Regularity of solutions of the p-Laplace equation in the Heisenberg group

tbd

Mutually catalytic branching at infinite rate

The purpose of this doctoral thesis is to prove existence for a mutually catalytic random walk with infinite branching rate on countably many sites. The process is defined as a weak limit of an approximating family of processes. An approximating process is constructed by adding jumps to a deterministic migration on an equidistant time grid. As law of jumps we need to choose the invariant probability measure of the mutually catalytic random walk with a finite branching rate in the recurrent regime. This model was introduced by Dawson and Perkins (1998) and this thesis relies heavily on their work. Due to the properties of this invariant distribution, which is in fact the exit distribution of planar Brownian motion from the first quadrant, it is possible to establish a martingale problem for the weak limit of any convergent sequence of approximating processes. We can prove a duality relation for the solution to the mentioned martingale problem, which goes back to Mytnik (1996) in the case of finite rate branching, and this duality gives rise to weak uniqueness for the solution to the martingale problem. Using standard arguments we can show that this solution is in fact a Feller process and it has the strong Markov property. For the case of only one site we prove that the model we have constructed is the limit of finite rate mutually catalytic branching processes as the branching rate approaches infinity. Therefore, it seems naturalto refer to the above model as an infinite rate branching process. However, a result for convergence on infinitely many sites remains open.

An infinite level atom coupled to a heat bath

Wir untersuchen die Mathematik endlicher, an ein Wärmebad gekoppelter Teilchensysteme. Das Standard-Modell der Quantenelektrodynamik für Temperatur Null liefert einen Hamilton-Operator H, der die Energie von Teilchen beschreibt, welche mit Photonen wechselwirken. Im Heisenbergbild ist die Zeitevolution des physikalischen Systems durch die Wirkung einer Ein-Parameter-Gruppe auf eine Menge von Observablen A gegeben: Diese steht im Zusammenhang mit der Lösung der Schrödinger-Gleichung für H. Um Zustände von A, welche das physikalische System in der Nähe des thermischen Gleichgewichts zur Temperatur T darstellen, zu beschreiben, folgen wir dem Ansatz von Jaksic und Pillet, eine Darstellung von A zu konstruieren. Die Vektoren in dieser Darstellung definieren die Zustände, die Zeitentwicklung wird mit Hilfe des Standard Liouville-Operators L beschrieben. In dieser Doktorarbeit werden folgende Resultate bewiesen bzw. hergeleitet: - die Konstuktion einer Darstellung - die Selbstadjungiertheit des Standard Liouville-Operators - die Existenz eines Gleichgewichtszustandes in dieser Darstellung - der Limes des physikalischen Systems für große Zeiten.

Algebraische Zyklen auf abelschen Varietäten der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ (1,2,2,2)

Diese Arbeit besch"aftigt sich mit algebraischen Zyklen auf komplexen abelschen Variet"aten der Dimension 4. Ziel der Arbeit ist ein nicht-triviales Element in $Griff^{3,2}(A^4)$ zu konstruieren. Hier bezeichnet $A^4$ die emph{generische} abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$. Die ersten drei Kapitel sind eine Wiederholung von elementaren Definitionen und Begriffen und daher eine Festlegung der Notation. In diesen erinnern wir an elementare Eigenschaften der von Saito definierten Filtrierungen $F_S$ und $Z$ auf den Chowgruppen (vgl. cite{Sa0} und cite{Sa}). Wir wiederholen auch eine Beziehung zwischen der $F_S$-Filtrierung und der Zerlegung von Beauville der Chowgruppen (vgl. cite{Be2} und cite{DeMu}), welche aus cite{Mu} stammt. Die wichtigsten Begriffe in diesem Teil sind die emph{h"ohere Griffiths' Gruppen} und die emph{infinitesimalen Invarianten h"oherer Ordnung}. Dann besch"aftigen wir uns mit emph{verallgemeinerten Prym-Variet"aten} bez"uglich $(2:1)$ "Uberlagerungen von Kurven. Wir geben ihre Konstruktion und wichtige geometrische Eigenschaften und berechnen den Typ ihrer Polarisierung. Kapitel ref{p-moduli} enth"alt ein Resultat aus cite{BCV} "uber die Dominanz der Abbildung $p(3,2):mathcal R(3,2)longrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$. Dieses Resultat ist von Relevanz f"ur uns, weil es besagt, dass die generische abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$ eine verallgemeinerte Prym-Variet"at bez"uglich eine $(2:1)$ "Uberlagerung einer Kurve vom Geschlecht $7$ "uber eine Kurve vom Geschlecht $3$ ist. Der zweite Teil der Dissertation ist die eigentliche Arbeit und ist auf folgende Weise strukturiert: Kapitel ref{Deg} enth"alt die Konstruktion der Degeneration von $A^4$. Das bedeutet, dass wir in diesem Kapitel eine Familie $Xlongrightarrow S$ von verallgemeinerten Prym-Variet"aten konstruieren, sodass die klassifizierende Abbildung $Slongrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$ dominant ist. Desweiteren wird ein relativer Zykel $Y/S$ auf $X/S$ konstruiert zusammen mit einer Untervariet"at $Tsubset S$, sodass wir eine explizite Beschreibung der Einbettung $Yvert _Thookrightarrow Xvert _T$ angeben k"onnen. Das letzte und wichtigste Kapitel enth"ahlt Folgendes: Wir beweisen dass, die emph{ infinitesimale Invariante zweiter Ordnung} $delta _2(alpha)$ von $alpha$ nicht trivial ist. Hier bezeichnet $alpha$ die Komponente von $Y$ in $Ch^3_{(2)}(X/S)$ unter der Beauville-Zerlegung. Damit und mit Hilfe der Ergebnissen aus Kapitel ref{Cohm} k"onnen wir zeigen, dass [ 0neq [alpha ] in Griff ^{3,2}(X/S) . ] Wir k"onnen diese Aussage verfeinern und zeigen (vgl. Theorem ref{a4}) begin{theorem}label{maintheorem} F"ur $sin S$ generisch gilt [ 0neq [alpha _s ]in Griff ^{3,2}(A^4) , ] wobei $A^4$ die generische abelsche Variet"at der Dimension $4$ mit Polarisierung vom Typ $(1,2,2,2)$ ist. end{theorem}

Effect of mixing, particle interaction, and spatial dimension on the glass transition

In this thesis, the influence of composition changes on the glass transition behavior of binary liquids in two and three spatial dimensions (2D/3D) is studied in the framework of mode-coupling theory (MCT).The well-established MCT equations are generalized to isotropic and homogeneous multicomponent liquids in arbitrary spatial dimensions. Furthermore, a new method is introduced which allows a fast and precise determination of special properties of glass transition lines. The new equations are then applied to the following model systems: binary mixtures of hard disks/spheres in 2D/3D, binary mixtures of dipolar point particles in 2D, and binary mixtures of dipolar hard disks in 2D. Some general features of the glass transition lines are also discussed. The direct comparison of the binary hard disk/sphere models in 2D/3D shows similar qualitative behavior. Particularly, for binary mixtures of hard disks in 2D the same four so-called mixing effects are identified as have been found before by Götze and Voigtmann for binary hard spheres in 3D [Phys. Rev. E 67, 021502 (2003)]. For instance, depending on the size disparity, adding a second component to a one-component liquid may lead to a stabilization of either the liquid or the glassy state. The MCT results for the 2D system are on a qualitative level in agreement with available computer simulation data. Furthermore, the glass transition diagram found for binary hard disks in 2D strongly resembles the corresponding random close packing diagram. Concerning dipolar systems, it is demonstrated that the experimental system of König et al. [Eur. Phys. J. E 18, 287 (2005)] is well described by binary point dipoles in 2D through a comparison between the experimental partial structure factors and those from computer simulations. For such mixtures of point particles it is demonstrated that MCT predicts always a plasticization effect, i.e. a stabilization of the liquid state due to mixing, in contrast to binary hard disks in 2D or binary hard spheres in 3D. It is demonstrated that the predicted plasticization effect is in qualitative agreement with experimental results. Finally, a glass transition diagram for binary mixtures of dipolar hard disks in 2D is calculated. These results demonstrate that at higher packing fractions there is a competition between the mixing effects occurring for binary hard disks in 2D and those for binary point dipoles in 2D.