Gymnasieelevers uppfattningar om algebra och problemlösning : En undersökning med utgångspunkt i elevernas kön, slutbetyg i grundskolan och val av gymnasieprogram

Syftet med den här uppsatsen är att undersöka elevers uppfattningar om algebra och problemlösning samt granska hur dessa uppfattningar påverkas beroende på elevernas val av gymnasieprogram, kön och slutbetyg i grundskolan. Syftet är vidare att ta reda på vilka eventuella hinder och svårigheter eleverna själva uppfattar då de använder algebra för att lösa matematiska problem. Som metod för att söka svar på syfte och frågeställningar har valts att genomföra en enkätundersökning med elever som går första året på gymnasiet och som läser antingen naturvetenskapsprogrammet eller bygg- och anläggningsprogrammet. Enkätundersökningen består av två delar, en del som undersöker elevers uppfattningar om matematik i allmänhet och algebra och problemlösning i synnerhet, samt en del som försöker reda ut vilka svårigheter eleverna uppfattar då de ska lösa matematiska problem med algebra. Svaren sammanställs genom en analys av vilka eventuella skillnader och likheter som finns beroende på elevernas val av gymnasieprogram, kön och betyg i grundskolan. Resultatet visar på att elever på naturvetenskapsprogrammet som hade MVG i betyg i grundskolan har en mer positiv inställning till algebra och problemlösning i jämförelse med elever från bygg- och anläggningsprogrammet som fått G i betyg. Vad gäller elevernas kön finns det inte några indikationer på att denna faktor har någon större påverkan på deras uppfattningar. Resultatet kan vara en indikation på att elevernas uppfattningar främst påverkas av deras förståelse för det algebraiska tankesättet. Det eleverna upplever som svårast när de ska lösa problem med hjälp av algebra är att översätta den skrivna texten till en algebraisk framställning. När eleverna löser matematiska problem indikerar även resultatet att de till stor del styrs av sina förväntningar och förutfattade föreställningar om uppgiften. Resultatet ger en indikation om att eleverna behöver arbeta mer med problemlösning i olika former för att genom det kunna träna upp sin resonemangsförmåga och sin förmåga att behärska alla de tre faserna, översättning, omskrivning och tolkning, i den algebraiska cykeln.

A graded subring of an inverse limit of polynomial rings

We study the power series ring R= K[[x1,x2,x3,...]]on countably infinitely many variables, over a field K, and two particular K-subalgebras of it: the ring S, which is isomorphic to an inverse limit of the polynomial rings in finitely many variables over K, and the ring R', which is the largest graded subalgebra of R. Of particular interest are the homogeneous, finitely generated ideals in R', among them the generic ideals. The definition of S as an inverse limit yields a set of truncation homomorphisms from S to K[x1,...,xn] which restrict to R'. We have that the truncation of a generic I in R' is a generic ideal in K[x1,...,xn]. It is shown in Initial ideals of Truncated Homogeneous Ideals that the initial ideal of such an ideal converge to the initial ideal of the corresponding ideal in R'. This initial ideal need no longer be finitely generated, but it is always locally finitely generated: this is proved in Gröbner Bases in R'. We show in Reverse lexicographic initial ideals of generic ideals are finitely generated that the initial ideal of a generic ideal in R' is finitely generated. This contrast to the lexicographic term order. If I in R' is a homogeneous, locally finitely generated ideal, and if we write the Hilbert series of the truncated algebras K[x1,...,xn] module the truncation of I as qn(t)/(1-t)n, then we show in Generalized Hilbert Numerators that the qn's converge to a power series in t which we call the generalized Hilbert numerator of the algebra R'/I. In Gröbner bases for non-homogeneous ideals in R' we show that the calculations of Gröbner bases and initial ideals in R' can be done also for some non-homogeneous ideals, namely those which have an associated homogeneous ideal which is locally finitely generated. The fact that S is an inverse limit of polynomial rings, which are naturally endowed with the discrete topology, provides S with a topology which makes it into a complete Hausdorff topological ring. The ring R', with the subspace topology, is dense in R, and the latter ring is the Cauchy completion of the former. In Topological properties of R' we show that with respect to this topology, locally finitely generated ideals in R'are closed.

Begreppens roll vid inlärning av algebra : En litteraturstudie om den roll begrepp och begreppsförmåga spelar vid inlärning av algebra för elever i årskurs 4-6

Svenska elever har presterat dåligt i internationella undersökningar en längre tid när det gäller algebraområdet i matematik. Elevernas begreppsförståelse har pekats ut som en faktor som spelar in i de dåliga resultaten för svenska elever del. Syftet med denna studie har därför varit att ta reda på den roll som begrepp och begreppsförmåga spelar vid inlärning av algebra samt vilken begreppsförståelse elever i årskurs 4-6 har. Genom en systematisk litteraturstudie har frågeställningarna besvarats. Resultaten visar att brister i begreppsförståelse i algebra också leder till brister i kunskap i algebra. Undervisning med fokus på begrepp leder till bättre förståelse för begrepp samtidigt som det även leder till procedurell kunskap. Elever i årskurs 4-6 kan hantera variabler och använda dem i matematiska uttryck. Fördelar med en tidig introduktion av variabelbegreppet är att elever bygger en bättre förståelse för begreppet.

Begreppens roll vid inlärning av algebra : En litteraturstudie om den roll begrepp och begreppsförmåga spelar vid inlärning av algebra för elever i årskurs 4-6

Svenska elever har presterat dåligt i internationella undersökningar en längre tid när det gäller algebraområdet i matematik. Elevernas begreppsförståelse har pekats ut som en faktor som spelar in i de dåliga resultaten för svenska elever del. Syftet med denna studie har därför varit att ta reda på den roll som begrepp och begreppsförmåga spelar vid inlärning av algebra samt vilken begreppsförståelse elever i årskurs 4-6 har. Genom en systematisk litteraturstudie har frågeställningarna besvarats. Resultaten visar att brister i begreppsförståelse i algebra också leder till brister i kunskap i algebra. Undervisning med fokus på begrepp leder till bättre förståelse för begrepp samtidigt som det även leder till procedurell kunskap. Elever i årskurs 4-6 kan hantera variabler och använda dem i matematiska uttryck. Fördelar med en tidig introduktion av variabelbegreppet är att elever bygger en bättre förståelse för begreppet.

Diagnostisering av elever i geometri : En studie med utgångspunkt i van Hieles teori

Detta är en studie som har sin utgångspunkt i Pierre M. van Hieles teori om lärande i geometri, som presenterades 1986 i boken Structure and Insight. Van Hiele har i boken vidareutvecklat sin och Dina van Hiele-Geldofs ursprungliga lärandeteori från 1955. Vår studie har som syfte att se om van Hieles teori går att tillämpa i en individuell, skriftlig diagnos för att nivåbestämma elever i årskurs 1 på gymnasiet.

Förlorad i övergången från aritmetik till algebra : Hur gymnasieelever översätter aritmetik till algebra

The aim of this thesis is to look for signs of students’ understanding of algebra by studying how they make the transition from arithmetic to algebra. Students in an Upper Secondary class on the Natural Science program and Science and Technology program were given a questionnaire with a number of algebraic problems of different levels of difficulty. Especially important for the study was that students leave comments and explanations of how they solved the problems. According to earlier research, transitions are the most critical steps in problem solving. The Algebraic Cycle is a theoretical tool that can be used to make different phases in problem solving visible. To formulate and communicate how the solution was made may lead to students becoming more aware of their thought processes. This may contribute to students gaining more understanding of the different phases involved in mathematical problem solving, and to students becoming more successful in mathematics in general.The study showed that the students could solve mathematical problems correctly, but that they in just over 50% of the cases, did not give any explanations to their solutions.

Geometriundervisning enligt Van Hieles utvecklingsnivåer : En kvalitativ studie om överensstämmelsen mellan lärares planering, genomförande och uppfattning av geometriundervisning i årskurs 3

Denna studie har undersökt överensstämmelsen mellan lärares planering, genomförande och uppfattning av geometriundervisning i årskurs 3. Bakgrunden till undersökningen är att elever i årskurs 4 uppvisar låga resultat i geometri. Bakgrunden är även att lärare som fokuserar på kommunikation, samarbete och utmaningar i geometriundervisningen kan se till att elever får arbeta med annat än enskilt räknande av rutinuppgifter, något som studier efterfrågar. Utifrån detta behövs en studie som undersöker lärares geometriundervisning närmare, gärna ur flera perspektiv. I denna studie samlades data om två lärares geometriundervisning in genom observationer, intervjuer och innehållsanalyser. Dataanalysen har utgått från Van Hieles utvecklingsnivåer. Resultatet visar att lärarna föredrar en balans mellan enskilt arbete med rutinuppgifter och alternativ till detta men har ett omedvetet fokus på olika geometriska aspekter vid varje stadie som tillhör undervisningen (planering, genomförande, uppfattning). Konsekvenserna blir exempelvis att en Van Hiele-nivå som ska bearbetas enligt planering inte alls berörs i genomförandet av lektionen, samt att nivåer hoppas över. Det finns även utmaningar i att skapa balans mellan matematik och aktivitet samt en avsaknad av geometriskt innehåll i en del läroböcker. Elever i årskurs 4 kanske har låga resultat i geometri för att nivåer av geometrilärande hoppas över i undervisningen?

Components of learning and assessment in linear algebra

Linear algebra provides theory and technology that are the cornerstones of a range of cutting edge mathematical applications, from designing computer games to complex industrial problems, as well as more traditional applications in statistics and mathematical modelling. Once past introductions to matrices and vectors, the challenges of balancing theory, applications and computational work across mathematical and statistical topics and problems are considerable, particularly given the diversity of abilities and interests in typical cohorts. This paper considers two such cohorts in a second level linear algebra course in different years. The course objectives and materials were almost the same, but some changes were made in the assessment package. In addition to considering effects of these changes, the links with achievement in first year courses are analysed, together with achievement in a following computational mathematics course. Some results that may initially appear surprising provide insight into the components of student learning in linear algebra.