Representation theorems for indefinite quadratic forms and applications

Diese Arbeit widmet sich den Darstellungssätzen für symmetrische indefinite (das heißt nicht-halbbeschränkte) Sesquilinearformen und deren Anwendungen. Insbesondere betrachten wir den Fall, dass der zur Form assoziierte Operator keine Spektrallücke um Null besitzt. Desweiteren untersuchen wir die Beziehung zwischen reduzierenden Graphräumen, Lösungen von Operator-Riccati-Gleichungen und der Block-Diagonalisierung für diagonaldominante Block-Operator-Matrizen. Mit Hilfe der Darstellungssätze wird eine entsprechende Beziehung zwischen Operatoren, die zu indefiniten Formen assoziiert sind, und Form-Riccati-Gleichungen erreicht. In diesem Rahmen wird eine explizite Block-Diagonalisierung und eine Spektralzerlegung für den Stokes Operator sowie eine Darstellung für dessen Kern erreicht. Wir wenden die Darstellungssätze auf durch (grad u, h() grad v) gegebene Formen an, wobei Vorzeichen-indefinite Koeffzienten-Matrizen h() zugelassen sind. Als ein Resultat werden selbstadjungierte indefinite Differentialoperatoren div h() grad mit homogenen Dirichlet oder Neumann Randbedingungen konstruiert. Beispiele solcher Art sind Operatoren die in der Modellierung von optischen Metamaterialien auftauchen und links-indefinite Sturm-Liouville Operatoren.

This thesis is devoted to the Representation Theorems for symmetric indefinite (that is non-semibounded) sesquilinear forms and their applications. In particular, we consider the case where the operator associated with the form does not have a spectral gap around zero. Furthermore, the relation between reducing graph subspaces, solutions to Operator Riccati equations, and block diagonalisation of diagonally dominant block Operator matrices is investigated. By means of the Representation Theorems, a corresponding relation is established for operators associated with indefinite forms and form Riccati equations. In this framework,an explicit block diagonalisation and a spectral decomposition of the Stokes Operator as well as a representation for its kernel are obtained. We apply the Representation Theorems to forms given by (grad u, h() grad v), where the coefficient matrices h() are allowed to be sign-indefinite. As a result, indefinite self-adjoint differential operators div h() grad with homogeneous Dirichlet or Neumann boundary conditions are constructed. Examples of such kind are operators related to the modelling of optical metamaterials and left-indefinite Sturm-Liouville operators.