Luonnollisten lukujen joukon määriteltävyys funktioalgebroissa

Let X be a topological space and K the real algebra of the reals, the complex numbers, the quaternions, or the octonions. The functions form X to K form an algebra T(X,K) with pointwise addition and multiplication. We study first-order definability of the constant function set N' corresponding to the set of the naturals in certain subalgebras of T(X,K). In the vocabulary the symbols Constant, +, *, 0', and 1' are used, where Constant denotes the predicate defining the constants, and 0' and 1' denote the constant functions with values 0 and 1 respectively. The most important result is the following. Let X be a topological space, K the real algebra of the reals, the compelex numbers, the quaternions, or the octonions, and R a subalgebra of the algebra of all functions from X to K containing all constants. Then N' is definable in <R,Constant,+,*,0',1'>, if at least one of the following conditions is true. (1) The algebra R is a subalgebra of the algebra of all continuous functions containing a piecewise open mapping from X to K. (2) The space X is sigma-compact, and R is a subalgebra of the algebra of all continuous functions containing a function whose range contains a nonempty open set of K. (3) The algebra K is the set of reals or the complex numbers, and R contains a piecewise open mapping from X to K and does not contain an everywhere unbounded function. (4) The algebra R contains a piecewise open mapping from X to the set of the reals and function whose range contains a nonempty open subset of K. Furthermore R does not contain an everywhere unbounded function.

Kuten ala-asteelta muistamme, luonnolliset luvut ovat 0,1,2,3,..., siis positiiviset kokonaisluvut ja nolla. Väitöskirjassa tutkitaan luonnollisten lukujen joukon määriteltävyyttä. Luonnollisten lukujen joukko voidaan helposti määritellä hyvin monella kaavalla, mutta ongelma onkin siinä, että mikä tahansa kaava ei kelpaa. Väitöskirjassa luonnollisten lukujen joukon määrittelyyn saa käyttää vain tietynlaisia kaavoja. Eräs ehto on, että ainoat sallitut laskutoimitukset ovat yhteen- ja kertolasku. Tutkimuskohteena on luonnollisten lukujen joukon määriteltävyys tietynlaisissa joukoissa. Selitän, mitä tämä tarkoittaa. Tarkastellaan jotain joukkoa, joka sisältää luonnolliset luvut ja jotain muuta. Tavoitteena on löytää kaava joka on tosi, kun x on luonnollinen luku, ja epätosi, kun x on kyseisen joukon alkio, joka ei ole luonnollinen luku. Tarkastellaan esimerkiksi joukkoa, jonka alkiot ovat luonnolliset luvut ja -1. Tällöin luonnollisten lukujen joukko voidaan määritellä kaavalla, joka sanoo: "On olemassa sellainen y, että x=y+1." Tutkimuksen matemaattinen merkitys on siinä, että ne joukot, joissa luonnollisten lukujen joukko on määriteltävissä, ovat tietyllä tavalla hyvin monimutkaisia.