Ecuaciones diferenciales como modelos en clase de física y de matemáticas

Este artículo trata de la enseñanza y el aprendizaje de la modelación matemática en los cursos de física y de matemáticas. En el 2002, un nuevo currículo para el bachillerato en Francia acentuó el papel de las matemáticas como una herramienta para modelar en otras ciencias. Una descripción del proceso de modelación es presentada, así como el análisis de los manuales comúnmente usados en estos cursos. Este análisis revela el proceso de transposición del "proceso de modelación" practicado por los expertos y el proceso que es adaptado finalmente a la escuela. La implementación de una situación experimental con tareas no habituales permite la identificación de la influencia de las praxeologías en los procesos de los estudiantes. La vinculación de algunas dificultades presentes al abordar la situación con la transposición del proceso de modelación también es discutida en este artículo.

Ecuaciones diferenciales estocásticas con condición final y soluciones de viscosidad de EDPS semilineales de segundo orden

El objetivo de este documento es recopilar algunos resultados clasicos sobre existencia y unicidad ´ de soluciones de ecuaciones diferenciales estocasticas (EDEs) con condici ´ on final (en ingl ´ es´ Backward stochastic differential equations) con particular enfasis en el caso de coeficientes mon ´ otonos, y su cone- ´ xion con soluciones de viscosidad de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) parab ´ olicas ´ y el´ıpticas semilineales de segundo orden.

Dificultades de los estudiantes en la interpretación de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias que modelan un problema.

Resumen basado en el de la publicación

Desarrollo de material didáctico en métodos numéricos aplicados a la Ingeniería.

El trabajo se ha realizado en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial (Béjar) donde trabajan 11 de los miembros del equipo y en la Escuela Politécnica de la Universidad de Salamanca. El objetivo del trabajo ha sido el desarrollo de apliaciones informáticas, basadas en métodos numéricos aplicados a la Ingeniería, en tres líneas principales: ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, vibraciones mecánicas y aplicación del método de los elementos físicos a la Ingeniería Mecánica. Se ha utilizado satisfactoriamente en la docencia de las asignaturas impartidas por los profesores del equipo, como material de apoyo, aunque de esencial importancia por tratarse de materias que, en la Ingenierías actual, hacen un uso extensivo de medios informáticos. El material elaborado se fundamenta en el trabajo práctico e individual del alumno, complementado adecuadamente mediante la acción tutorial.

Diseño y elaboración de prácticas interactivas para el autoaprendizaje en internet de las asignaturas troncales de ecuaciones diferenciales ordinarias en la Licenciatura de Matemáticas.

Este proyecto se ha desarrollado en el Departamento de Matemática Aplicada y Computación con sede en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid. Están implicados en él tres profesores del citado departamento. Los objetivos del proyecto son el diseño y elaboración de prácticas relativas al descriptor troncal 'Ecuaciones diferenciales ordinarias' de la Licenciatura de Matemáticas que sean interactivas y elaboradas con medios informáticos susceptibles de ser trasladados a la red. El proceso de elaboración ha sido en las propias prácticas de asignaturas de la Licenciatura, concretamente en la asignatura modelos matemáticos I. El trabajo ha sido utilizado de forma real en las prácticas informáticas puede afirmarse que: 1. Favorecen el aprendizaje de los alumnos 2. Disminuyen el fracaso escolar 3. potencian la eficacia de las prácticas. Los materiales elaborados son: guía de uso de alumnos (27 páginas), 3 prácticas interactivas en MATLAB, copia anexa en CD. Para ello se ha usado un ordenador personal Pentium III, 933MHz, 128Mb RAM y el software MATLAB 5.1. No publicado.

Ecuaciones diferenciales

El libro consta de 8 capítulos, en el capítulo 1 se hace una reseña histórica de las ecuaciones diferenciales y se dan algunas generalidades de estas incluyendo la existencia de la solución de una ecuación diferencial. En los capítulos 2, 3, y 4 se hace un estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y de ecuaciones de orden superior, que con una transformación se pueden solucionar como ecuaciones diferenciales de primer orden, y se dan aplicaciones varias de estas ecuaciones. En los capítulos 5 y 6 se estudian las ecuaciones diferenciales de orden superior incluyendo algunas ecuaciones no lineales y se dan algunas aplicaciones de estas. El capítulo 7 está dedicado a la transformada de Laplace y el capítulo 8 a series de Fourier y una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales.

La matriz normal de Jordan y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en forma norma

El objetivo esencial del trabajo es emitir una propuesta metodológica, como vía alternativa, para abordar la resolución de ciertos Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales (SEDL) expresables en forma normal, usando métodos matriciales, a partir del empleo de la diagonalimción y normalización de matrices a través de la matriz normal de Jordan y usando para ello un procedimiento único, basado en el método analítico que es empleado para resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden dada en su forma característica, sin soslayar, la obligada extensión a este contexto. Desde el punto de vista didáctico, la metodología general que se propone, para la resolución de estos SEDL es una de sus mayores ventajas metodológicas, ya que, precisamente, proporciona una vía operacional única y fija, con las obligadas transferencias contextuales que fueron señaladas, esperándose lograr una estructuración sistémica de los contenidos asociados al tema, en aras de alcanzar mayores niveles de asequibilidad dentro del proceso de asimilación.

Factores explicativos de la intención de emprender en la mujer. Aspectos diferenciales en la población universitaria según la variable género

El objetivo del presente trabajo de investigación es arrojar luz sobre los factores que explican la menor intencionalidad en la población femenina para involucrarse en procesos de creación de empresas. Para ello, se ha desarrollado un modelo de ecuaciones estructurales que identifica un conjunto de variables que permiten explicar la intención de emprender en la población potencialmente emprendedora. La validación del modelo se ha realizado mediante una encuesta realizada a 1222 estudiantes de 12 titulaciones diferentes de la Universidad de Málaga. La aplicación del modelo a las poblaciones masculina y femenina ha permitido apreciar diferencias significativas en los patrones de comportamiento en función del género, identificando un proceso más complejo y necesitado de apoyo externo en la población femenina con respecto a la masculina.

Sobre los errores locales y globales de la integración de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias mediante métodos de Runge-Kutta Explícitos

161 p.

Estudio de las ecuaciones de Boussinesq para la modelización de tsunamis

[es]Podemos encontrar las ecuaciones de Boussinesq en la descripción de playas, rios y lagos. Estas ecuaciones estudian la dinámica de las aguas poco profundas como las ecuaciones “ Korteweg-deVries (KdV)". Sin embargo, a pesar de ser más conocidas, las ecuaciones de KdV, no son capaces de modelar olas solitarias propagándose en distintas direcciones. Entre muchas otras aplicaciones de las ecuaciones de Boussinesq destaca la de modelar olas de tsunamis. Estos tipos de olas ya son perfectamente descritos por las ecuaciones de Navier Stokes, pero todavía no existen técnicas que permitan resolverlas en un dominio tridimensional. Para ello se usan las ecuaciones de Boussinesq, pensadas como una simplificación de las ecuaciones de Navier Stokes. Los años 1871 y 1872 fueron muy importantes para el desarrollo de las ecuaciones de Boussinesq. Fue en 1871 cuando Valentin Joseph Boussinesq recibió el premio de la “Academy of Sciences”, por su trabajo dedicado a las aguas poco profundas. Ahí fue donde Boussinesq introdujo por primera vez los efectos dispersivos en las ecuaciones de Saint-Venant. Por ello, se puede decir que las ecuaciones de Boussinesq son más completas físicamente que las ecuaciones de Saint-Venant. Las ecuaciones de Boussinesq contienen una estructura hiperbólica (al igual que las ecuaciones no lineales de aguas poco profundas) combinada con derivadas de orden elevado para modelar la dispersión de la ola. Las ecuaciones de Boussinesq pueden aparecer de muchas formas distintas. Dependiendo de como hayamos escogido la variable de la velocidad podemos obtener un modelo u otro. El caso más usual es escoger la variable velocidad en un nivel del agua arbitrario. La efectividad de la ecuación de Boussinesq seleccionada variará dependiendo de la dispersión. Una buena elección de la variable velocidad puede mejorar significativamente la modelización de la propagación de ondas largas. Formalmente, como veremos en el capítulo 1, podemos transformar términos de orden elevado en términos de menor orden usando las relaciones asintóticas. Esto nos proporciona una forma elegante de mejorar las relaciones de dispersi\'on. Las ecuaciones de Boussinesq más conocidas son las que resolveremos en el capítulo 2. En dicho capítulo veremos la ecuación cúbica de Boussinesq, que sirve para describir el movimiento de ondas largas en aguas poco profundas; las ecuaciones de Boussinesq acopladas, que describen el movimiento de dos fluidos distintos en aguas poco profundas (como puede ser el caso de un barco que desprende accidentalmente aceite, el aceite va creando una capa que flota encima de la superficie del agua); la ecuación de Boussinesq estándar, que describe un gran número de fenómenos de olas dispersivas no lineales como la propagaci\ón en ambas direcciones de olas largas en la superficie de aguas poco profundas. Pero en olas de longitud de onda corta presenta una inestabilidad y la ecuación es incorrecta para el problema de Cauchy, por ello Bogolubsky propuso la ecuación de Boussinesq mejorada. Esta ecuación es la última que estudiaremos en el capítulo 2 y es una ecuación físicamente estable, correcta para el problema de Cauchy y además como veremos en el capítulo 3, apropiada para las simulaciones numéricas. Como ya indicado, en el capi tulo 1 deduciremos las ecuaciones de Boussinesq a partir de las ecuaciones físicas del flujo potencial. El objetivo principal es deducir dos modelos de ecuaciones de Boussinesq acopladas y obtener su relación de dispersión. Para llegar a ello, se usa un método de la expansión asintótica de la velocidad potencial en términos de un pequeño parámetro. De esta manera conseguimos dos modelos distintos, cada uno asociado a uno de los dos modelo de disipación que hemos establecido. Por último dado que las ecuaciones siempre vienen dadas en variables dimensionales, volveremos a la notación dimensional para analizar la relación de dispersión de las ecuaciones de Boussinesq disipativas. En el capí tulo 2 pasaremos a su resolución analítica, buscando soluciones de tipo solitón. Introduciremos el método de la tangente hiperbólica, muy útil para encontrar soluciones exactas de ecuaciones no lineales. Usaremos este método para resolver la ecuación cúbica de Boussinesq, un sistema de ecuaciones acopladas de Boussinesq, la ecuación estandar de Boussinesq y la mejorada. Los sistemas que aparecen en la aplicación del método de la tangente hiperbólica estan resueltos usando el software Mathematica y uno de ellos irá incluido en el apéndice A. En el capíulo 3 se introduce un esquema en diferencias finitas, que sirve para convertir problemas de ecuaciones diferenciales en problemas algebraicos fácilmente resolubles numéricamente. Este método nos ayudaráa estudiar la estabilidad y a resolver la ecuación mejorada de Boussinesq numéricamente en dos ejemplos distintos. En el apéndice B incluiremos el programa para la resolución numérica del primer ejemplo con el Mathematica.

Comparación de la solución de ecuaciones diferenciales usando diferencias finitas y elemento finito

Tesis (Maestría en Ciencias de la Ingeniería Mecánica con Especialidad en Térmica y Fluidos) UANL

Análisis vectorial, ecuaciones diferenciales y transformadas de Fourier y de Laplace.

La presente obra está pensada como libro de texto para la asignatura de cálculo de los diferentes estudios de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales y de Telecomunicación de la Universidad de Cantabria. A medida que se presenta la teoría se incluye, con objeto de ilustrarla, un buen número de ejemplos sencillos. Cada capítulo finaliza con ejercicios resueltos detalladamente y una relación de ejercicios propuestos, algunos de ellos incluídos en exámen. Se desarrollan cuatro temas fundamentalmente: cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias, integral de Fourier y transformada de Laplace.

Elaboración de material de apoyo para las Ecuaciones Diferenciales de segundo curso de las Enseñanzas Técnicas.

El proyecto ha sido realizado por los doctores Ana Isabel Alonso de Mena, Jorge Álvarez López y Jesús Rojo García del Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad de Valladolid, junto con el doctor Jesús Vigo Aguiar del Departamento de Matemática Aplicada de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Salamanca. El objetivo fundamental del proyecto consistió en la elaboración de un libro de ejercicios y problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. El trabajo se organizó de acuerdo al siguiente esquema: 1) Se realizó una exhaustiva labor de recopilación bibliográfica sobre ecuaciones diferenciales y sobre la didáctica de esta materia y materias afines. 2) Los Profesores Ana Isabel Alonso de Mena y Jesús Vigo Aguiar se encargaron de la recogida y selección del material. La experiencia docente de Jesús Vigo Aguiar en diferentes Universidades aportó un punto de vista plural que favoreció la elección de aquellos problemas de mayor interés. 3) La resolución de los problemas fue tarea conjunta de todo el equipo. Cada miembro se encargó de la resolución de alguno de los bloques temáticos en que se subdivide el texto, así como de la revisión de los restantes.4) El profesor Jesús Rojo García aportó su experiencia en el proceso de elaboración y publicación de textos para orientar la redacción definitiva del libro.5) En todo momento la directora organizó el trabajo y coordinó cada uno de los aspectos. El resultado ha sido un texto que presenta una amplia colección de problemas en orden creciente de dificultad, totalmente resueltos. No ha sido publicado.

Aplicaciones elementales ligadas a las ecuaciones diferenciales y aspectos históricos.

Ponencia presentada al curso de Formación del profesorado celebrado en El Escorial los días 10 a 14 de julio de 2000