La investigación del aprendizaje de la geometría en la educación primaria.

Se dan una serie de pautas para la realización de investigaciones en educación. Se hace especial hincapié en las investigaciones en enseñanza de la geometría en primaria. Para llegar a dichas pautas, se expone la naturaleza de cada uno de los elementos presentes en una situación de enseñanza y/o de investigación de la enseñanza. Estos son, a saber: Alumnos, futuros profesores, profesores e investigadores. En el análisis de dichos elementos se explica la importancia del entendimiento de todos ellos como complejos seres desde el punto de vista psicológico. Se explica que a consecuencia de la complejidad psicológica tanto de los alumnos como de los maestros son fundamentales la comunicación y la empatía en la investigación en educación. Se sostiene por lo tanto que el investigador debe de dedicar la mayor parte de su tiempo a comprender a las personas implicadas para así poder llegar a conclusiones útiles.

Investigación en educación geométrica : ciertas cuestiones pendientes.

Se realiza una comparativa de otros trabajos expuestos anteriormente en el III simposio del SEIEM. Los trabajos elegidos son 'La geometría en la formación inicial de profesores de Primaria' de Enrique de la Torre, 'La investigación en el aprendizaje de la geometría en la Educación Primaria' de María Lluïsa Fiol y 'Un entorno de aprendizaje interactivo para la enseñanza de la geometría en la ESO : Actividades con CABRI' de Jesús Murillo. La comparativa comienza con un análisis de la orientación y tipología de cada uno de los trabajos. Se aprecia aquí que los trabajos de Fiol y De la Torre son ensayos dirigidos a la enseñanza e investigación en educación matemática en primaria mientras que el de Murillo es un informe de las innovaciones tecnológicas y su aplicación a la enseñanza de las matemáticas en secundaria. Se desprende del análisis de estos trabajos el enfoque constructivista de los mismos. Esto quiere decir que no se centran en buscar métodos concretos de enseñanza o investigación sino que tratan de orientar a maestros e investigadores para que encuentren la mejor forma de realizar su labor. Se aprecia también la importancia dada en los trabajos a la instrucción frente a la acumulación de habilidades. Se entiende por instrucción la maduración en el alumno de la capacidad de aprender por sí mismo. De esta manera, se expone que el mayor y fundamental objetivo de la enseñanza es 'enseñar a aprender' antes que dotar de muchas habilidades. Por último, se expone que a consecuencia de todo lo anterior la formación de los educadores debe centrarse en la capacidad de enseñanza independientemente de la materia a tratar.

Marcos teóricos y metodológicos para la investigación en educación matemática creando espacios de comunicación.

Se exponen las bases para la creación de un marco común de investigación en educación matemática mencionando la importancia de poner en común los distintos métodos de investigación y la necesaria diversidad de éstos a consecuencia de la propia diversidad de las materias investigadas. Se exponen cuatro puntos a partir de los cuales comenzar el debate sobre el contenido del marco metodológico. El primer punto es la identificación de una temática en cuya parte del diseño de la investigación se deben exponer los datos previamente conocidos: objetivos de la investigación, hipótesis realizadas, objetos de estudio, etc. El segundo es el planteamiento de las distintas cuestiones que surgen del conflicto entre los distintos métodos de investigación existentes. En tercer lugar se escuchan los planteamientos de los presentes para comenzar a dar forma a las respuestas a las preguntas planteadas. Por último se realiza un debate utilizando toda la información anteriormente expuesta.

Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico-antropológico para la investigación en didáctica de las matemáticas.

Se describe la estructura para una nueva forma de investigación. Se establecen las pautas para diseñar nuevas investigaciones así como metodologías para la investigación en educación matemática. Se describen tres campos imprescindibles en la investigación: caracterización de nuevos conceptos, interacción entre ellos y evolución hacia otros nuevos. Se expone por último la importancia de dar criterios que legitimen los resultados de las investigaciones y la relación entre los datos concretos observados y los problemas teóricos planteados.

Aproximación a un marco teórico y metodológico específico para la investigación en educación matemática.

Se expone un marco para la investigación en educación matemática. Se exponen en primer lugar los problemas por los que éste es necesario. Se explica que los métodos de investigación están muy fragmentados. Esto se debe a una fuerte separación entre los seguidores de los distintos métodos de investigación. Se expone que los desarrolladores de cada método se centran fundamentalmente en aquello que diferencia su método de los demás y tratan de mostrarlo como algo totalmente independiente e incompatible con el resto de métodos. Se expresa la necesidad de la unificación de los distintos métodos haciendo hincapié en el parecido entre ellos. Se enumeran varias tareas importantes a realizar en toda investigación en educación matemática. La primera es definir con precisión el tema a investigar. A continuación se aconseja valorar la importancia de cada uno de los datos a recoger en la investigación. Se aconseja también revisar el mayor número posible de estudios e investigaciones existentes.

Perspectivas de investigación en pensamiento numérico.

Se explican el funcionamiento y la composición del grupo de investigación 'Pensamiento numérico'. Se expone que fue creado en el año 1988 para impulsar en España y América Latina la investigación en educación matemática. Se explica que el ámbito de las investigaciones se ciñe a las comunidades de habla hispana. Se mencionan también los distintos temas que investiga (cognición numérica, procesos infinitos,...) y algunas de las investigaciones llevadas a cabo por el grupo.

Perspectivas de investigación en pensamiento algebraico.

Se exponen los resultados de las investigaciones del grupo 'Investigación en pensamiento numérico y algebraico' así como análisis de trabajos anteriores al grupo. Se presentan en varios apartados correspondientes a los enfoques desde la psicología cognitiva, el lenguaje, las nuevas tecnologías (ordenadores y calculadoras), histórico-epistemológicas y de la enseñanza. Del enfoque de la psicología cognitiva desprende que los alumnos por norma general tratan de hallar soluciones concretas sin comprender bien el método o algoritmo que están utilizando para hallarlas. Desde el punto de vista del lenguaje se observa que las investigaciones divergen mucho en métodos debido a que siguen distintas corrientes psicolingüísticas. El enfoque de las nuevas tecnologías desprende una gran capacidad de los alumnos para adaptarse a los entornos informáticos así como la utilidad de estos para remarcar a los alumnos los conceptos algebraicos básicos (variable, función,...). El análisis histórico-epistemológico muestra que los alumnos siguen en su aprendizaje un desarrollo paralelo al del propio conocimiento numérico y algebraico a lo largo de la historia. En dicho desarrollo primero se entiende el funcionamiento de los números, más tarde las operaciones entre ellos y por último la manipulación simbólica con letras propia del álgebra. Desde el punto de vista de la enseñanza se encuentra que cada sistema educativo tiene sus peculiaridades. Esto se traduce en que algunos se centran en mostrar el álgebra como una herramienta para resolver los problemas (de manera que el alumno tiene que entenderla y decidir cuando le conviene usarla) mientras que otros la consideran el objetivo educativo en sí, centrándose en enseñar a los alumnos como resolver expresiones algebraicas.

Perspectivas de investigación en didáctica de las matemáticas : investigación en didáctica del análisis.

Se realiza un resumen de la investigación en didáctica del análisis matemático. Paralelamente, se explica la evolución de la concepción en la comunidad matemática de los conceptos considerados clave en la enseñanza de las matemáticas avanzadas. Se expresa una evolución a lo largo de los años hacia un modelo de enseñanza basado en la compresión intuitiva del concepto de límite. Se muestra también una progresiva delegación en las calculadoras de la parte algebraica de la resolución de problemas. Se observa una mejora en los resultados de los estudiantes que aprenden cálculo apoyándose en el uso de calculadoras. Por último, se realiza una enumeración de las investigaciones en didáctica del análisis en curso en España.

Estrategias de investigación cuando los marcos teóricos existentes no son útiles.

Se explica la existencia de alternativas para investigaciones en lo referente a los marcos teóricos. Se expone la posibilidad de utilizar el marco teórico de otro investigador o de crear uno propio. Se comentan ventajas y desventajas de ambas posibilidades. Se expresa la posibilidad de crear un marco teórico modificando uno existente con anterioridad. Se muestran dos ejemplos de investigaciones en las que ha sido necesaria la construcción o modificación de un marco teórico. En la primera se partía de un marco teórico en el que se entiende el progreso académico de los alumnos como una sucesión de 'niveles' de conocimiento. Una vez establecidos un grupo de 'niveles' o estadíos del aprendizaje para un temario concreto, se entiende que el alumno va pasando sucesivamente de uno a otro. Se entiende que para cada alumno los niveles son excluyentes y consecutivos. A lo largo de la investigación, se observa que hay alumnos que están en dos niveles consecutivos a la vez. Se modifica el marco teórico preexistente para incluir la posibilidad de la existencia de un estado 'de transición' entre niveles de aprendizaje. El segundo ejemplo muestra como pueden refundirse varios marcos teóricos en otro más completo. Se describe una investigación sobre los tipos de demostraciones matemáticas realizadas por los alumnos. Se explica en primer lugar un marco teórico preexistente que contempla varios tipos de demostraciones (basadas en ejemplos, deductivas, basadas en la comprensión del problema,...). Se explica la existencia de otro marco teórico igualmente rico que contempla la otro tipos de demostraciones. Por último, se genera un nuevo marco teórico que integra las demostraciones de ambos marcos.

Análisis de datos e investigación en didáctica de la matemática : una aproximación desde la teoría de situaciones.

Se trata la teoría de situaciones. El documento tiene dos partes. En la primera se explica de manera abstracta la Teoría de Situaciones y la manera en que el análisis de datos se le puede aplicar. En la segunda parte se muestra un ejemplo práctico de lo explicado. Se muestran para ello varias formas distintas en las que el análisis de datos puede servir a una investigación en didáctica de las matemáticas. Para llevar a cabo todo esto se aplican conceptos de la ingeniería didáctica y la Teoría de Situaciones.

Cuestiones metodológicas en la investigación educativa.

Se reflexiona sobre los métodos a seguir en las investigaciones en educación matemática. Se realiza una breve explicación de la estructura que debe tener el estudio teórico previo a una investigación. Se reflexiona sobre la importancia de definir bien el problema y los métodos a usar en la investigación. Se expone como ejemplo de investigación la de Vallecillos (1994). En dicha investigación se usó un método estadístico combinado con entrevistas semiestructuradas. El método estadístico arroja resultados muy útiles, mostrando los puntos flacos de la comprensión de la estadística en los estudiantes. Las entrevistas confirman posteriormente estos resultados. Se concluye que el método estadístico es muy útil para la investigación en didáctica de las matemáticas pero que debe de ser aplicado con sumo cuidado. Esto último se debe a que un método no sirve de nada sin una buena definición del problema, de las herramientas y de la interpretación a dar a los datos en una investigación.

Investigación en el aula : las decisiones condicionan las interacciones.

Se estudia las consecuencias de las decisiones de diseño de una investigación en las interacciones que posteriormente se producen entre investigador y sujeto. Se trabaja sobre el ejemplo de una investigación sobre el aprendizaje de los números reales y su representación en la recta. Dicha investigación se realiza sobre alumnos de primer y segundo curso de bachiller, así como de primer curso de licenciatura en matemáticas. Se decide dividir la investigación en tres estudios. El primero es una análisis preliminar sobre los números reales. El segundo es el trabajo de campo con estudiantes. El último es un análisis de los resultados obtenidos y el historial de decisiones de la investigación. La muestra de sujetos de la investigación consta de varios estudiantes de secundaria y primer curso de licenciatura que no han podido ser elegidos por los investigadores. La fase empírica de la investigación consiste en la proposición de una serie de tests a los alumnos. La primera parte del estudio con alumnos se realiza en el aula. Una vez realizados los test en grupo, se hacen entrevistas individuales en una habitación aparte. Durante dichas entrevistas, la labor del investigador es fundamentalmente dejarle claro al alumno que el test no va a ser evaluado ni tendrá repercusión en su currículum. Se observa que la comunicación con los alumnos logra aumentar la fiabilidad del estudio tranquilizando a los estudiantes.

Debate del seminario de investigación I.

Se resume un debate sobre la enseñanza del concepto de proporción en primaria. Se expone que los escolares de primer ciclo son demasiado jóvenes para la resolución correcta de problemas de razón y proporción. Se exponen también varias formas de enseñar el concepto de proporción a través de ejemplos concretos.

Métodos alternativos de investigación en didáctica de las matemáticas : la observación.

Se expone un método de investigación en didáctica de las matemáticas basado en la observación. Dicho método considera la enseñanza una ingeniería. Se considera, por lo tanto, que existe una ciencia ligada a la didáctica de las matemáticas. Se expone la observación como método fundamental para desarrollar la ciencia de la didáctica de las matemáticas. Se indican los problemas más comunes que surgen a la hora de realizar observaciones en didáctica de las matemáticas. En primer lugar se explica que es necesario observar para que los profesores puedan comprender los problemas en su práctica diaria y corregirlos. Se expone que el objeto a observar siempre deben de ser las clases en sí mismas (ya sea en vivo o mediante grabaciones) y nunca entrevistas o cuestionarios realizados aparte. Se explica también que para observar la enseñanza de una manera adecuada es preciso ser objetivo y evitar que los prejuicios del observador enturbien su labor. Se detalla un método de observación basado en análisis. Dicho método consiste en realizar un análisis 'a priori' antes de realizar la observación y otro 'a posteriori' en el que se contrasten las espectativas con los resultados observados. Por último, se explica que la puesta en práctica de dichos métodos por parte de los profesores les ayudaría a aprender a enseñar..

Metodología de una investigación sobre métodos de enseñanza de problemas aditivos con números negativos.

Se presenta un método de investigación sobre métodos de enseñanza. Se expone la puesta en práctica de dicho sistema de investigación sobre varios métodos de enseñanza de problemas aditivos. El método de investigación consiste en la división de los alumnos en grupos. A dichos grupos se les asignan distintos métodos de enseñanza. Los métodos de enseñanza estudiados en el ejemplo se denominan 'método redactar' y 'método resolver'. El 'método redactar' consiste en dejar en manos de los alumnos la redacción de los problemas. Una vez redactados, los escolares han de resolver los problemas redactados por sus compañeros. El 'método resolver' se basa en la resolución por parte de los alumnos de una serie de problemas. Dichos problemas están ordenados de manera ascendente según su dificultad. Por ultimo, se contrasta el aprendizaje de ambos grupos con el de los escolares que siguen el currículo normal.