Mutually catalytic branching at infinite rate

The purpose of this doctoral thesis is to prove existence for a mutually catalytic random walk with infinite branching rate on countably many sites. The process is defined as a weak limit of an approximating family of processes. An approximating process is constructed by adding jumps to a deterministic migration on an equidistant time grid. As law of jumps we need to choose the invariant probability measure of the mutually catalytic random walk with a finite branching rate in the recurrent regime. This model was introduced by Dawson and Perkins (1998) and this thesis relies heavily on their work. Due to the properties of this invariant distribution, which is in fact the exit distribution of planar Brownian motion from the first quadrant, it is possible to establish a martingale problem for the weak limit of any convergent sequence of approximating processes. We can prove a duality relation for the solution to the mentioned martingale problem, which goes back to Mytnik (1996) in the case of finite rate branching, and this duality gives rise to weak uniqueness for the solution to the martingale problem. Using standard arguments we can show that this solution is in fact a Feller process and it has the strong Markov property. For the case of only one site we prove that the model we have constructed is the limit of finite rate mutually catalytic branching processes as the branching rate approaches infinity. Therefore, it seems naturalto refer to the above model as an infinite rate branching process. However, a result for convergence on infinitely many sites remains open.

Diese Arbeit zeigt die Existenz und Eindeutigkeit eines Paares zufällig, gegenseitig katalytisch verzweigender Irrfahrten mit unendlicher Verzweigungsrate auf einem abzählbaren Ortsraum. Der Prozeß wird als schwacher Limes einer approximierenden Familie von Prozessen definiert. Die approximierenden Prozesse werden konstruiert, indem man dem deterministischen Massefluß auf einem äquidistanten Zeitgitter Sprünge hinzufügt. Als Verteilung der Sprünge wird die invariante Verteilung des Paares zufällig, gegenseitig katalytisch verzweigender Irrfahrten mit endlicher Verzweigungsrate im Falle von rekurrenter Migration benutzt. Das Modell mit endlicher Verzweigungsrate wurde 1998 von Dawson und Perkins eingeführt, und die vorliegende Arbeit baut stark auf die dort erziehlten Resultate auf. Die Eigenschaften der genannten invarianten Verteilung, nämlich der Treffverteilung der planaren Brownschen Bewegung auf den Rand des ersten Quadranten, ermöglicht die Charakterisierung des Limes der approximierenden Prozesse durch ein Martingalproblem. Die Lösungen dieses Martingalproblems erfüllen eine Dualitätsrelation, die im Fall einer endlichen Verzweigungsrate auf Mytnik (1996) zurückgeht, und damit ergibt sich die Eindeutigkeit der Lösung des Martingalproblems. Standardargumente liefern dann die Feller- und die starke Markov-Eigenschaft dieser Lösung. Im Fall eines einpunktigen Ortsraumes wird gezeigt, dass das oben beschriebene Modell als Limes einer Folge von Prozessen mit endlicher Verzweigungsrate aufgefasst werden kann, falls die Verzweigungsraten gegen unendlich konvergieren. Es erscheint deswegen als natürlich das entwickelte Modell als Prozeß mit unendlicher Verzweigungsrate zu bezeichnen. Allerdings steht ein Konvergenzbeweis auf abzählbar unendlich vielen Orten noch aus.