Le funzioni wavelet nelle applicazioni scientifiche

Le wavelet sono una nuova famiglia di funzioni matematiche che permettono di decomporre una data funzione nelle sue diverse componenti in frequenza. Esse combinano le proprietà dell’ortogonalità, il supporto compatto, la localizzazione in tempo e frequenza e algoritmi veloci. Sono considerate, perciò, uno strumento versatile sia per il contenuto matematico, sia per le applicazioni. Nell’ultimo decennio si sono diffuse e imposte come uno degli strumenti migliori nell’analisi dei segnali, a fianco, o addirittura come sostitute, dei metodi di Fourier. Si parte dalla nascita di esse (1807) attribuita a J. Fourier, si considera la wavelet di A. Haar (1909) per poi incentrare l’attenzione sugli anni ’80, in cui J. Morlet e A. Grossmann definiscono compiutamente le wavelet nel campo della fisica quantistica. Altri matematici e scienziati, nel corso del Novecento, danno il loro contributo a questo tipo di funzioni matematiche. Tra tutti emerge il lavoro (1987) della matematica e fisica belga, I. Daubechies, che propone le wavelet a supporto compatto, considerate la pietra miliare delle applicazioni wavelet moderne. Dopo una trattazione matematica delle wavalet, dei relativi algoritmi e del confronto con il metodo di Fourier, si passano in rassegna le principali applicazioni di esse nei vari campi: compressione delle impronte digitali, compressione delle immagini, medicina, finanza, astonomia, ecc. . . . Si riserva maggiore attenzione ed approfondimento alle applicazioni delle wavelet in campo sonoro, relativamente alla compressione audio, alla rimozione del rumore e alle tecniche di rappresentazione del segnale. In conclusione si accenna ai possibili sviluppi e impieghi delle wavelet nel futuro.

Il dibattito sull'essenza della matematica. Scienza della natura o libera invenzione della mente umana?

Questa dissertazione si concentra sul dibattito circa l’essenza della matematica a partire dalla nascita delle geometrie non euclidee. Essa è una scienza della natura o una costruzione (e dunque una libera invenzione) della mente umana? Trattando altresì della crisi dei fondamenti, e tenendo a mente le posizioni platoniste e costruttiviste, questa tesi analizza le risposte che, da fine Ottocento in poi, diedero Jules-Henri Poincaré, Bertrand Russell, L.E.J. Brouwer e David Hilbert, e con loro le varie correnti convenzionaliste, logiciste, intuizioniste e formaliste.

Knot theory and its applications

Nella tesi verranno presi in considerazione tre aspetti: si descriverà come la teoria dei nodi si sia sviluppata nel corso degli anni in relazione alle diverse scoperte scientifiche avvenute. Si potrà quindi subito avere una idea di come questa teoria sia estremamente connessa a diverse altre. Nel secondo capitolo ci si occuperà degli aspetti più formali di questa teoria. Si introdurrà il concetto di nodi equivalenti e di invariante dei nodi. Si definiranno diversi invarianti, dai più elementari, le mosse di Reidemeister, il numero di incroci e la tricolorabilità, fino ai polinomi invarianti, tra cui il polinomio di Alexander, il polinomio di Jones e quello di Kaufman. Infine si spiegheranno alcune applicazioni della teoria dei nodi in chimica, fisica e biologia. Sulla chimica, si definirà la chiralità molecolare e si mostrerà come la chiralità dei nodi possa essere utile nel determinare quella molecolare. In campo fisico, si mostrerà la relazione che esiste tra l'equazione di Yang-Baxter e i nodi. E in conclusione si mostrerà come modellare un importante processo biologico, la recombinazione del DNA, grazie alla teoria dei nodi.

Matematica tra arte e musica: un progetto didattico

L'intento della tesi è realizzare un'unità didattica rivolta ad una classe di terza media, incentrata sullo studio della simmetria, partendo dall'osservazione delle arti decorative, nella fattispecie dei fregi, fino ad approdare all'analisi di particolari composizioni musicali. Nel primo capitolo ci proponiamo di classificare i \textit{gruppi dei fregi}, ovvero i sottogruppi discreti dell'insieme delle isometrie del piano euclideo in cui le traslazioni formano un sottogruppo ciclico infinito. Nel secondo capitolo trasferiremo i concetti introdotti nel primo capitolo dal piano euclideo a quello musicale. Nel terzo capitolo troveremo la descrizione della proposta didattica costruita sulla base dei contenuti raccolti nei primi due capitoli. Tale laboratorio è stato ideato nel tentativo di assolvere un triplice compito: fornire uno strumento in più per lo studio matematico delle isometrie e delle simmetrie, mostrare in che modo un processo fisico come la musica può essere rappresentato sul piano cartesiano come funzione del tempo, offrendo un primo assaggio di ciò che molti ragazzi dovranno affrontare nel prosieguo dei loro studi e infine introdurre lo studente ad un approccio più critico e ``scientifico'' all’arte in generale, e in particolare alla musica.

Progettazione e sviluppo di un sistema esperto per il "Menu Planning"

La dieta, nell’antica medicina greca, rappresentava il complesso delle norme di vita, come l’alimentazione, l’attività fisica, il riposo, atte a mantenere lo stato di salute di una persona. Al giorno d’oggi le si attribuisce un significato fortemente legato all’alimentazione, puo` riferirsi al complesso di cibi che una persona mangia abitualmente oppure, con un messaggio un po' più moderno, ad una prescrizione di un regime alimentare da parte di un medico. Ogni essere umano mangia almeno tre volte al giorno, ognuno in base al proprio stile di vita, cultura, età, etc. possiede differenti abitudini alimentari che si ripercuotono sul proprio stato di salute. Inconsciamente tutti tengono traccia degli alimenti mangiati nei giorni precedenti, chi più chi meno, cercando di creare quindi una pianificazione di cosa mangiare nei giorni successivi, in modo da variare i pasti o semplicemente perchè si segue un regime alimentare particolare per un certo periodo. Diventa quindi fondamentale tracciare questa pianificazione, in tal modo si puo' tenere sotto controllo la propria alimentazione, che è in stretta relazione con il proprio stato di salute e stress, e si possono applicare una serie di aggiustamenti dove necessario. Questo è quello che cerca di fare il “Menu Planning”, offrire una sorta di guida all’alimentazione, permettendo così di aver sotto controllo tutti gli aspetti legati ad essa. Si pensi, ad esempio, ai prezzi degli alimenti, chiunque vorrebbe minimizzare la spesa, mangiare quello che gli piace senza dover per forza rinunciare a quale piccolo vizio quotidiano. Con le tecniche di “Menu Planning” è possibile avere una visione di insieme della propria alimentazione. La prima formulazione matematica del “Menu Planning” (allora chiamato diet problem) nacque durante gli anni ’40, l’esercito Americano allora impegnano nella Seconda Guerra Mondiale voleva abbassare i costi degli alimenti ai soldati mantenendo però inalterata la loro dieta. George Stingler, economista americano, trovò una soluzione, formulando un problema di ottimizzazione e vincendo il premio Nobel in Economia nel 1982. Questo elaborato tratta dell’automatizzazione di questo problema e di come esso possa essere risolto con un calcolatore, facendo soprattutto riferimento a particolari tecniche di intelligenza artificiale e di rappresentazione della conoscenza, nello specifico il lavoro si è concentrato sulla progettazione e sviluppo di un ES case-based per risolvere il problema del “Menu Planning”. Verranno mostrate varie tecniche per la rappresentazione della conoscenza e come esse possano essere utilizzate per fornire supporto ad un programma per elaboratore, partendo dalla Logica Proposizionale e del Primo Ordine, fino ad arrivare ai linguaggi di Description Logic e Programmazione Logica. Inoltre si illustrerà come è possibile raccogliere una serie di informazioni mediante procedimenti di Knowledge Engineering. A livello concettuale è stata introdotta un’architettura che mette in comunicazione l’ES e un Ontologia di alimenti con l’utilizzo di opportuni framework di sviluppo. L’idea è quella di offrire all’utente la possibilità di vedere la propria pianificazione settimanale di pasti e dare dei suggerimenti su che cibi possa mangiare durante l’arco della giornata. Si mostreranno quindi le potenzialità di tale architettura e come essa, tramite Java, riesca a far interagire ES case-based e Ontologia degli alimenti.

I risultati italiani e ticinesi nelle prove di Matematica Ocse-Pisa a confronto

Perchè, nelle competenze di matematica, i risultati riportati dagli studenti della Svizzera Italiana sono migliori di quelli dell'Italia? Domanda interessante in quanto nei due Paesi confinanti si utilizza la stessa lingua e in più molti italiani, lasciano l'Italia per trasferirsi in Ticino, una realtà quindi con cui l'Italia si confronta. Vengono presi in considerazione vari aspetti per cercare di dare una risposta.

Le valutazioni esterne degli apprendimenti in matematica: un confronto tra Italia e Svizzera italiana

Questa tesi ha lo scopo di confrontare le valutazioni esterne che il nostro Paese e la Svizzera italiana (Canton Ticino) mettono in atto nell'arco del segmento secondario di primo grado dell'istruzione. Allo scopo sono state analizzate parallelamente le prove Invalsi e le Prove Cantonali svizzere. Dallo studio dei risultati degli allievi, italiani e svizzeri, ho cercato di capire a cosa sono dovutele differenze che si sono evidenziate. Si è condotta così una somministrazione incrociata: la Prova Cantonale è stata somministrata in alcune classi seconde e terze italiane e la Prova Nazionale Invalsi in alcune classi terze ticinesi. I dati sono poi stati raccolti ed elaborati in una semplice analisi statistica e didattica. Ho intervistato gli insegnanti italiani e ticinesi per capire come vengono viste e utilizzate le prove di valutazione esterna, quanto peso hanno nella vita scolastica e se vengono sfruttate come strumenti di indagine quali sono. Tutto questo affinchè i dati e le osservazioni raccolti possano orientare possibili miglioramenti futuri del processo di insegnamento-apprendimento della matematica nell'allievo.