su postura respecto a la clasificación hecha y se desarrolla un debate sobre las metodologías de investigación en educación.

Enseñanza del número racional positivo en educación primaria : un estudio desde el modelo cociente.

Se describe una investigación sobre la enseñanza del número racional en primaria. Dicha investigación consiste en la elaboración de una propuesta didáctica nueva y específica del estudio. El trabajo se tiene como marco conceptual el Pensamiento Numérico. La metodología del trabajo es del tipo investigación-acción. Se realiza en dos etapas. En la primera se interviene en un aula de cuarto curso de primaria. La segunda, por contra, se desarrolla con escolares de quinto curso. Cada una de dichas etapas tiene tres fases. En la primera fase, la de planificación, se analiza la enseñanza actual de los números racionales y los problemas que presenta, y se diseña un plan de enseñanza alternativo. En la segunda fase, la de acción, se lleva a cabo el trabajo de aula de acuerdo a la propuesta didáctica desarrollada. Al final de dicha fase se realiza una prueba a los alumnos para evaluar su progreso. Por último, en la fase de observación se analizan todos los datos obtenidos y se compara el aprendizaje de los escolares respecto a la enseñanza tradicional.

Análisis de significados personales e institucionales : el problema de su compatibilización.

Se analiza la corrección de utilidad de los ejemplos utilizados en los problemas matemáticos. El objetivo es comprender si los enunciados planteados en los libros de texto de matemáticas utilizan ejemplos que los alumnos comprendan y que les sirvan para aprender a abstraer correctamente los conceptos. Se analizan dichos enunciados en materia de divisivilidad en el ámbito de los enteros. Se analizan varios enunciados de problemas relativos al Máximo Común Divisor (MCD) y al Mínimo Común Múltiplo (mcm). Se analizan también las respuestas de los alumnos al resolver dichos problemas. Se comprueba que los ejemplos propuestos tienen un universo del discurso que no suele tener sentido para los estudiantes. Se observa que por este motivo los estudiantes no adquieren correctamente la capacidad de abstraer los enunciados y transformarlos en proposiciones matemáticas. Se observa que todo esto resulta mucho más evidente cuando tienen que enfrentarse a un problema real en vez de un problema matemático.

Diferentes enfoques para el estudio de algunas relaciones de inscripción y dualidad en el mundo de los poliedros regulares.

Se exponen varios métodos para la enseñanza de geometría a estudiantes de Magisterio. El estudio se centra en la inscripción de poliedros regulares en otros poliedros regulares. Para ello se evalúa la enseñanza mediante varios métodos distintos. El primer método se denomina 'constuir o generar formas'. Consiste en modelar un poliedro regular con plastilina y posteriormente generar un segundo poliedro regular añadiendo plastilina al modelo original. El segundo método se llama 'formas rígidas que se deforman'. Consiste en hacer que los alumnos observen la manera en que algunos poliedros regulares pueden descomponerse en otros poliedros regulares. El tercer método se denomina 'Características de los poliedros regulares. Búsqueda de relaciones'. Dicho método se basa en la búsqueda de inscripciones de poliedros regulares basada en el recuento de vértices, aristas y caras. A partir de una tabla con dichos datos, se proponen hipótesis sobre qué poliedros se pueden inscribir en otros poliedros.

Influencia del nivel escolar y el contexto en el conocimiento informal de conceptos inferenciales.

Se estudian los conceptos de estudiantes de secundaria sobre la inferencia estadística. Se propone una serie de cuestiones a alumnos de tercer curso de E.S.O. y de C.O.U. Se parte del supuesto de que los alumnos de E.S.O. no tienen conocimientos previos de inferencia estadística y los de C.O.U. sí. La cuestiones realizadas a los alumnos son de tipo cualitativo. Ejemplos de las preguntas realizadas podrían ser '¿Podemos inferir la proporción de cartas rojas de una baraja basándonos en la proporción de color en 20 de sus cartas?' ó 'Si queremos averiguar cuántas bolas de una bolsa (que contiene 100 bolas) son rojas y cuántas verdes, y sacamos 25 bolas de la bolsa, indica cuál es la muestra sobre la que estamos trabajando y cuál el conjunto de objetos'. Tras el estudio, se observa que los estudiantes cometen errores importantes al identificar los elementos de la inferencia estadística. Dicha observación se considera provisional en espera de un estudio más profundo.

Un estudio semiótico del razonamiento combinatorio en estudiantes universitarios.

Se estudia la manera en que un grupo de alumnos de Licentura de Matemáticas resuelven problemas. El estudio se centra en problemas de combinatoria. Se analiza los métodos usados para la resolución y se clasifican como ostensivos, extensivos, actuativos, intensivos, validativos o una mezcla de los anteriores. A lo largo del documento se detallan las respuestas dadas por cuatro de los alumnos a algunas de las cuestiones planteadas. Para finalizar, se analiza cuáles de esas respuestas se corresponden con cada una de las formas de resolución y la relación entre los métodos de resolución utilizados y la proporción de problemas bien resueltos en cada uno de los casos.

Investigación en el aula : las decisiones condicionan las interacciones.

Se estudia las consecuencias de las decisiones de diseño de una investigación en las interacciones que posteriormente se producen entre investigador y sujeto. Se trabaja sobre el ejemplo de una investigación sobre el aprendizaje de los números reales y su representación en la recta. Dicha investigación se realiza sobre alumnos de primer y segundo curso de bachiller, así como de primer curso de licenciatura en matemáticas. Se decide dividir la investigación en tres estudios. El primero es una análisis preliminar sobre los números reales. El segundo es el trabajo de campo con estudiantes. El último es un análisis de los resultados obtenidos y el historial de decisiones de la investigación. La muestra de sujetos de la investigación consta de varios estudiantes de secundaria y primer curso de licenciatura que no han podido ser elegidos por los investigadores. La fase empírica de la investigación consiste en la proposición de una serie de tests a los alumnos. La primera parte del estudio con alumnos se realiza en el aula. Una vez realizados los test en grupo, se hacen entrevistas individuales en una habitación aparte. Durante dichas entrevistas, la labor del investigador es fundamentalmente dejarle claro al alumno que el test no va a ser evaluado ni tendrá repercusión en su currículum. Se observa que la comunicación con los alumnos logra aumentar la fiabilidad del estudio tranquilizando a los estudiantes.

Una actividad matemática organizada en el marco de los modelos teóricos locales : razón y proporción en la escuela primaria.

Se explica una forma de investigación basada en modelos teóricos locales. Se documenta la aplicación de dicho sistema sobre un caso de investigación de enseñanza de la razón y proporción en alumnos de primaria. El sistema de investigación consiste en la generación de una serie de modelos que reflejan las creencias establecidas sobre la forma en que se produce un fenómeno determinado, en este caso la enseñanza matemática. Con dichos modelos, se formulan varias hipótesis contrastables sobre la manera en que los alumnos aprenden. Posteriormente, se realiza un test de papel y lápiz a un grupo amplio de alumnos. En función de los resultados de dicho test, se escoge una muestra de alumnos que representen los distintos tipos de alumnos que puede haber en el grupo. Con los alumnos seleccionados se realizan entrevistas personalizadas durante las cuales se experimenta la enseñanza de la razón y la proporción. Se recoge detalladamente lo ocurrido durante dichas entrevistas. Basándose en los datos de las entrevistas, se determina la manera en que los estudiantes razonan. A partir de dichas determinaciones, se realiza un nuevo modelo teórico local, que en un futuro servirá como punto de partida para una posterior investigación.

Debate del seminario de investigación I.

Se resume un debate sobre la enseñanza del concepto de proporción en primaria. Se expone que los escolares de primer ciclo son demasiado jóvenes para la resolución correcta de problemas de razón y proporción. Se exponen también varias formas de enseñar el concepto de proporción a través de ejemplos concretos.

Métodos alternativos de investigación en didáctica de las matemáticas : la observación.

Se expone un método de investigación en didáctica de las matemáticas basado en la observación. Dicho método considera la enseñanza una ingeniería. Se considera, por lo tanto, que existe una ciencia ligada a la didáctica de las matemáticas. Se expone la observación como método fundamental para desarrollar la ciencia de la didáctica de las matemáticas. Se indican los problemas más comunes que surgen a la hora de realizar observaciones en didáctica de las matemáticas. En primer lugar se explica que es necesario observar para que los profesores puedan comprender los problemas en su práctica diaria y corregirlos. Se expone que el objeto a observar siempre deben de ser las clases en sí mismas (ya sea en vivo o mediante grabaciones) y nunca entrevistas o cuestionarios realizados aparte. Se explica también que para observar la enseñanza de una manera adecuada es preciso ser objetivo y evitar que los prejuicios del observador enturbien su labor. Se detalla un método de observación basado en análisis. Dicho método consiste en realizar un análisis 'a priori' antes de realizar la observación y otro 'a posteriori' en el que se contrasten las espectativas con los resultados observados. Por último, se explica que la puesta en práctica de dichos métodos por parte de los profesores les ayudaría a aprender a enseñar..

Entrevistas clínicas individuales a escolares de 3 a 6 años : una modelización de las competencias ordinales en educación infantil.

Se presenta una investigación en educación infantil sobre la adquisición de las competencias ordinales. Para dicha investigación se realizan entrevistas personalizadas con los escolares. El método elegido está basado en la realización del análisis cualitativo de un número reducido de sujetos. Dichos escolares son sometidos a entrevistas en las que se les plantea un problema, se observa su reacción y se va reajustando el resto de la entrevista en consecuencia. Se plantea a los niños problemas de conteo, suma y resta. Los problemas de suma y resta se les presenta como secuencias de conteo progresivo y regresivo, según el caso. Se observa que los escolares de menor edad (3-4 años) ofrecen respuestas bastante ambiguas y poco precisas mientras que los mayores (5-6 años) dan soluciones más concretas, resuelvan o no el problema.

Metodología de una investigación sobre métodos de enseñanza de problemas aditivos con números negativos.

Se presenta un método de investigación sobre métodos de enseñanza. Se expone la puesta en práctica de dicho sistema de investigación sobre varios métodos de enseñanza de problemas aditivos. El método de investigación consiste en la división de los alumnos en grupos. A dichos grupos se les asignan distintos métodos de enseñanza. Los métodos de enseñanza estudiados en el ejemplo se denominan 'método redactar' y 'método resolver'. El 'método redactar' consiste en dejar en manos de los alumnos la redacción de los problemas. Una vez redactados, los escolares han de resolver los problemas redactados por sus compañeros. El 'método resolver' se basa en la resolución por parte de los alumnos de una serie de problemas. Dichos problemas están ordenados de manera ascendente según su dificultad. Por ultimo, se contrasta el aprendizaje de ambos grupos con el de los escolares que siguen el currículo normal.