Konkret material i matematikundervisningen – bekymmer och motsättningar : En systematisk litteraturstudie om laborativ matematik

Laborativt arbete med konkret material är en arbetsform inom matematiken som på en del håll åter fått uppsving i ett försök att råda bot på svenska elevers försämrade prestationer i och intresse för matematik. Denna litteraturstudies syfte är att undersöka vilka faktorer som kan påverka negativt vid laborativt arbete med konkret material i matematikundervisningen. I resultatet av litteraturstudien synliggörs huvudsakligen två faktorer som är av större betydelse för undervisningens utfall samt en faktor av mindre betydelse, elevernas ålder. Den första faktorn behandlar valet av material och materialets utformning, vilket kan inverka på elevernas förståelse. Om det konkreta materialet är mycket likt de föremål elever möter i sin vardag, såsom pizzaslices eller pengar, kan denna likhet störa elevernas matematiska förståelse genom att för stor uppmärksamhet riktas mot igenkännandet och att se föremålen som potentiella leksaker, istället för att se dem som konkreta symboler för abstrakt matematik. Detta tycks inte åldersbetingat, utan förekommer i olika årskurser. Den andra faktorn som uppmärksammats är lärarens vägledande roll. Läraren behöver adekvat kompetensutveckling och professionellt stöd i arbetet med konkret material för att öka chanserna att arbetssättet får ett så gynnsamt utfall som möjligt. Läraren spelar en stor roll i både valet av konkret material och i hur instruktioner samt vägledning ges. Det är också viktigt att läraren i undervisningen bjuder in till interaktion och kommunikation om elevernas funna resultat och lösningsförslag för att stärka elevernas förståelse. Sökandet efter relevant litteratur genomfördes i AABRI, ERIC, Google Scholar, Libris, och Summon.

Att utveckla elevers grundläggande begreppsförståelse i matematik : En litteraturstudie om hur matematikundervisningen i årskurs 1-3 kan utformas för att ge elever möjlighet att utveckla en god begreppsförståelse i matematik

Studier visar att svenska elevers resultat i matematik har försämrats och att en av de bakomliggande orsakerna till resultatnedgången är bristande begreppsförståelse. Samtidigt rapporteras det om att eleverna i undervisningen allt mer lämnas ensamma i sitt lärande i så kallat individuellt arbete. Tolkningen som kan göras är att det finns ett samband mellan elevers försämrade matematikkunskaper och undervisningen de möter i matematik. Syftet med denna studie är att få kunskap om hur matematikundervisningen kan utformas för att ge elever i årskurs 1-3 möjlighet att utveckla en god begreppsförståelse i matematik. Svaret söktes genom en systematisk litteraturstudie där litteratur och aktuell forskning söktes systematiskt. I studiens resultat exemplifieras en rad kommunikationsverktyg för läraren att använda direkt i undervisning, men också andra typer av verktyg, för att stödja och utveckla elevers förståelse för matematiska begrepp. Vidare synliggörs också fördelar med en lärare som möjliggör en undervisning där eleverna själva får kommunicera matematik och som agerar resurs för dem i deras övergång från det vardagliga till det matematiska språket. Kommunikation kan därför ses som ett viktigt verktyg i matematikundervisningen då det kommer till att utveckla elevers begreppsförståelse. Undervisningsmiljön behöver därför utformas till att passa en mer kommunikativ undervisning; en tillåtande miljö där eleverna tillåts och stöttas i att prata matematik.

Yrkeselevers motivation till ämnet matematik på gymnasienivå : Finns det skillnader mellan olika yrkesprogram?

Yrkesprogram är den del av gymnasiet som uppvisar störst andel elever med det underkända betyget F i matematik. Men även mellan de olika yrkesprogrammen finns det skillnader. Syftet med denna undersökning är att få en förståelse för elevers motivation för ämnet matematik inom yrkesprogrammen. Finns det skillnader mellan olika program och möjliga orsaker? Undersökningen genomfördes genom gruppintervjuer där elever från El- och energiprogrammet, Handels- och administrationsprogrammet samt Bygg- och anläggningsprogrammet deltog. Gruppintervjuerna genomfördes program för program och Peter Kloostermans intervjuverktyg användes. Resultatet visade på ganska stora skillnader mellan de deltagande programmen i vissa aspekter. Utifrån resultatet fördes diskussion som pekade på att det kunde vara kulturella aspekter som låg bakom skillnader på motivation mellan de olika programmen. Även studieteknik kan påverka motivationen för ämnet matematik.

Matematik i det mångkulturella klassrummet : En litteraturstudie om flerspråkiga elevers problemlösningsförmåga

Forskning visar att flerspråkiga elevers matematikresultat sjunker i takt med att antalet flerspråkiga elever ökar i klassrummen. Forskningsresultaten visar att flerspråkiga elever framförallt har svårt för problemlösningsuppgifter med mycket text. Frågan är om lärare har tillräckligt med kunskaper och resurser för att tillgodose alla elevers behov. Syftet med vår litteraturstudie är att undersöka vilka strategier lärare kan använda för att stödja flerspråkiga elever. Vidare tar litteraturstudien upp vad som är betydelsefullt för att flerspråkiga elever ska kunna utveckla sin problemlösningsförmåga. I denna litteraturstudie har vetenskapligt granskade texter sökts och upptäckts via användning av olika söktekniker och därefter analyserats. Sökmetoderna vi har använt är slumpmässig sökning, systematisk sökning och kedjesökning. I litteraturstudien förekommer avhandlingar, konferensbidrag, empiriska undersökningar och artiklar i vetenskapligt granskade tidskrifter. Resultatet av vår litteraturstudie visar att flerspråkiga elever påverkas av flera olika faktorer. Lärare har en betydande roll för att eleverna ska kunna utveckla problemlösningsförmågan i ämnet matematik. Vårt resultat tar upp aspekter som lärare i ett mångkulturellt klassrum bör ta hänsyn till i undervisningen. De aspekter som tas upp i litteraturstudien är huruvida lärare tar hänsyn till elevernas tidigare erfarenheter och deras kultur. Ett viktigt begrepp inom detta område som behandlas i litteraturstudien är det etnomatematiska perspektivet. Vidare visar litteraturstudiens resultat att de flerspråkiga elevernas tillgång till sitt modersmål är en väsentlig del för att utveckla matematiska färdigheter. Fortsättningsvis visar resultatet att lärares val av kontextanknutna uppgifter är avgörande för att flerspråkiga elever ska kunna se en helhet i matematiska textuppgifter. Slutligen visar resultatet att det är viktigt att flerspråkiga elever måste ges möjlighet att tala matematik och att lärare belyser viktiga matematiska begrepp i klassrummet. 

Schack i förskolan : En ingång till matematik via schack

Studien är en kvalitativ undersökning inspirerad av aktionsforskning. Vi har använt oss av schack som ett verktyg i förskolan som en ingång till undervisning i matematik och för att synliggöra barns matematiserande. Som utgångspunkt för analysen har vi använt oss av begreppet matematisering samt Bishops sex grundläggande matematiska aktiviteter; Design, Lokalisering, Räkning, Mätning, Lek och Förklaring.   Aktiviteten utfördes vid fem olika tillfällen med barn födda 2010. Vid datainsamling användes videoobservationer och fältboksanteckningar. De fem aktivitetstillfällena innehöll en introduktion om schackets spelidé, utforskande av pjäser och brädet, samtal kring strategier samt reflektionsstunder.   Syftet med examensarbetet var att söka kunskap kring vilka av Bishops aktiviteter inom matematik som går att behandla genom att använda schack som ett verktyg för matematikundervisning i förskolan.   De frågor som studien behandlar är:   Vilka av Bishops matematiska aktiviteter går att behandla via schack? På vilket sätt blir barns matematiserande synbart under schackspel?   Resultatet visar betydelsen av pedagogernas roll att styra upp spelet för att barnen skulle stanna upp och diskutera och reflektera kring matematiska fenomen samt för att föra leken in på matematik. Ytterligare visade resultatet att de av Bishops matematiska aktiviteter som behandlades mest frekvent under matematikundervisningen var Lek och Räkning. Dessa aktiviteter återkommer vid samtliga tillfällen. Förklaring och Lokalisering återkommer vid fyra av tillfällena, Design återkom vid tre tillfällen. Mätning förekommer endast vid ett tillfälle. Vi observerade att barnen uttrycker matematiserande under matematikundervisningen via schack på tre olika sätt; Rör sin kropp efter hur de uppfattar rörelsen av schackpjäsen på brädet, Visar med fingrarna, Skapar egna begrepp.

Lärares syn på användning av vardagsanknuten matematik : En intervjustudie med fem matematiklärare i årskurs 4-6

Syftet med denna studie har varit att undersöka hur lärare på mellanstadiet ser på användandet av en matematik kopplad till elevers vardag och erfarenheter. Vad betyder det för dem, använder de det i sin undervisning, anser de att det hjälper eller hindrar eleven i sin inlärningsprocess? Undersökningen har varit empirisk och utförts genom intervjuer med fem lärare som alla har behörighet att undervisa i matematik på mellanstadiet. De resultat som framkommit visar att lärare använder sig av en konkretiserad matematik genom att ta hjälp av olika material och koppla uppgifter till de intressen och erfarenheter eleverna bär med sig. En del lärare menar att vissa elever påverkas negativt av det här då det finns vissa delar i en konkretiserad, vardagsanknuten, matematik som gör att de kan uppleva problem och förvirring. Andra lärare menar istället att de märker hur elevernas förståelse ökar och att de tycker att matematik är roligt när de ser hur skolmatematiken kan kopplas samman och relateras till deras vardag och närliggande miljö.

Kommunikation som verktyg till att utveckla elevers begreppsförståelse i matematik : En empirisk undersökning om hur lärare säger sig använda kommunikation i sin undervisning för att utveckla elevers begreppsförståelse i matematik

Denna studie grundar sig i en tidigare litteraturstudies resultat vilken lyfte fram kommunikation som det främsta verktyget för lärare att använda då det kommer till att utveckla elevers begreppsförståelse. I litteraturstudiens resultat presenterades olika kommunikationsmönster för lärare att använda men också hur elevers vardagliga språk och redan befintliga erfarenheter kring begrepp kan användas för att utveckla den begreppsliga förmågan i matematik. Utifrån det beskrivna resultatet ovan genomfördes en empirisk undersökning i syfte att få kunskap om hur lärare säger sig använda kommunikation i sin undervisning för att utveckla elevers begreppsförståelse i matematik. Resultatet för undersökningen, som grundar sig i lärarintervjuer, visar att kommunikation, på olika sätt, används till att utveckla elevers begreppsförståelse i matematik. Samtliga lärare som intervjuats till studien sa sig alla ta hänsyn till elevers befintliga kunskaper och erfarenheter, samtidigt som några av dem inte sa sig använda inte de informella definitioner som förespråkas i litteraturstudiens resultat. Resultatet synliggjorde också olika kommunikationskonstellationer som lärare lyfte fram i syfte att utveckla elevers begreppsförståelse, men också hur matematikboken kan användas som underlag för kommunikation i ovan nämnda syfte.

Individuals on the Move : Body Condition Dependent Dispersal and Quasi-Local Competition in Metapopulations

Individual movement is very versatile and inevitable in ecology. In this thesis, I investigate two kinds of movement body condition dependent dispersal and small-range foraging movements resulting in quasi-local competition and their causes and consequences on the individual, population and metapopulation level. Body condition dependent dispersal is a widely evident but barely understood phenomenon. In nature, diverse relationships between body condition and dispersal are observed. I develop the first models that study the evolution of dispersal strategies that depend on individual body condition. In a patchy environment where patches differ in environmental conditions, individuals born in rich (e.g. nutritious) patches are on average stronger than their conspecifics that are born in poorer patches. Body condition (strength) determines competitive ability such that stronger individuals win competition with higher probability than weak individuals. Individuals compete for patches such that kin competition selects for dispersal. I determine the evolutionarily stable strategy (ESS) for different ecological scenarios. My models offer explanations for both dispersal of strong individuals and dispersal of weak individuals. Moreover, I find that within-family dispersal behaviour is not always reflected on the population level. This supports the fact that no consistent pattern is detected in data on body condition dependent dispersal. It also encourages the refining of empirical investigations. Quasi-local competition defines interactions between adjacent populations where one population negatively affects the growth of the other population. I model a metapopulation in a homogeneous environment where adults of different subpopulations compete for resources by spending part of their foraging time in the neighbouring patches, while their juveniles only feed on the resource in their natal patch. I show that spatial patterns (different population densities in the patches) are stable only if one age class depletes the resource very much but mainly the other age group depends on it.

On probability-based inference under data missing by design

Whether a statistician wants to complement a probability model for observed data with a prior distribution and carry out fully probabilistic inference, or base the inference only on the likelihood function, may be a fundamental question in theory, but in practice it may well be of less importance if the likelihood contains much more information than the prior. Maximum likelihood inference can be justified as a Gaussian approximation at the posterior mode, using flat priors. However, in situations where parametric assumptions in standard statistical models would be too rigid, more flexible model formulation, combined with fully probabilistic inference, can be achieved using hierarchical Bayesian parametrization. This work includes five articles, all of which apply probability modeling under various problems involving incomplete observation. Three of the papers apply maximum likelihood estimation and two of them hierarchical Bayesian modeling. Because maximum likelihood may be presented as a special case of Bayesian inference, but not the other way round, in the introductory part of this work we present a framework for probability-based inference using only Bayesian concepts. We also re-derive some results presented in the original articles using the toolbox equipped herein, to show that they are also justifiable under this more general framework. Here the assumption of exchangeability and de Finetti's representation theorem are applied repeatedly for justifying the use of standard parametric probability models with conditionally independent likelihood contributions. It is argued that this same reasoning can be applied also under sampling from a finite population. The main emphasis here is in probability-based inference under incomplete observation due to study design. This is illustrated using a generic two-phase cohort sampling design as an example. The alternative approaches presented for analysis of such a design are full likelihood, which utilizes all observed information, and conditional likelihood, which is restricted to a completely observed set, conditioning on the rule that generated that set. Conditional likelihood inference is also applied for a joint analysis of prevalence and incidence data, a situation subject to both left censoring and left truncation. Other topics covered are model uncertainty and causal inference using posterior predictive distributions. We formulate a non-parametric monotonic regression model for one or more covariates and a Bayesian estimation procedure, and apply the model in the context of optimal sequential treatment regimes, demonstrating that inference based on posterior predictive distributions is feasible also in this case.

Luonnollisten lukujen joukon määriteltävyys funktioalgebroissa

Let X be a topological space and K the real algebra of the reals, the complex numbers, the quaternions, or the octonions. The functions form X to K form an algebra T(X,K) with pointwise addition and multiplication. We study first-order definability of the constant function set N' corresponding to the set of the naturals in certain subalgebras of T(X,K). In the vocabulary the symbols Constant, +, *, 0', and 1' are used, where Constant denotes the predicate defining the constants, and 0' and 1' denote the constant functions with values 0 and 1 respectively. The most important result is the following. Let X be a topological space, K the real algebra of the reals, the compelex numbers, the quaternions, or the octonions, and R a subalgebra of the algebra of all functions from X to K containing all constants. Then N' is definable in , if at least one of the following conditions is true. (1) The algebra R is a subalgebra of the algebra of all continuous functions containing a piecewise open mapping from X to K. (2) The space X is sigma-compact, and R is a subalgebra of the algebra of all continuous functions containing a function whose range contains a nonempty open set of K. (3) The algebra K is the set of reals or the complex numbers, and R contains a piecewise open mapping from X to K and does not contain an everywhere unbounded function. (4) The algebra R contains a piecewise open mapping from X to the set of the reals and function whose range contains a nonempty open subset of K. Furthermore R does not contain an everywhere unbounded function.

Mathematical Aspects of Financial Markets with Frictions

Frictions are factors that hinder trading of securities in financial markets. Typical frictions include limited market depth, transaction costs, lack of infinite divisibility of securities, and taxes. Conventional models used in mathematical finance often gloss over these issues, which affect almost all financial markets, by arguing that the impact of frictions is negligible and, consequently, the frictionless models are valid approximations. This dissertation consists of three research papers, which are related to the study of the validity of such approximations in two distinct modeling problems. Models of price dynamics that are based on diffusion processes, i.e., continuous strong Markov processes, are widely used in the frictionless scenario. The first paper establishes that diffusion models can indeed be understood as approximations of price dynamics in markets with frictions. This is achieved by introducing an agent-based model of a financial market where finitely many agents trade a financial security, the price of which evolves according to price impacts generated by trades. It is shown that, if the number of agents is large, then under certain assumptions the price process of security, which is a pure-jump process, can be approximated by a one-dimensional diffusion process. In a slightly extended model, in which agents may exhibit herd behavior, the approximating diffusion model turns out to be a stochastic volatility model. Finally, it is shown that when agents' tendency to herd is strong, logarithmic returns in the approximating stochastic volatility model are heavy-tailed. The remaining papers are related to no-arbitrage criteria and superhedging in continuous-time option pricing models under small-transaction-cost asymptotics. Guasoni, Rásonyi, and Schachermayer have recently shown that, in such a setting, any financial security admits no arbitrage opportunities and there exist no feasible superhedging strategies for European call and put options written on it, as long as its price process is continuous and has the so-called conditional full support (CFS) property. Motivated by this result, CFS is established for certain stochastic integrals and a subclass of Brownian semistationary processes in the two papers. As a consequence, a wide range of possibly non-Markovian local and stochastic volatility models have the CFS property.

Bayesian analysis of community dynamics

Elucidating the mechanisms responsible for the patterns of species abundance, diversity, and distribution within and across ecological systems is a fundamental research focus in ecology. Species abundance patterns are shaped in a convoluted way by interplays between inter-/intra-specific interactions, environmental forcing, demographic stochasticity, and dispersal. Comprehensive models and suitable inferential and computational tools for teasing out these different factors are quite limited, even though such tools are critically needed to guide the implementation of management and conservation strategies, the efficacy of which rests on a realistic evaluation of the underlying mechanisms. This is even more so in the prevailing context of concerns over climate change progress and its potential impacts on ecosystems. This thesis utilized the flexible hierarchical Bayesian modelling framework in combination with the computer intensive methods known as Markov chain Monte Carlo, to develop methodologies for identifying and evaluating the factors that control the structure and dynamics of ecological communities. These methodologies were used to analyze data from a range of taxa: macro-moths (Lepidoptera), fish, crustaceans, birds, and rodents. Environmental stochasticity emerged as the most important driver of community dynamics, followed by density dependent regulation; the influence of inter-specific interactions on community-level variances was broadly minor. This thesis contributes to the understanding of the mechanisms underlying the structure and dynamics of ecological communities, by showing directly that environmental fluctuations rather than inter-specific competition dominate the dynamics of several systems. This finding emphasizes the need to better understand how species are affected by the environment and acknowledge species differences in their responses to environmental heterogeneity, if we are to effectively model and predict their dynamics (e.g. for management and conservation purposes). The thesis also proposes a model-based approach to integrating the niche and neutral perspectives on community structure and dynamics, making it possible for the relative importance of each category of factors to be evaluated in light of field data.

Stochastic Filtering

The stochastic filtering has been in general an estimation of indirectly observed states given observed data. This means that one is discussing conditional expected values as being one of the most accurate estimation, given the observations in the context of probability space. In my thesis, I have presented the theory of filtering using two different kind of observation process: the first one is a diffusion process which is discussed in the first chapter, while the third chapter introduces the latter which is a counting process. The majority of the fundamental results of the stochastic filtering is stated in form of interesting equations, such the unnormalized Zakai equation that leads to the Kushner-Stratonovich equation. The latter one which is known also by the normalized Zakai equation or equally by Fujisaki-Kallianpur-Kunita (FKK) equation, shows the divergence between the estimate using a diffusion process and a counting process. I have also introduced an example for the linear gaussian case, which is mainly the concept to build the so-called Kalman-Bucy filter. As the unnormalized and the normalized Zakai equations are in terms of the conditional distribution, a density of these distributions will be developed through these equations and stated by Kushner Theorem. However, Kushner Theorem has a form of a stochastic partial differential equation that needs to be verify in the sense of the existence and uniqueness of its solution, which is covered in the second chapter.

Data-assimilaatiomenetelmistä ja niiden soveltamisesta ROSE-kemiakuljetusmalllin

Data-assimilaatio on tekniikka, jossa havaintoja yhdistetään dynaamisiin numeerisiin malleihin tarkoituksena tuottaa optimaalista esitystä esimerkiksi ilmankehän muuttuvasta tilasta. Data-assimilaatiota käytetään muun muassa operaativisessa sään ennustamisessa. Tässä työssä esitellään eri data-assimilaatiomenetelmiä, jotka jakautuvat pääpiirteittäin Kalmanin suotimiin ja variaatioanaalisiin menetelmiin. Lisäksi esitellään erilaisia data-assimilaatiossa tarvittavia apuvälineitä kuten optimointimenetelmiä. Eri data-assimilaatiomenetelmien toimintaa havainnollistetaan esimerkkien avulla. Tässä työssä data-assimilaatiota sovelletaan muun muassa Lorenz95-malliin. Käytännön data-assimilaatio-ongelmana on GOMOS-instrumentista saatavan otsonin assimiloiminen käyttäen hyväksi ROSE-kemiakuljetusmallia.