The Riemann-Hilbert method applied to the theory of orthogonal polynomials

Doutoramento em Matemática

Sistemas integrables discretos, polinomios matriciales ortogonales y problemas de Riemann-Hilbert

El propósito de esta tesis doctoral es el estudio de la conexión, mediante el problema de Riemann-Hilbert, entre sistemas discretos y la teoría de polinomios matriciales ortogonales. La investigación de los modelos integrables se originó en la Mecánica Clásica, en relación a la resolución de las ecuaciones de Newton [2]. Los trabajos de Liouville, Hamilton, Jacobi y otros sentaron las bases de los sistemas integrables como prototipos modelos resolubles por cuadraturas, v.g., por integración directa [7]. Hay una cantidad importante de investigación dedicada a los aspectos geométricos de los sistemas clásicos integrables y superintegrables [66], [82], especialmente en relación a la separación de variables de la ecuación de Hamilton-Jacobi [75]. Fue la aplicación, en la segunda mitad del siglo pasado, de la transformada espectral inversa para la resolución del problema de Cauchy de la ecuación de Korteweg-de Vries [42, 43] la que marcó el inicio de una nueva etapa en este campo, el del estudio de sistemas integrables con un número infinito de grados de libertad, que generalmente se expresan en términos de jerarquías de ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Particularmente reseñable, por su aplicación en la hidrodinámica y en la óptica cuántica, es la aparición de las soluciones a un número de solitones arbitrario. En las últimas tres décadas ha habido un importante interés por el estudio de modelos discretos, v.g., sistemas dinámicos de nidos en un retículo de puntos, y expresados en términos de ecuaciones no lineales en diferencia parciales. Muchas de las técnicas encontradas en el mundo continuo se extendieron a este nuevo contexto discreto. Hay dos razones fundamentales para este interés...

Modelagem e simulação da propagação de ondas em barras não homogêneas envolvendo materiais elásticos não lineares.

O objetivo deste trabalho é tratar da simulação do fenômeno de propagação de ondas em uma haste heterogênea elástico, composta por dois materiais distintos (um linear e um não-linear), cada um deles com a sua própria velocidade de propagação da onda. Na interface entre estes materiais existe uma descontinuidade, um choque estacionário, devido ao salto das propriedades físicas. Empregando uma abordagem na configuração de referência, um sistema não-linear hiperbólico de equações diferenciais parciais, cujas incógnitas são a velocidade e a deformação, descrevendo a resposta dinâmica da haste heterogénea. A solução analítica completa do problema de Riemann associado são apresentados e discutidos.

Um modelo físico-matemático para escoamentos em meios porosos com transição insaturado-saturado.

Neste trabalho é apresentada uma nova modelagem matemática para a descrição do escoamento de um líquido incompressível através de um meio poroso rígido homogêneo e isotrópico, a partir do ponto de vista da Teoria Contínua de Misturas. O fenômeno é tratado como o movimento de uma mistura composta por três constituintes contínuos: o primeiro representando a matriz porosa, o segundo representando o líquido e o terceiro representando um gás de baixíssima densidade. O modelo proposto possibilita uma descrição matemática realista do fenômeno de transição insaturado/saturado a partir de uma combinação entre um sistema de equações diferenciais parciais e uma desigualdade. A desigualdade representa uma limitação geométrica oriunda da incompressibilidade do líquido e da rigidez do meio poroso. Alguns casos particulares são simulados e os resultados comparados com resultados clássicos, mostrando as consequências de não levar em conta as restrições inerentes ao problema.

Uma nova descrição para a transferência de massa em meios porosos com transição saturado-insaturado.

Esse texto trata do problema de um fluido contaminado escoando por um meio poroso, tratando os componentes na mistura como meios contínuos. Na primeira parte, desenvolvemos a teoria de misturas de meios contínuos e discutimos equações da continuidade, momento linear e momento angular. A seguir, descrevemos o problema em detalhe e fazemos hipóteses para simplificar o escoamento. Aplicamos as equações encontradas anteriormente para encontrarmos um sistema de equações diferenciais parciais. Desse ponto em diante, o problema se torna quase puramente matemático. Discutimos o caso insaturado, e depois a saturação do meio poroso. Finalmente, adicionamos um contaminante à mistura e, em seguida, N contaminantes.

Estudo de fluxos numéricos para modelos magneto-hidrodinâmicos utilizando o código Flash

A teoria magneto-hidrodinâmicos permite a estruturação de modelos computacionais, designados modelos MHDs, que são uma extensão da dinâmica dos fluidos para lidar com fluidos eletricamente carregados, tais como os plasmas, em que se precisa considerar os efeitos de forças eletromagnéticas. Tais modelos são especialmente úteis quando o movimento exato de uma partícula não é de interesse, sendo que as equações descrevem as evoluções de quantidades macroscópicas. Várias formas de modelos MHD têm sido amplamente utilizadas na Física Espacial para descrever muitos tipos diferentes de fenômenos de plasma, tais como reconexão magnética e interações de ventos estelares com diferentes objetos celestiais. Neste trabalho, o objetivo é analisar o comportamento de diversos fluxos numéricos em uma discretização de volumes finitos de um modelo numérico de MHD usando um esquema de malha entrelaçada sem separação direcional considerando alguns casos testes. Para as simulações, utiliza-se o código Flash, desenvolvido pela Universidade de Chicago, por ser um código de amplo interesse nas simulações astrofísicas e de fenômenos no espaço próximo à Terra. A metodologia consiste na inclusão de um fluxo numérico, permitindo melhoria com respeito ao esquema HLL.

Modellazione bidimensionale della propagazione nell'entroterra della inondazione da mare negli scenari dei previsti cambiamenti climatici

Le ricerche di carattere eustatico, mareografico, climatico, archeologico e geocronologico, sviluppatesi soprattutto nell’ultimo ventennio, hanno messo in evidenza che gran parte delle piane costiere italiane risulta soggetta al rischio di allagamento per ingressione marina dovuta alla risalita relativa del livello medio del mare. Tale rischio è la conseguenza dell’interazione tra la presenza di elementi antropici e fenomeni di diversa natura, spesso difficilmente discriminabili e quantificabili, caratterizzati da magnitudo e velocità molto diverse tra loro. Tra le cause preponderanti che determinano l’ingressione marina possono essere individuati alcuni fenomeni naturali, climatici e geologici, i quali risultano fortemente influenzati dalle attività umane soprattutto a partire dal XX secolo. Tra questi si individuano: - la risalita del livello del mare, principalmente come conseguenza del superamento dell’ultimo acme glaciale e dello scioglimento delle grandi calotte continentali; - la subsidenza. Vaste porzioni delle piane costiere italiane risultano soggette a fenomeni di subsidenza. In certe zone questa assume proporzioni notevoli: per la fascia costiera emiliano-romagnola si registrano ratei compresi tra 1 e 3 cm/anno. Tale subsidenza è spesso il risultato della sovrapposizione tra fenomeni naturali (neotettonica, costipamento di sedimenti, ecc.) e fenomeni indotti dall’uomo (emungimenti delle falde idriche, sfruttamento di giacimenti metaniferi, escavazione di materiali per l’edilizia, ecc.); - terreni ad elevato contenuto organico: la presenza di depositi fortemente costipabili può causare la depressione del piano di campagna come conseguenza di abbassamenti del livello della falda superficiale (per drenaggi, opere di bonifica, emungimenti), dello sviluppo dei processi di ossidazione e decomposizione nei terreni stessi, del costipamento di questi sotto il proprio peso, della carenza di nuovi apporti solidi conseguente alla diminuita frequenza delle esondazioni dei corsi d’acqua; - morfologia: tra i fattori di rischio rientra l’assetto morfologico della piana e, in particolare il tipo di costa (lidi, spiagge, cordoni dunari in smantellamento, ecc. ), la presenza di aree depresse o comunque vicine al livello del mare (fino a 1-2 m s.l.m.), le caratteristiche dei fondali antistanti (batimetria, profilo trasversale, granulometria dei sedimenti, barre sommerse, assenza di barriere biologiche, ecc.); - stato della linea di costa in termini di processi erosivi dovuti ad attività umane (urbanizzazione del litorale, prelievo inerti, costruzione di barriere, ecc.) o alle dinamiche idro-sedimentarie naturali cui risulta soggetta (correnti litoranee, apporti di materiale, ecc. ). Scopo del presente studio è quello di valutare la probabilità di ingressione del mare nel tratto costiero emiliano-romagnolo del Lido delle Nazioni, la velocità di propagazione del fronte d’onda, facendo riferimento allo schema idraulico del crollo di una diga su letto asciutto (problema di Riemann) basato sul metodo delle caratteristiche, e di modellare la propagazione dell’inondazione nell’entroterra, conseguente all’innalzamento del medio mare . Per simulare tale processo è stato utilizzato il complesso codice di calcolo bidimensionale Mike 21. La fase iniziale di tale lavoro ha comportato la raccolta ed elaborazione mediante sistema Arcgis dei dati LIDAR ed idrografici multibeam , grazie ai quali si è provveduto a ricostruire la topo-batimetria di dettaglio della zona esaminata. Nel primo capitolo è stato sviluppato il problema del cambiamento climatico globale in atto e della conseguente variazione del livello marino che, secondo quanto riportato dall’IPCC nel rapporto del 2007, dovrebbe aumentare al 2100 mediamente tra i 28 ed i 43 cm. Nel secondo e terzo capitolo è stata effettuata un’analisi bibliografica delle metodologie per la modellazione della propagazione delle onde a fronte ripido con particolare attenzione ai fenomeni di breaching delle difese rigide ed ambientali. Sono state studiate le fenomenologie che possono inficiare la stabilità dei rilevati arginali, realizzati sia in corrispondenza dei corsi d’acqua, sia in corrispondenza del mare, a discapito della protezione idraulica del territorio ovvero dell’incolumità fisica dell’uomo e dei territori in cui esso vive e produce. In un rilevato arginale, quale che sia la causa innescante la formazione di breccia, la generazione di un’onda di piena conseguente la rottura è sempre determinata da un’azione erosiva (seepage o overtopping) esercitata dall’acqua sui materiali sciolti costituenti il corpo del rilevato. Perciò gran parte dello studio in materia di brecce arginali è incentrato sulla ricostruzione di siffatti eventi di rottura. Nel quarto capitolo è stata calcolata la probabilità, in 5 anni, di avere un allagamento nella zona di interesse e la velocità di propagazione del fronte d’onda. Inoltre è stata effettuata un’analisi delle condizioni meteo marine attuali (clima ondoso, livelli del mare e correnti) al largo della costa emiliano-romagnola, le cui problematiche e linee di intervento per la difesa sono descritte nel quinto capitolo, con particolare riferimento alla costa ferrarese, oggetto negli ultimi anni di continui interventi antropici. Introdotto il sistema Gis e le sue caratteristiche, si è passati a descrivere le varie fasi che hanno permesso di avere in output il file delle coordinate x, y, z dei punti significativi della costa, indispensabili al fine della simulazione Mike 21, le cui proprietà sono sviluppate nel sesto capitolo.

Três métodos para o cálculo da série zeta(2n) de Riemann

Neste trabalho apresentamos três métodos distintos provando que S(n) = +1 X k=−1 (4k + 1)−n é um múltiplo racional de n para todos os inteiros n = 1, 2, 3, . . . O primeiro utiliza a teoria das função analíticas e funções geradoras. No segundo reduzimos o problema, via mudança de variável devida a E. Calabi, ao cálculo do volume de certos politopos em Rn enquanto que no terceiro usamos a teoria dos operadores integrais compactos. Cada um dos métodos tem um interesse intrínsico e está sujeito a generalizações para aplicações em novas situações.

Teorema de Riemann-Roch, morfismos de Frobenius e a hipótese de Riemann

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Flat connections, geometric invariants and energy of harmonic functions on compact Riemann surfaces

A geometric invariant is associated to the space of fiat connections on a G-bundle over a compact Riemann surface and is related to the energy of harmonic functions.

Riemann shock tube: 1D normal shocks in air, simulations and experiments

This paper presents numerical simulation of the evolution of one-dimensional normal shocks, their propagation, reflection and interaction in air using a single diaphragm Riemann shock tube and validate them using experimental results. Mathematical model is derived for one-dimensional compressible flow of viscous and conducting medium. Dimensionless form of the mathematical model is used to construct space-time finite element processes based on minimization of the space-time residual functional. The space-time local approximation functions for space-time p-version hierarchical finite elements are considered in higher order GRAPHICS] spaces that permit desired order of global differentiability of local approximations in space and time. The resulting algebraic systems from this approach yield unconditionally positive-definite coefficient matrices, hence ensure unique numerical solution. The evolution is computed for a space-time strip corresponding to a time increment Delta t and then time march to obtain the evolution up to any desired value of time. Numerical studies are designed using recently invented hand-driven shock tube (Reddy tube) parameters, high/low side density and pressure values, high- and low-pressure side shock tube lengths, so that numerically computed results can be compared with actual experimental measurements.

El problema del innatismo en Antonio Rosmini : (parte II)

Resumen: Esta parte del artículo repasa las principales teorías modernas sobre el innatismo, analizando sus puntos fuertes y débiles a partir de la teoría rosminiana de la presencia innata de la idea de ser. Se subraya la simplicidad de esta teoría, lo que le confiere un elevado carácter explicativo, en contraste con los dificultades que suscitan las filosofías de Descartes, Locke, Leibniz, Malebranche y Kant.

Gobierno de la ley o gobierno de los hombres? : el problema en Platón y Aristóteles

¿Qué es mejor: el gobierno de la ley o el gobierno de los hombres? La cuestión es, a la vez, política y jurídica. Desde el punto de vista político, consiste en determinar si, en esas raras ocasiones en las que accede al poder un hombre excepcionalmente dotado para la conducción del Estado, conviene o no restringir su libertad de decisión por medio de leyes. Allí donde concurran en el mismo individuo la más alta aptitud política y la personalidad carismática para liderar a sus conciudadanos: ¿debe estar subordinado a la ley o más bien conviene dejar que sea él mismo quien cree la ley mediante su acción ejemplar? En el ámbito jurídico, se presenta una tensión problemática de signo análogo, que ha sido identificada como una “aporía empírica del Derecho”, cuyos términos son los siguientes: o bien organizar la vida social mediante leyes, generales y abstractas, en detrimento de lo singular; o bien dejar librada la última decisión de los asuntos jurídicos a la prudencia de hombres investidos de la autoridad para administrar justicia y resolver las controversias que se produzcan en el marco de la vida social. El problema fue planteado –y resuelto– por primera vez en la historia de las ideas por Platón y Aristóteles. El propósito de este estudio es examinar el tratamiento de la cuestión y las respectivas soluciones, tal como aparecen en las obras de los dos grandes maestros y fundadores de la filosofía política y jurídica occidental. Empero, es menester aclarar que si bien el trabajo trata innegablemente sobre Platón y Aristóteles, no pretende ser una contribución original al conocimiento de su pensamiento. Nuestra aspiración es, más bien, contribuir con el aporte de los dos magnos filósofos griegos al debate actual sobre el gobierno de la ley, el llamado “Rule of Law” o el Estado de Derecho...