Le funzioni olomorfe e il loro collegamento con le funzioni armoniche

Questo elaborato si propone di analizzare il collegamento tra olomorfia e armonicità. La prima parte della tesi tratta le funzioni olomorfe, mentre la seconda parte tratta le funzioni armoniche. Per quanto riguarda la seconda parte, inizialmente ci limiteremo a studiare le funzioni armoniche in R^2, sottolineando il legame tra queste e le funzioni olomorfe. Considereremo poi il caso generale, ovvero estenderemo la nozione di funzione armonica ad R^N e osserveremo che molte delle proprietà viste per le funzioni olomorfe valgono anche per le funzioni armoniche. In particolare, vedremo che le formule di media per le funzioni armoniche svolgono un ruolo analogo alla formula integrale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Vedremo anche che il Teorema di Liouville per le funzioni armoniche è l’analogo del Teorema di Liouville per le funzioni intere (funzioni olomorfe su tutto C) e, infine, osserveremo che il Principio del massimo forte non è altro che il trasferimento alle funzioni armoniche del Principio del massimo modulo visto nella teoria delle funzioni olomorfe.