La matematica dei frattali

Questa tesi ha lo scopo di descrivere le proprietà matematiche degli insiemi frattali. Nell'introduzione è spiegato brevemente cosa sono i frattali e vengono fatti alcuni esempi di frattali in natura, per poi passare agli aspetti più matematici nei capitoli. Nel capitolo uno si parla della misura e della dimensione di Hausdorff e viene calcolata, seguendo la definizione, per l'insieme di Cantor. Poi nel secondo capitolo viene descrittà l'autosimilarità e viene enunciato un importante teorema che lega l'autosimilarità e la dimensione di Hausdorff. Nel terzo capitolo vengono descritti degli insiemi frattali molto importanti: quelli di Mandelbrot e di Julia.

Stabilita di sistemi sferici autogravitanti con forze r^(-α)

In questa tesi si è eseguito uno studio preliminare (con risultati positivi) volto a verificare la possibilità di estendere al caso di forze r^(-α) il Teorema di stabilità di Antonov per sistemi autogravitanti newtoniani. Tale studio è volto a capire se i risultati di stabilità attualmente noti dipendano dalla speciale natura del campo r^(-2) o se valgono più genericamente per sistemi con forze a lungo range.

Maximum Principle for Elliptic and Parabolic Equations

Nel primo capitolo si riporta il principio del massimo per operatori ellittici. Sarà considerato, in un primo momento, l'operatore di Laplace e, successivamente, gli operatori ellittici del secondo ordine, per i quali si dimostrerà anche il principio del massimo di Hopf. Nel secondo capitolo si affronta il principio del massimo per operatori parabolici e lo si utilizza per dimostrare l'unicità delle soluzioni di problemi ai valori al contorno.

LA REGLA DE VOTACIÓN ADMITIDA EN LA CONVENCIÓN AMERICANA: UNA MIRADA DESDE SOCIAL CHOICE THEORY

ResumenEn el presente artículo se analiza cuáles son las restricciones que impone la Convención Americanade Derechos Humanos en la construcción de un sistema de elección de representantes populares.Para ello, se tomarán herramientas de Social Choice Theory, que nos permitirán depurar y encontrarprecisamente cuales sistemas electorales no pueden ser tolerados en el Sistema Interamericano deDerechos Humanos.Palabras clave: Social Choice Theory, Derechos Políticos, Teorema de la Imposibilidad de Arrow,Sistema Interamericano de Derechos Humanos.AbstractThis article analyzes which are the restrictions that the American Convention of Human Rights imposeson the construction of an electoral system for popular representation. To do so, tools from Social ChoiceTheory will be taken which will allow us to precise and find which exact electoral systems cannot be toleratedin the Inter-American Human Rights System.Keywords: Social Choice Theory, Political Rights, Arrow’s Impossibility Theorem, Inter-AmericanHuman Rights System.

La teoria classica dei campi

In questa tesi verrà analizzata la dinamica dei sistemi conservativi a infiniti gradi di libertà, descritti dai campi. Verrà utilizzato l'approccio della meccanica lagrangiana, in cui, partendo da un principio, il principio di minima azione, si arriverà alla scrittura delle equazioni del moto, dette equazioni di Eulero-Lagrange, governate da una funzione, detta Lagrangiana. Successivamente si descriverà il formalismo hamiltoniano, in cui le equazioni di Eulero-Lagrange verranno riscritte in nuove coordinate, e interverrà una nuova funzione, detta Hamiltoniana. Verrà inoltre affrontato un altro argomento, in cui si vedranno quantità del sistema che si conservano nel tempo. Questa legge di conservazione, descritta dal Teorema di Noether, è dovuta a simmetrie della Lagrangiana, ovvero a trasformazioni continue delle coordinate del sistema che lasciano la Lagrangiana invariata. Ad ogni simmetria della Lagrangiana corrisponde una quantità conservata. Infine, per concludere, verrà applicato il metodo lagrangiano al sistema descritto dal campo elettromagnetico, e da qui si vedrà che le equazioni di Eulero-Lagrange diventeranno le note equazioni di Maxwell.

Il problema isoperimetrico nel piano

Questa tesi tratta del problema isoperimetrico nel piano, ossia di trovare, se esiste, il dominio che, a parità di perimetro (inteso come lunghezza del bordo), massimizza l'area. Intuitivamente la risposta pare piuttosto semplice: il cerchio è il dominio che ha area massima, ma la dimostrazione è tutt'altro che banale. Inizialmente verranno presentate le proprietà isoperimetriche dei poligoni regolari: tra tutti i poligoni con un numero fissato di lati n e perimetro fissato p, il poligono regolare di n lati e di perimetro p è l'unico che massimizza l'area. Nel seguito si generalizza questo fatto a un qualunque dominio limitato del piano il cui bordo è una curva chiusa, semplice e assolutamente continua. Infatti, nelle ipotesi appena dette, vale che l’area è minore o uguale di una certa costante moltiplicata per il quadrato della lunghezza del bordo, e si ha l'uguaglianza se e solo se il bordo è una circonferenza. Infine, nell'ultimo capitolo, viene data la dimostrazione, sorprendentemente semplice, della disuguaglianza isoperimetrica dovuta a Hélein per un aperto lipschitziano, facente uso del solo Teorema di Stokes applicato ad un particolare campo vettoriale ispirato alla teoria delle calibrazioni.

Immersione di Skorokhod con più marginali

Questo elaborato è incentrato sullo studio di un modello a volatilità locale, formulato da A. Conze e P. Henry-Labordère a partire dalla costruzione di R. Bass per le immersioni di Skorokhod. Dato un processo di prezzi, di cui è noto un numero finito di distribuzioni marginali, si suppone che sia una martingala non negativa esprimibile come funzione del tempo e di un altro processo stocastico (ad esempio un moto Browniano): l'obiettivo è l'individuazione di tale funzione. Per raggiungerlo ci si ricondurrà alla risoluzione di un'equazione di punto fisso, per la cui soluzione verranno forniti risultati di esistenza e unicità. La determinazione di questa funzione sarà funzionale al calcolo delle sensitività del modello.

Anelli noetheriani e anelli artiniani

In questa tesi vengono studiati anelli commutativi unitari in cui ogni catena ascentente o ogni catena discendente di ideali diventa stazionaria dopo un numero finito di passi. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena ascendente, ossia ogni catena ascendente di ideali a_1 ⊆ a_2 ⊆ · · · ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, o, equivalentemente, in cui ogni ideale è generato da un numero finito di elementi, si dice noetheriano. Questa classe di anelli deve il proprio nome alla matematica tedesca Emmy Noether che, nel 1921, studiando un famoso risultato di Lasker per ideali di anelli di polinomi, si accorse che esso valeva in tutti gli anelli in cui gli ideali sono finitamente generati. Questi anelli giocano un ruolo importante in geometria algebrica, in quanto le varietà algebriche sono luoghi di zeri di polinomi in più variabili a coefficienti in un campo K e le proprietà degli ideali dell’anello K[x_1, . . . , x_n] si riflettono nelle proprietà delle varietà algebriche di K^n. Inoltre, per questi anelli esistono procedure algoritmiche che sono possibili proprio grazie alla condizione della catena ascendente. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena discendente, ossia ogni ogni catena discendente di ideali . . . a_2 ⊆ a_1 ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, si dice artiniano, dal nome del matematico austriaco Emil Artin che li introdusse e ne studiò le proprietà. Il Teorema di Akizuki afferma che un anello commutativo unitario R è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione zero, ossia ogni suo ideale primo è massimale.

Matrici ricorsive e successioni polinomiali di tipo intero

Nel seguente elaborato esponiamo la teoria delle matrici ricorsive, ovvero matrici doppiamente infinite in cui ogni riga può essere calcolata ricorsivamente dalla precedente e in particolare mostriamo come questa teoria possa essere utilizzata per ottenere una versione del calcolo umbrale, il quale è idoneo anche allo studio dei polinomi p(x) che assumono valori interi quando la variabile x è un intero. Studieremo alcuni dei risultati del calcolo umbrale come conseguenze delle due principali proprietà delle matrici ricorsive, ovvero la Regola del Prodotto e il Teorema della Doppia Ricorsione.

Introduzione al Gruppo delle Trecce

L'obiettivo di questa tesi è fornire un'introduzione al gruppo delle trecce. In particolare, tale gruppo verrà presentato prima come gruppo astratto, poi tramite l'ausilio di trecce geometriche, mostrandone successivamente alcune proprietà algebriche. Viene infine trattato il legame tra il gruppo delle trecce e altri due gruppi, il mapping class group del disco bidimensionale puntato e il gruppo degli automorfismi treccia del gruppo libero. Nell'appendice si può trovare una breve introduzione al calcolo del gruppo fondamentale (teorema di Van Kampen).

Anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole

Presentazione di anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole e spiegazione di come e perché sia possibile che lo studio di ciascuna di esse sia equivalente allo studio delle altre due. Trattazione dell'esempio dell'insieme delle parti di un insieme arbitrario, rappresentazione di esso sia come anello booleano che come reticolo booleano e algebra di Boole e descrizione della sua importanza mediante il teorema di Stone (formulato per ciascuna struttura booleana). Rappresentazione dei reticoli distributivi e degli ideali d'ordine di un insieme parzialmente ordinato, per giungere al teorema di Birkhoff.

Entanglement and Tolman paradox

Nella presente tesi è discusso il fenomeno dell’ entanglement quantistico, che si manifesta come correlazione nei risultati delle misure di sistemi aperti, in precedenza localmente interagenti, indipendentemente da quella che è la loro distanza spaziale. Il celebre teorema di Bell esclude la possibilità che l’ entanglement possa essere descritto mediante una teoria di variabili nascoste locale. Si indaga allora l’ipotesi che particelle che si muovono a velocità super-luminali (tachioni), non vietate dalla Relatività, possano intervenire nella spiegazione fisica dell’ entanglement. In particolare, si presenta un’ interpretazione alternativa del noto paradosso di Tolman che riguarda i tachioni, tramite la quale è possibile ricostruire la sovrapposizione quantistica di stati della coppia entangled EPR, come associata a loop di tachioni scambiati tra i due sistemi.

Elementary properties of Modular curves and Modular forms

Lo scopo di questa tesi è introdurre in breve le prime proprietà delle curve modulari e delle forme modulari, per poi mostrarne alcune applicazioni archetipiche. Per farlo, dopo aver richiamato alcune nozioni utili nel primo capitolo, sviluppiamo, nel secondo capitolo, la teoria di base delle curve modulari compatte come superfici di Riemann, calcolandone il genere nel caso dei sottogruppi principali di congruenza. Dunque, nel terzo capitolo, dopo un estesa trattazione dell'esempio delle forme modulari rispetto al gruppo modulare, viene calcolata la dimensione degli spazi delle forme intere e delle forme cuspidali rispetto a un sottogruppo di indice finito del gruppo modulare. Questo capitolo si conclude con tre esempi di applicazione della teoria esposta, tra i quali spiccano la dimostrazione del Grande Teorema di Picard e del Teorema dei quattro quadrati di Jacobi.

Dinamica dei sistemi collisionali

In questo elaborato viene discussa la dinamica dei sistemi collisionali, la quale non si riferisce alle effettive collisioni fisiche che possono verificarsi seppur raramente in campo astrofisico (Appendice A), ma piuttosto al ruolo dominante ricoperto dagli incontri gravitazionali ravvicinati tra coppie di stelle. Nel Capitolo 1 viene introdotto lo studio della dinamica stellare, viene riportata la definizione di sistema collisionale e la sua distinzione da sistema non collisionale, in cui i moti, invece, sono influenzati dalla forza gravitazionale esercitata da una omogenea distribuzione di massa. Viene accennato, inoltre, il fondamentale Teorema del Viriale. A seguire, nel Capitolo 2, viene proposto il problema dei due corpi, fondamentale per lo sviluppo del calcolo del tempo di rilassamento a due corpi, e viene confrontato quest'ultimo sia con il tempo dinamico che con il tempo di frizione dinamica. Infine, nel Capitolo 3 vengono esposti alcuni esempi di dinamica stellare in astrofisica, come l'evaporazione gravitazionale, il core collapse e la catastrofe gravotermica degli ammassi globulari.

Dinamica delle galassie a spirale e delle galassie ellittiche

La Dinamica Stellare è la disciplina che si occupa di descrivere la struttura e l'evoluzione dei sistemi stellari. Quest'elaborato si pone come obiettivo quello di illustrare una panoramica sui modelli e le tecniche necessari allo studio dei moti delle stelle all'interno delle galassie, per poi tradurli in pratica tramite applicazioni alle due tipologie principali di galassie. Dopo aver introdotto le principali caratteristiche delle galassie attraverso la Classificazione di Hubble, verrà affrontata la peculiarità di questi sistemi, ovvero la non collisionalità, introducendo il concetto di Tempo di Rilassamento a due corpi. In seguito, si illustreranno le equazioni che permettono di descrivere un sistema non collisionale, ovvero l'Equazione di Boltzmann e le Equazioni di Jeans, con conseguente caratterizzazione del Teorema del Viriale per questo tipo di sistemi. In conclusione, si approfondirà dapprima la dinamica delle galassie ellittiche attraverso lo studio della loro anisotropia, del profilo di brillanza e del Piano Fondamentale; successivamente, per quanto concerne le galassie a spirale, si tratterà la Curva di Rotazione, la Legge di Tully Fisher che ne descrive la luminosità e si terminerà con una descrizione della dinamica dei bracci a spirale attraverso la teoria delle Onde di Densità di Lin e Shu.