Mathematical Aspects of Financial Markets with Frictions

Frictions are factors that hinder trading of securities in financial markets. Typical frictions include limited market depth, transaction costs, lack of infinite divisibility of securities, and taxes. Conventional models used in mathematical finance often gloss over these issues, which affect almost all financial markets, by arguing that the impact of frictions is negligible and, consequently, the frictionless models are valid approximations. This dissertation consists of three research papers, which are related to the study of the validity of such approximations in two distinct modeling problems. Models of price dynamics that are based on diffusion processes, i.e., continuous strong Markov processes, are widely used in the frictionless scenario. The first paper establishes that diffusion models can indeed be understood as approximations of price dynamics in markets with frictions. This is achieved by introducing an agent-based model of a financial market where finitely many agents trade a financial security, the price of which evolves according to price impacts generated by trades. It is shown that, if the number of agents is large, then under certain assumptions the price process of security, which is a pure-jump process, can be approximated by a one-dimensional diffusion process. In a slightly extended model, in which agents may exhibit herd behavior, the approximating diffusion model turns out to be a stochastic volatility model. Finally, it is shown that when agents' tendency to herd is strong, logarithmic returns in the approximating stochastic volatility model are heavy-tailed. The remaining papers are related to no-arbitrage criteria and superhedging in continuous-time option pricing models under small-transaction-cost asymptotics. Guasoni, Rásonyi, and Schachermayer have recently shown that, in such a setting, any financial security admits no arbitrage opportunities and there exist no feasible superhedging strategies for European call and put options written on it, as long as its price process is continuous and has the so-called conditional full support (CFS) property. Motivated by this result, CFS is established for certain stochastic integrals and a subclass of Brownian semistationary processes in the two papers. As a consequence, a wide range of possibly non-Markovian local and stochastic volatility models have the CFS property.

Rahoitusteorian keskeisiin tutkimuskohteisiin kuuluu optioiden hinnoittelu tilanteessa, jossa kohde-etuutena olevan arvopaperin hintakehityksen tilastolliset ominaisuudet ovat ennalta tunnetut. Tavanomaiset rahoitusteoreettiset mallit eivät kuitenkaan yleensä ota huomioon rahoitusmarkkinoilla esiintyviä kitkaksi kutsuttuja arvopaperien kauppaa vaikeuttavia tekijöitä. Kitkaa aiheuttavat esim. arvopaperien rajallinen tarjonta ja kysyntä, transaktiokulut, kaupoille säädetyt minimikoot sekä verot. Kitkan sivuuttamista perustellaan usein väittämällä, että sen käytännön merkitys olisi vähäinen, jolloin kitkatonta asetelmaa voisi pitää pätevänä likimääräisenä mallina. Väitöskirja koostuu kolmesta artikkelista, jotka liittyvät kitkan vaikutuksia arvioivaan matemaattisen rahoitusteorian tutkimukseen. Diffuusioprosesseja (esim. Brownin liikettä, johon perustuu Blackin ja Scholesin tunnettu optionhinnoittelumalli) käytetään usein kitkattomien markkinoiden hintakehityksen malleina. Ensimmäisessä artikkelissa osoitetaan, että diffuusioprosessit voidaan todellakin tulkita approksimaatioina kitkallisten markkinoiden hintakehityksestä. Artikkelin perustana on kitkallisia markkinoita kuvaava mikrorakennemalli, jossa arvopaperin hinta määräytyy markkinoilla syntyvien kauppojen perusteella. Kun markkinoilla olevien sijoittajien määrä kasvaa, mallin hintakehitys lähestyy diffuusioprosessia, joka voidaan määritellä tarkemmin sijoittajia koskevien käyttäytymisoletusten perusteella. Mikrorakennemallia laajennetaan lisäksi ottamaan huomioon sijoittajien mahdollinen laumakäyttäytyminen. Tällöin hintadynamiikkaa kuvaa likimäärin diffuusioprosessi, jonka volatiliteetti vaihtelee satunnaisesti. Jos sijoittajien taipumus laumakäyttäytymiseen on hyvin vahva, kyseinen diffuusioprosessi heilahtelee voimakkaasti ja sillä on paksuhäntäinen jakauma, eli suurien hinnanmuutosten todennäköisyys on huomattavan korkea. Viimeiset kaksi artikkelia liittyvät optioiden hinnoitteluun tilanteessa, jossa option kohde-etuuden kaupasta aiheutuu transaktiokuluja. Guasoni, Rásonyi ja Schachermayer ovat osoittaneet, että tällöin kohde-etuuden kaupalla ei voi saavuttaa riskitöntä voittoa, mikäli kohde-etuuden hintaprosessilla on nk. CFS-ominaisuus, joka oleellisesti edellyttää, että hintakehitystä ei voi ennustaa tarkasti. Tällöin lisäksi tavanomaisen option myynnistä aiheutuvalta vastuulta ei voi suojautua taloudellisesti mielekkäin kustannuksin, toisin kuin kitkattomissa malleissa. Artikkeleissa tutkitaan CFS-ominaisuuden teoriaa tarkemmin ja osoitetaan, että useilla satunnaisen volatiliteetin omaavilla hintakehityksen malleilla on CFS-ominaisuus.