Axiomática de la Matemática.

Estudio sobre la axiomática de las matemáticas. Se señala que en ocasiones se contraponen las exigencias del desarrollo científico y de la didáctica, por lo que se ha sugerido que hay que buscar un equilibrio. En la concepción moderna de la ciencia motemática domina el método axiomático. Para dar una idea precisa del mismo, es necesario elaborar construcciones axiomáticas sencillas, adaptadas a los distintos niveles de nuestros alumnos. La axiomática de la geometría elemental presento dos niveles bien diferenciados que corresponden a los dos grados de la enseñanza medio generalizados en todos los países, aunque con distintos nombres. Entre nosotros Bachillerato elemental y superior. En el nivel más elemental nuestra axiomática debe basarse en las propiedades deducidas directamente de la ideo de cuerpo rígido, mediante el empleo de calcos, plantillas, cuerda utilizada como compás, etc. Con el estudio se pretende en definitiva, dar un esbozo de una posible axiomática de la Geometría, sobre todo en lo que especta al nivel del Bachillerato Superior. Se traza una panorámica histórica de la cuestión, con los principales antecedentes y se plantean una serie de problemas, y ejercicios y demostraciones matemáticas para corroborar hipótesis. Se hace especial mención a la geometría hiperbólica y a la geometría del espacio de siete puntos, aspecto con el que se concluye.

Elementos geométricos.

Análisis de ciertos elementos y propiedades geométricas, como la noción de ángulo. La noción de ángulo presenta importantes dificultades a la enseñanza elemental. Se defiende que toda la enseñanza, por elemental e incompleta que sea, se fundamente en definiciones precisas y correctas. En los estudios sucesivos se pueden completar puntos de vista, pero conviene que no haya que deshacer nada de lo que ya se ha hecho. Se tocan puntos como el ángulo como región angular para el primer curso; y el ángulo como giro, para el segundo curso. Como definición se señala que se llama ángulo a una región angular o angulares adyacentes a una reunión de regiones A partir de este concepto de ángulo, se podrá trabajar en construcciones gráficas. La igualdad de ángulos llevará a la idea de ángulo llano, ángulo recto, ángulos suplementarios y complementarios. En cuanto a los movimientos del plano, la propuesta didáctica es imaginar una figura de un plano, de la que hay que sacar un calco. Moviendo el calco obtenemos otra figura que se dice transformada o imagen de la primera por un movimiento. Se analizan sus características y se distinguen dos grandes tipos de movimientos: unos se pueden materializar con el papel de calco presentando siempre la misma cara. Son los movimientos directos. Otros se obtienen invirtiendo el papel de calco y se llaman movimientos inversos. Como casos especiales se señala la Simetría axial o movimiento inverso que se obtiene haciendo girar el plano alrededor de una recta del mismo. A continuación se reflexiona sobre el ángulo como giro, el ángulo cero, el ángulo opuesto y la propiedad conmutativa.

Experiencias para introducir el concepto de volumen.

Desarrollo de una lección sobre el concepto de volumen, experimentada en el último Cursillo de Profesores Auxiliares. Se reseña el material necesario, que se compone de poliedros, especialmente ortoedros, de distintas sustancias y de varios tamaños. Entre las experiencias a realizar, para ver que a cada poliedro u ortoedro le corresponde un número, se realizan una serie de experimentos. Se pesa un ortoedro, que por tanto tiene un peso determinado; se observa que si nos dan otro ortoedro Q igual que P, en tamaño y materia, su peso será igual que el de P. También se puede introducir en una probeta graduada con agua, el ortoedro cuyo volumen se quiera determinar. El agua sube de nivel. El exceso de agua es el volumen del cuerpo. Repetir la experiencia con otro ortoedro igual y observar que les corresponde el mismo exceso de agua, el mismo volumen. Establecemos en estas experiencias una correspondencia: a cada ortoedro le corresponde un número, un peso y un volumen. Se establece una relación matemática. Posteriormente se da una primera definición de poliedros equivalentes: dos poliedros son equivalentes cuando se pueden descomponer en el mismo número de poliedros iguales, y se puede pasar de un paralelepípedo cualquiera a un ortoedro siguiendo el proceso inverso al anterior.

Expansión de la Ciencia Matemática.

Estudio acerca del desarrollo de la ciencia matemática a lo largo de la historia. Se destaca que el conocimiento de las matemáticas permite a los más jóvenes ser más libres. Posteriormente se destacan tres aspectos muy característicos en esta maduración de la ciencia matemática: una preocupación creciente por el rigor, la intervención sistemática de lo axiomático y una abstracción cada vez mayor. En base a estos tres aspectos se analizan las figuras más significativas de las matemáticas y sus principales aportes. La matemática abstracta sería el máximo punto en ese desarrollo, que se inicia en 1920, gracias a figuras como Artin, Noether o Van der Waerden. Se destaca que el punto de partida de la Matemática moderna es lo teoría de conjuntos, necesaria para definir estructuras susceptibles de aplicarse a cualquier especie de objetos. La matemática moderna, se presenta así como un saber muy lejano a la matemática clásica, por su lenguaje, por su simbolismo, por sus aires de abstracción, por los problemas de que se ocupa etc. Para finalizar se subraya la idea de que la evolución, en este caso de la ciencia matemática, no es un hecho aislado, sino una tendencia universal hacia una mayor madurez y dominio del mundo material.

Modelos para la enseñanza de movimientos y simetrías en el plano.

Se presentan una serie de modelos con el fin de facilitar la comprensión y realización de movimientos directos e inversos del plano, traslaciones, giros y simetrías, y para las transformaciones geométricas que se emplean en la geometría métrica elemental.

Los poliedros estrellados como centro de interés.

Con el fin de renovar la didáctica de la Geometría, se propone la construcción de poliedros estrellados como medio didáctico, debido al interés que despierta en los alumnos. Se describen algunos poliedros como: el dodecaedro de tercera especie, el dodecaedro estrellado de séptima especie y el icosaedro estrellado de séptima especie.

Multivalencia de las situaciones geométricas.

Se realizan una serie de dibujos que sirven para observar, buscar y descubrir muchas relaciones matemáticas y que demuestran la multivalencia de las situaciones geométricas.

Aritmética de la escalera : una lección de cálculo mental sobre un modelo imaginado para alumnos de 9 a 10 años.

Se describe un ejemplo de clase activa de cálculo mental, experimentado con alumnos de 9 y 10 años del Instituto de San Isidro de Madrid, que utiliza como material una escalera imaginaria, y que permite la introducción heurística de gran número de conceptos, tanto aritméticos como geométricos.

Las coordenadas esféricas, la inversión en el espacio y la proyección estereográfica.

Acotaciones matemáticas del Curso Preuniversitario sobre las coordenadas esféricas, la inversión en el espacio y la proyección estereográfica, según el profesor del Instituto de Enseñanza Media de Toledo, Antonio Rodríguez Socorro.

Un nuevo material para la enseñanza heurística de la Geometria del Espacio.

Reflexión sobre el estudio geométrico de las formas desde el punto de vista eurístico, proponiendo un sencillo material multivalente para los alumnos de enseñanza media.

Una lección heurística sobre triángulos.

Desarrollo de una experiencia heurística en una clase de geometría dónde se persigue que las alumnas del Curso Preparatorio de Bachillerato que conocen las características de los ángulos, aprendan también las de los triángulos. Valiéndose de bastoncitos de diversos tamaños y colores, de triángulos escalenos de cartulina y madera, y manipulando este material y formulando preguntas, la profesora enseña las propiedades de los triángulos que las alumnas van descubriendo por pura experimentación.

El geoespacio proyectivo.

Se describe el diseño de un sencillo geoespacio proyectivo y el campo de aplicaciones debido a la multivalencia de este geoespacio proyectivo. Se incluyen fotografías.

Didáctica matemática : reuniones de profesores de Enseñanza Media en la Universidad de Granada.

Dentro del marco de las charlas sobre Didáctica de la matemática en Bachillerato Elemental organizado por el Seminario de Didáctica de Matemáticas de la Universidad de Granada, dirigido a profesores de Enseñanza Media, se recoge la charla ofrecida por el Catedrático de Matemáticas del Instituo 'P. Suárez' de Granada, Sr. Marcos, sobre el material didáctico en la Geometría. Explica la importancia de enseñar al alumno a razonar a pensar y a descubrir por sí mismo y no simplemente a memorizar. De este modo, pidiendo a los alumnos que construyan una regla de un solo borde, conseguirán finalmente poder llegar a sumar y restar ángulos y segmentos utilizando un transportador. Solicitando a los alumnos la construcción de triángulos iguales, descubrirán las características y casos de igualdad de los triángulos. Otro instrumento de valor pedagógico es el cartabón, al que uniéndole un segundo, se convierte en un triángulo equilátero. Y, por último, la escuadra, servirá para explicar las características del triángulo rectángulo.

Una lección sobre cuadriláteros.

Desarrollo de una unidad didáctica sobre cuadriláteros con motivo de las clases de repaso en los últimos días de curso para así afianzar los conocimientos adquiridos. Se les pide a los alumnos que lleven a clase, construidos de cualquier material, cuadriláteros de diferentes formas. Seguidamente, se los divide en cóncavos, convexos y a partir de esa clasificación, comienzan a establecerse relaciones entre los conjuntos y a examinarse sus características, realizando dibujos y reflexiones varias. Se representan gráficamente las relaciones del Álgebra de conjuntos, con sus operaciones de intersección y reunión y mediante gráficos de Venn o Euler. Se construye un árbol sinóptico de los cuadriláteros. Se establecen las propiedades de los conjuntos de cuadriláteros dependiendo de: 1. Definición. 2. Propiedades de los lados. 3. Propiedades de los ángulos. 4. Propiedades de las diagonales. 5. Propiedades de la paralela media. 6. Elementos de la simetría. 7. Inscrisptibilidad. 8. Circunscriptibilidad. Finalmente, se estudian las aplicaciones de los cuadriláteros en diversos aspectos de la cultura, como el uso de rombos, rectángulos y cuadrados como elementos decorativos en el arte y la arquitectura.

Material didáctico de Matemáticas.

Se comentan una serie de fotografías con el fin de explicar los materiales que en ellas aparecen, así como: la proporcionalidad de segmentos utilizando regletas, una corona circular con guía y regletas para mostrar la variación de las funciones geométricas, la construcción de un tetraedro con varillas de madera, modelo para explicar el Teorema de Pitágoras por equivalencia de áreas, un geoplano, el cálculo de volúmenes, y un compás de elipses.