Superfici topologiche compatte e curve algebriche

La tesi affronta la classificazione delle superfici compatte e prive di bordo. Successivamente, si vede un'applicazione del teorema di classificazione alle curve algebriche proiettive complesse, non singolari e irriducibili.

Classificazione delle curve ellittiche viste come curve algebriche piane

Nel presente lavoro è affrontato lo studio delle curve ellittiche viste come curve algebriche piane, più precisamente come cubiche lisce nel piano proiettivo complesso. Dopo aver introdotto nella prima parte le nozioni di Superfici compatte e orientabili e curve algebriche, tramite il teorema di classificazione delle Superfici compatte, se ne fornisce una preliminare classificazione basata sul genere della superficie e della curva, rispettivamente. Da qui, segue la definizione di curve ellittiche e uno studio più dettagliato delle loro pricipali proprietà, quali la possibilità di definirle tramite un'equazione affine nota come equazione di Weierstrass e la loro struttura intrinseca di gruppo abeliano. Si fornisce quindi un'ulteriore classificazione delle cubiche lisce, totalmente differente da quella precedente, che si basa invece sul modulo della cubica, invariante per trasformazioni proiettive. Infine, si considera un aspetto computazionale delle curve ellittiche, ovvero la loro applicazione nel campo della Crittografia. Grazie alla struttura che esse assumono sui campi finiti, sotto opportune ipotesi, i crittosistemi a chiave pubblica basati sul problema del logaritmo discreto definiti sulle curve ellittiche, a parità di sicurezza rispetto ai crittosistemi classici, permettono l'utilizzo di chiavi più corte, e quindi meno costose computazionalmente. Si forniscono quindi le definizioni di problema del logaritmo discreto classico e sulle curve ellittiche, ed alcuni esempi di algoritmi crittografici classici definiti su quest'ultime.

Su alcune curve algebriche piane

Studio dei punti singolari di alcune curve celebri

Molteplicità dell'intersezione di curve algebriche piane

La tesi si prefigge di definire la molteplicità dell’intersezione tra due curve algebriche piane. La trattazione sarà sviluppata in termini algebrici, per mezzo dello studio degli anelli locali. In seguito, saranno discusse alcune proprietà e sarà proposto qualche esempio di calcolo. Nel terzo capitolo, l’interesse volgerà all’intersezione tra una varietà e un’ipersuperficie di uno spazio proiettivo n-dimensionale. Verrà definita un’ulteriore di molteplicità dell’intersezione, che costituirà una generalizzazione di quella menzionata nei primi due capitoli. A partire da questa definizione, sarà possibile enunciare una versione estesa del Teorema di Bezout. L’ultimo capitolo focalizza l’attenzione nuovamente sulle curve piane, con l’intento di studiarne la topologia in un intorno di un punto singolare. Si introduce, in particolare, l’importante nozione di link di un punto singolare.

Il gruppo dei punti razionali sulle curve ellittiche

Il primo capitolo espone nozioni generali sulle varietà e sulle curve algebriche, sulle mappe fra di esse e su alcune proprietà geometriche importanti per caratterizzare le curve ellittiche. Il secondo capitolo propone un'introduzione allo studio geometrico e algebrico di tali curve. Il terzo e il quarto capitolo affrontano lo studio dei punti a coordinate razionali, per curve definite prima su campi locali e poi su campi globali: l'insieme di tali punti è un gruppo. Il risultato fondamentale, contenuto nel teorema di Mordell-Weil, è che tale gruppo è finitamente generato. Tutto il quarto capitolo propone i risultati necessari per la dimostrazione di tale affermazione.

Varietà topologiche compatte di dimensione due

In questa tesi si mostra che la caratteristica di Eulero e l'orientabilità (o non orientabilità) sono invarianti topologici per le superfici compatte e si studia il teorema di classificazione per tali superfici.

Mapping class group e complesso delle curve per superfici di Heegaard

In una 3-varietà chiusa è possibile individuare alcune superfici (dette di Heegaard) tali che, tagliando la 3-varietà lungo una di queste, essa si spezza in due corpi con manici che hanno per bordo tale superficie. La tesi propone alcuni recenti risultati circa l'interazione tra la topologia della 3-varietà, il gruppo di automorfismi delle sue superfici di Heegaard e complessi simpliciali costruiti a partire dalle curve su tali superfici.

Curve e superfici di suddivisione con applicazione alle immagini digitali

Dopo aver definito tutte le proprietà, si classificano gli schemi di suddivisione per curve. Si propongono, quindi, degli schemi univariati per la compressione di segnali e degli schemi bivariati per lo scaling e la compressione di immagini digitali.

Superfici rigate

Intuitivamente una superficie S è rigata se è un'unione di rette o, equivalentemente, se per ogni punto di essa passa una retta che giace interamente sulla superficie. La superficie si dice doppiamente rigata se per ogni suo punto passano due rette della superficie. Gli esempi più comuni e facili da visualizzare sono i piani, i coni e i cilindri. Scopo di questo elaborato è lo studio delle superfici rigate dello spazio affine reale tridimensionale e delle loro proprietà geometriche locali e globali, con particolare attenzione allo studio delle superfici sviluppabili e delle quadriche rigate. Si considereranno poi le rigate nello spazio proiettivo tridimensionale complesso per arrivare ad un risultato classico sulle superfici algebriche rigate luogo delle rette che si appoggiano a tre curve dello spazio. Nonostante le rigate siano tra le superfici più semplici, il loro studio può essere effettuato da diversi punti di vista: quello della geometria analitica elementare, della geometria differenziale e della geometria proiettiva. La proprietà di una superficie di essere rigata o doppiamente rigata si conserva per trasformazioni affini e per trasformazioni proiettive, e questo le ha rese largamente utilizzate in architettura, come mostra l’ampia letteratura al riguardo.

Sviluppo di biosensori: modifiche di superfici elettrodiche e sistemi di immobilizzazione enzimatica

An amperometric glucose biosensor was developed using an anionic clay matrix (LDH) as enzyme support. The enzyme glucose oxidase (GOx) was immobilized on a layered double hydroxide Ni/Al-NO3 LDH during the electrosynthesis, which was followed by crosslinking with glutaraldehyde (GA) vapours or with GA and bovine serum albumin (GABSA) to avoid the enzyme release. The electrochemical reaction was carried out potentiostatically, at -0.9V vs. SCE, using a rotating disc Pt electrode to assure homogeneity of the electrodeposition suspension, containing GOx, Ni(NO3)2 and Al(NO3)3 in 0.3 M KNO3. The mechanism responsible of the LDH electrodeposition involves the precipitation of the LDH due to the increase of pH at the surface of the electrode, following the cathodic reduction of nitrates. The Pt surface modified with the Ni/Al-NO3 LDH shows a much reduced noise, giving rise to a better signal to noise ratio for the currents relative to H2O2 oxidation, and a linear range for H2O2 determination wider than the one observed for bare Pt electrodes. We pointed out the performances of the biosensor in terms of sensitivity to glucose, calculated from the slope of the linear part of the calibration curve for enzimatically produced H2O2; the sensitivity was dependent on parameters related to the electrodeposition in addition to working conditions. In order to optimise the glucose biosensor performances, with a reduced number of experimental runs, we applied an experimental design. A first screening was performed considering the following variables: deposition time (30 - 120 s), enzyme concentration (0.5 - 3.0 mg/mL), Ni/Al molar ratio (3:1 or 2:1) of the electrodeposition solution at a total metals concentration of 0.03 M and pH of the working buffer solution (5.5-7.0). On the basis of the results from this screening, a full factorial design was carried out, taking into account only enzyme concentration and Ni/Al molar ratio of the electrosynthesis solution. A full factorial design was performed to study linear interactions between factors and their quadratic effects and the optimal setup was evaluated by the isoresponse curves. The significant factors were: enzyme concentration (linear and quadratic terms) and the interaction between enzyme concentration and Ni/Al molar ratio. Since the major obstacle for application of amperometric glucose biosensors is the interference signal resulting from other electro-oxidizable species present in the real matrices, such as ascorbate (AA), the use of different permselective membranes on Pt-LDHGOx modified electrode was discussed with the aim of improving biosensor selectivity and stability. Conventional membranes obtained using Nafion, glutaraldehyde (GA) vapours, GA-BSA were tested together with more innovative materials like palladium hexacyanoferrate (PdHCF) and titania hydrogels. Particular attention has been devoted to hydrogels, because they possess some attractive features, which are generally considered to favour biosensor materials biocompatibility and, consequently, the functional enzyme stability. The Pt-LDH-GOx-PdHCF hydrogel biosensor presented an anti-interferant ability so that to be applied for an accurate glucose analysis in blood. To further improve the biosensor selectivity, protective membranes containing horseradish peroxidase (HRP) were also investigated with the aim of oxidising the interferants before they reach the electrode surface. In such a case glucose determination was also accomplished in real matrices with high AA content. Furthermore, the application of a LDH containing nickel in the oxidised state was performed not only as a support for the enzyme, but also as anti-interferant sistem. The result is very promising and it could be the starting point for further applications in the field of amperometric biosensors; the study could be extended to other oxidase enzymes.

Geodetiche su superfici dello spazio euclideo tridimensionale

In questa tesi si studiano le geodetiche sulle superfici dello spazio euclideo tridimensionale. Tali curve, che godono di proprietà analoghe a quelle delle rette nel piano, vengono definite come quelle particolari curve sulle superfici il cui campo dei vettori tangenti e' parallelo, cioè ha derivata covariante nulla. Sulle superfici di rotazione le geodetiche sono tutti i meridiani, i paralleli aventi vettori tangenti paralleli all'asse di rotazione e tutte le curve soddisfacenti la condizione di Clairaut. Dopo aver studiato le geodetiche su alcune superfici significative si introduce la nozione di mappa esponenziale che permetterà di dimostrare le proprietà di minimo locale delle geodetiche.

Geometria e topologia delle superfici

Definizioni e enunciati riguardo al gruppo fondamentale, alle azioni di gruppo, ai rivestimenti, alle varietà topologiche, differenziabili e riemanniane, alle isometrie e ai gruppi discreti di isometrie. Approfondimento riguardo alle superfici connesse, compatte e orientabili con classificazione topologica, definizione di curvatura gaussiana con classificazione delle superfici in base al valore della curvatura, teorema di Killing-Hopf, teorema di uniformizzazione, enunciato del teorema che verrà dimostrato: la sfera è l'unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica, il toro è l'unica piatta, le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Descrizione del piano euclideo con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, teorema di Chasles con dimostrazione, dimostrazione del toro come unica superficie connessa, compatta e orientabile piatta. Descrizione della sfera con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione della semplicità di SO(3), dimostrazione della sfera come unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica. Descrizione di due modelli del piano iperbolico, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione del fatto che le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Definizione di gruppo Fuchsiano e di spazio di Teichmuller.