Spettri di operatori compatti e applicazioni

Scopo della tesi è presentare alcuni aspetti della teoria spettrale per operatori compatti definiti su spazi di Hilbert separabili. Il primo capitolo è dedicato al Teorema di esistenza di una base numerabile di autovettori, per operatori compatti autoaggiunti. Nel secondo capitolo sono presentate alcune applicazioni dirette al Laplaciano. Viene dimostrato il teorema di immersione di Sobolev, e come conseguenza dell'immersione compatta, si prova che l'inverso del Laplaciano su aperti limitati è un operatore compatto autoaggiunto. Conseguentemente viene determinata la base dei suoi autovettori, che in dimensione uno è la classica serie di Fourier. Nel terzo capitolo vengono determinate le espressioni analitiche delle basi di autovettori sul quadrato e il cerchio unitario.

Formule di media per le funzioni armoniche

In questo lavoro studiamo le funzioni armoniche e le loro proprietà: le formule di media, il principio del massimo e del minimo (forte e debole), la disuguaglianza di Harnack e il teorema di Louiville. Successivamente scriviamo la prima e la seconda identità di Green, che permettono di ottenere esplicitamente la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace, tramite il calcolo delle soluzioni radiali del Laplaciano. Introduciamo poi la funzione di Green, da cui si ottiene una formula di rappresentazione per le funzioni armoniche. Se il dominio di riferimento è una palla, la funzione di Green può essere determinata esplicitamente, e ciò conduce alla rappresentazione integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla.

Funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue

Si studiano le funzioni assolutamente continue (proprietà, caratterizzazioni ed esempi) e le funzioni a variazione limitata (prima di queste, qualche breve richiamo sulle funzioni monotone e sulla funzione di Vitali).

Struttura Kahler degli spazi di Teichmuller

Gli spazi di Teichmuller nacquero come risposta ad un problema posto diversi anni prima da Bernhard Riemann, che si domandò in che modo poter parametrizzare le strutture complesse supportate da una superficie fissata; in questo lavoro di tesi ci proponiamo di studiarli in maniera approfondita. Una superficie connessa, orientata e dotata di struttura complessa, prende il nome di superficie di Riemann e costituisce l’oggetto principe su cui si basa l’intero studio affrontato nelle pagine a seguire. Il teorema di uniformizzazione per le superfici di Riemann permette di fare prima distinzione netta tra esse, classificandole in superfici ellittiche, piatte o iperboliche. Due superfici di Riemann R ed S si dicono equivalenti se esiste un biolomorfismo f da R in S, e si dice che hanno la stessa struttura complessa. Certamente se le due superfici hanno genere diverso non possono essere equivalenti. Tuttavia, se R ed S sono superfci con lo stesso genere g ma non equivalenti, è comunque possibile dotare R di una struttura complessa, diversa dalla precedente, che la renda equivalente ad S. Questo permette di osservare che R è in grado di supportare diverse strutture complesse non equivalenti tra loro. Lo spazio di Teichmuller Tg di R è definito come lo spazio che parametrizza tutte le strutture complesse su R a meno di biolomorfismo. D’altra parte ogni superficie connessa, compatta e orientata di genere maggiore o uguale a 2 è in grado di supportare una struttura iperbolica. Il collegamento tra il mondo delle superfici di Riemann con quello delle superfici iperboliche è stato dato da Gauss, il quale provò che per ogni fissata superficie R le metriche iperboliche sono in corrispondenza biunivoca con le strutture complesse supportate da R stessa. Questo teorema permette di fornire una versione della definizione di Tg per superfici iperboliche; precisamente due metriche h1, h2 su R sono equivalenti se e soltanto se esiste un’isometria φ : (R, h1 ) −→ (R, h2 ) isotopa all’identità. Pertanto, grazie al risultato di Gauss, gli spazi di Teichmuller possono essere studiati sia dal punto di vista complesso, che da quello iperbolico.

Il gruppo dei quaternioni

In questa tesi si descrive il gruppo dei quaternioni come gruppo non abeliano avente tutti i sottogruppi normali. In particolare si dimostra il teorema di Dedekind che determina la struttura dei gruppi aventi tutti i sottogruppi normali. Si dà poi un polinomio a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois coincide con il gruppo dei quaternioni.

Ancient Greek harbours used as geo-archives for palaeotsunami research : case studies from Krane (Cefalonia), Lechaion (Gulf of Corinth) and Kyllini (Peloponnese)

Since historical times, coastal areas throughout the eastern Mediterranean are exposed to tsunami hazard. For many decades the knowledge about palaeotsunamis was solely based on historical accounts. However, results from timeline analyses reveal different characteristics affecting the quality of the dataset (i.e. distribution of data, temporal thinning backward of events, local periodization phenomena) that emphasize the fragmentary character of the historical data. As an increasing number of geo-scientific studies give convincing examples of well dated tsunami signatures not reported in catalogues, the non-existing record is a major problem to palaeotsunami research. While the compilation of historical data allows a first approach in the identification of areas vulnerable to tsunamis, it must not be regarded as reliable for hazard assessment. Considering the increasing economic significance of coastal regions (e.g. for mass tourism) and the constantly growing coastal population, our knowledge on the local, regional and supraregional tsunami hazard along Mediterranean coasts has to be improved. For setting up a reliable tsunami risk assessment and developing risk mitigation strategies, it is of major importance (i) to identify areas under risk and (ii) to estimate the intensity and frequency of potential events. This approach is most promising when based on the analysis of palaeotsunami research seeking to detect areas of high palaeotsunami hazard, to calculate recurrence intervals and to document palaeotsunami destructiveness in terms of wave run-up, inundation and long-term coastal change. Within the past few years, geo-scientific studies on palaeotsunami events provided convincing evidence that throughout the Mediterranean ancient harbours were subject to strong tsunami-related disturbance or destruction. Constructed to protect ships from storm and wave activity, harbours provide especially sheltered and quiescent environments and thus turned out to be valuable geo-archives for tsunamigenic high-energy impacts on coastal areas. Directly exposed to the Hellenic Trench and extensive local fault systems, coastal areas in the Ionian Sea and the Gulf of Corinth hold a considerably high risk for tsunami events, respectively.Geo-scientific and geoarcheaological studies carried out in the environs of the ancient harbours of Krane (Cefalonia Island), Lechaion (Corinth, Gulf of Corinth) and Kyllini (western Peloponnese) comprised on-shore and near-shore vibracoring and subsequent sedimentological, geochemical and microfossil analyses of the recovered sediments. Geophysical methods like electrical resistivity tomography and ground penetrating radar were applied in order to detect subsurface structures and to verify stratigraphical patterns derived from vibracores over long distances. The overall geochronological framework of each study area is based on radiocarbon dating of biogenic material and age determination of diagnostic ceramic fragments. Results presented within this study provide distinct evidence of multiple palaeotsunami landfalls for the investigated areas. Tsunami signatures encountered in the environs of Krane, Lechaion and Kyllini include (i) coarse-grained allochthonous marine sediments intersecting silt-dominated quiescent harbour deposits and/or shallow marine environments, (ii) disturbed microfaunal assemblages and/or (iii) distinct geochemical fingerprints as well as (iv) geo-archaeological destruction layers and (v) extensive units of beachrock-type calcarenitic tsunamites. For Krane, geochronological data yielded termini ad or post quem (maximum ages) for tsunami event generations dated to 4150 ± 60 cal BC, ~ 3200 ± 110 cal BC, ~ 650 ± 110 cal BC, and ~ 930 ± 40 cal AD, respectively. Results for Lechaion suggest that the harbour was hit by strong tsunami impacts in the 8th-6th century BC, the 1st-2nd century AD and in the 6th century AD. At Kyllini, the harbour site was affected by tsunami impact in between the late 7th and early 4th cent. BC and between the 4th and 6th cent. AD. In case of Lechaion and Kyllini, the final destruction of the harbour facilities also seems to be related to the tsunami impact. Comparing the tsunami signals obtained for each study areas with geo-scientific data from palaeotsunami events from other sites indicates that the investigated harbour sites represent excellent geo-archives for supra-regional mega-tsunamis.

Un'applicazione della teoria di Morse alla topologia delle varietà di Stein

In questa tesi si è data una dimostrazione dovuta ad Andreotti e Frenkel del Teorema di Lefschetz, utilizzando gli strumenti e i risultati della Teoria di Morse.

L'assioma di scelta : Storia e influenza sulla matematica del novecento.

L’assioma di scelta ha una preistoria, che riguarda l’uso inconsapevole e i primi barlumi di consapevolezza che si trattasse di un nuovo principio di ragionamento. Lo scopo della prima parte di questa tesi è quello di ricostruire questo percorso di usi più o meno impliciti e più o meno necessari che rivelarono la consapevolezza non solo del fatto che fosse indispensabile introdurre un nuovo principio, ma anche che il modo di “fare matematica” stava cambiando. Nei capitoli 2 e 3, si parla dei moltissimi matematici che, senza rendersene conto, utilizzarono l’assioma di scelta nei loro lavori; tra questi anche Cantor che appellandosi alla banalità delle dimostrazioni, evitava spesso di chiarire le situazioni in cui era richiesta questa particolare assunzione. Il capitolo 2 è dedicato ad un caso notevole e rilevante dell’uso inconsapevole dell’Assioma, di cui per la prima volta si accorse R. Bettazzi nel 1892: l’equivalenza delle due nozioni di finito, quella di Dedekind e quella “naturale”. La prima parte di questa tesi si conclude con la dimostrazione di Zermelo del teorema del buon ordinamento e con un’analisi della sua assiomatizzazione della teoria degli insiemi. La seconda parte si apre con il capitolo 5 in cui si parla dell’intenso dibattito sulla dimostrazione di Zermelo e sulla possibilità o meno di accettare il suo Assioma, che coinvolse i matematici di tutta Europa. In quel contesto l’assioma di scelta trovò per lo più oppositori che si appellavano ad alcune sue conseguenze apparentemente paradossali. Queste conseguenze, insieme alle molte importanti, sono analizzate nel capitolo 6. Nell’ultimo capitolo vengono riportate alcune tra le molte equivalenze dell’assioma di scelta con altri enunciati importanti come quello della tricotomia dei cardinali. Ci si sofferma poi sulle conseguenze dell’Assioma e sulla sua influenza sulla matematica del Novecento, quindi sulle formulazioni alternative o su quelle più deboli come l’assioma delle scelte dipendenti e quello delle scelte numerabili. Si conclude con gli importanti risultati, dovuti a Godel e a Cohen sull’indipendenza e sulla consistenza dell’assioma di scelta nell’ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Varietà topologiche compatte di dimensione due

In questa tesi si mostra che la caratteristica di Eulero e l'orientabilità (o non orientabilità) sono invarianti topologici per le superfici compatte e si studia il teorema di classificazione per tali superfici.

Risolubilità per radicali di equazioni polinomiali

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

Representation theorems for indefinite quadratic forms and applications

Diese Arbeit widmet sich den Darstellungssätzen für symmetrische indefinite (das heißt nicht-halbbeschränkte) Sesquilinearformen und deren Anwendungen. Insbesondere betrachten wir den Fall, dass der zur Form assoziierte Operator keine Spektrallücke um Null besitzt. Desweiteren untersuchen wir die Beziehung zwischen reduzierenden Graphräumen, Lösungen von Operator-Riccati-Gleichungen und der Block-Diagonalisierung für diagonaldominante Block-Operator-Matrizen. Mit Hilfe der Darstellungssätze wird eine entsprechende Beziehung zwischen Operatoren, die zu indefiniten Formen assoziiert sind, und Form-Riccati-Gleichungen erreicht. In diesem Rahmen wird eine explizite Block-Diagonalisierung und eine Spektralzerlegung für den Stokes Operator sowie eine Darstellung für dessen Kern erreicht. Wir wenden die Darstellungssätze auf durch (grad u, h() grad v) gegebene Formen an, wobei Vorzeichen-indefinite Koeffzienten-Matrizen h() zugelassen sind. Als ein Resultat werden selbstadjungierte indefinite Differentialoperatoren div h() grad mit homogenen Dirichlet oder Neumann Randbedingungen konstruiert. Beispiele solcher Art sind Operatoren die in der Modellierung von optischen Metamaterialien auftauchen und links-indefinite Sturm-Liouville Operatoren.

Le funzioni olomorfe e il loro collegamento con le funzioni armoniche

Questo elaborato si propone di analizzare il collegamento tra olomorfia e armonicità. La prima parte della tesi tratta le funzioni olomorfe, mentre la seconda parte tratta le funzioni armoniche. Per quanto riguarda la seconda parte, inizialmente ci limiteremo a studiare le funzioni armoniche in R^2, sottolineando il legame tra queste e le funzioni olomorfe. Considereremo poi il caso generale, ovvero estenderemo la nozione di funzione armonica ad R^N e osserveremo che molte delle proprietà viste per le funzioni olomorfe valgono anche per le funzioni armoniche. In particolare, vedremo che le formule di media per le funzioni armoniche svolgono un ruolo analogo alla formula integrale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Vedremo anche che il Teorema di Liouville per le funzioni armoniche è l’analogo del Teorema di Liouville per le funzioni intere (funzioni olomorfe su tutto C) e, infine, osserveremo che il Principio del massimo forte non è altro che il trasferimento alle funzioni armoniche del Principio del massimo modulo visto nella teoria delle funzioni olomorfe.

Tasso di fuga per perturbazioni aperte di sistemi dinamici caotici

Si dimostra che una classe di trasformazioni espandenti a tratti sull'intervallo unitario soddisfa le ipotesi di un teorema di analisi funzionale contenuto nell'articolo "Rare Events, Escape Rates and Quasistationarity: Some Exact Formulae" di G. Keller e C. Liverani. Si considera un sistema dinamico aperto, con buco di misura epsilon. Se al diminuire di epsilon i buchi costituiscono una famiglia decrescente di sottointervalli di I, e per epsilon che tende a zero essi tendono a un buco formato da un solo punto, allora il teorema precedente consente di dimostrare la differenziabilità del tasso di fuga del sistema aperto, visto come funzione della dimensione del buco. In particolare, si ricava una formula esplicita per l'espansione al prim'ordine del tasso di fuga .

Varietà algebriche affini

Studio degli insiemi algebrici e delle varietà affini: proprietà, frecce e risultati, tra cui il teorema degli zeri di Hilbert.

Measurements and modeling of ozone fluxes in and above Norway spruce canopies

Ozon (O3) ist ein wichtiges Oxidierungs- und Treibhausgas in der Erdatmosphäre. Es hat Einfluss auf das Klima, die Luftqualität sowie auf die menschliche Gesundheit und die Vegetation. Ökosysteme, wie beispielsweise Wälder, sind Senken für troposphärisches Ozon und werden in Zukunft, bedingt durch Stürme, Pflanzenschädlinge und Änderungen in der Landnutzung, heterogener sein. Es ist anzunehmen, dass diese Heterogenitäten die Aufnahme von Treibhausgasen verringern und signifikante Rückkopplungen auf das Klimasystem bewirken werden. Beeinflusst wird der Atmosphären-Biosphären-Austausch von Ozon durch stomatäre Aufnahme, Deposition auf Pflanzenoberflächen und Böden sowie chemische Umwandlungen. Diese Prozesse zu verstehen und den Ozonaustausch für verschiedene Ökosysteme zu quantifizieren sind Voraussetzungen, um von lokalen Messungen auf regionale Ozonflüsse zu schließen.rnFür die Messung von vertikalen turbulenten Ozonflüssen wird die Eddy Kovarianz Methode genutzt. Die Verwendung von Eddy Kovarianz Systemen mit geschlossenem Pfad, basierend auf schnellen Chemilumineszenz-Ozonsensoren, kann zu Fehlern in der Flussmessung führen. Ein direkter Vergleich von nebeneinander angebrachten Ozonsensoren ermöglichte es einen Einblick in die Faktoren zu erhalten, die die Genauigkeit der Messungen beeinflussen. Systematische Unterschiede zwischen einzelnen Sensoren und der Einfluss von unterschiedlichen Längen des Einlassschlauches wurden untersucht, indem Frequenzspektren analysiert und Korrekturfaktoren für die Ozonflüsse bestimmt wurden. Die experimentell bestimmten Korrekturfaktoren zeigten keinen signifikanten Unterschied zu Korrekturfaktoren, die mithilfe von theoretischen Transferfunktionen bestimmt wurden, wodurch die Anwendbarkeit der theoretisch ermittelten Faktoren zur Korrektur von Ozonflüssen bestätigt wurde.rnIm Sommer 2011 wurden im Rahmen des EGER (ExchanGE processes in mountainous Regions) Projektes Messungen durchgeführt, um zu einem besseren Verständnis des Atmosphären-Biosphären Ozonaustauschs in gestörten Ökosystemen beizutragen. Ozonflüsse wurden auf beiden Seiten einer Waldkante gemessen, die einen Fichtenwald und einen Windwurf trennt. Auf der straßenähnlichen Freifläche, die durch den Sturm "Kyrill" (2007) entstand, entwickelte sich eine Sekundärvegetation, die sich in ihrer Phänologie und Blattphysiologie vom ursprünglich vorherrschenden Fichtenwald unterschied. Der mittlere nächtliche Fluss über dem Fichtenwald war -6 bis -7 nmol m2 s-1 und nahm auf -13 nmol m2 s-1 um die Mittagszeit ab. Die Ozonflüsse zeigten eine deutliche Beziehung zur Pflanzenverdunstung und CO2 Aufnahme, was darauf hinwies, dass während des Tages der Großteil des Ozons von den Pflanzenstomata aufgenommen wurde. Die relativ hohe nächtliche Deposition wurde durch nicht-stomatäre Prozesse verursacht. Die Deposition über dem Wald war im gesamten Tagesverlauf in etwa doppelt so hoch wie über der Freifläche. Dieses Verhältnis stimmte mit dem Verhältnis des Pflanzenflächenindex (PAI) überein. Die Störung des Ökosystems verringerte somit die Fähigkeit des Bewuchses, als Senke für troposphärisches Ozon zu fungieren. Der deutliche Unterschied der Ozonflüsse der beiden Bewuchsarten verdeutlichte die Herausforderung bei der Regionalisierung von Ozonflüssen in heterogen bewaldeten Gebieten.rnDie gemessenen Flüsse wurden darüber hinaus mit Simulationen verglichen, die mit dem Chemiemodell MLC-CHEM durchgeführt wurden. Um das Modell bezüglich der Berechnung von Ozonflüssen zu evaluieren, wurden gemessene und modellierte Flüsse von zwei Positionen im EGER-Gebiet verwendet. Obwohl die Größenordnung der Flüsse übereinstimmte, zeigten die Ergebnisse eine signifikante Differenz zwischen gemessenen und modellierten Flüssen. Zudem gab es eine klare Abhängigkeit der Differenz von der relativen Feuchte, mit abnehmender Differenz bei zunehmender Feuchte, was zeigte, dass das Modell vor einer Verwendung für umfangreiche Studien des Ozonflusses weiterer Verbesserungen bedarf.rn