Integral cohomology of finite postnikov towers

Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l'on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane K(G,n) où G est un groupe abélien non trivial et n>1. L'objectif majeur de ce travail est d'étendre ce résultat à des H-espaces possédant plus d'un groupe d'homotopie non trivial. Dans le but de contrôler précisément le résultat de H. Cartan, on commence par étudier la dualité entre l'homologie et la cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane 2-locaux de type fini. On parvient ainsi à raffiner quelques résultats qui découlent des calculs de H. Cartan. Le résultat principal de ce travail peut être formulé comme suit. Soit X un H-espace ne possédant que deux groupes d'homotopie non triviaux, tous deux finis et de 2-torsion. Alors X n'admet pas d'exposant pour son groupe gradué d'homologie entière réduite. On construit une large classe d'espaces pour laquelle ce résultat n'est qu'une conséquence d'une caractéristique topologique, à savoir l'existence d'un rétract faible X K(G,n) pour un certain groupe abélien G et n>1. On généralise également notre résultat principal à des espaces plus compliqués en utilisant la suite spectrale d'Eilenberg-Moore ainsi que des méthodes analytiques faisant apparaître les nombres de Betti et leur comportement asymptotique. Finalement, on conjecture que les espaces qui ne possédent qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non triviaux n'admettent pas d'exposant homologique. Ce travail contient par ailleurs la présentation de la « machine d'Eilenberg-MacLane », un programme C++ conçu pour calculer explicitement les groupes d'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane. <br/><br/>By the work of H. Cartan, it is well known that one can find elements of arbitrarilly high torsion in the integral (co)homology groups of an Eilenberg-MacLane space K(G,n), where G is a non-trivial abelian group and n>1. The main goal of this work is to extend this result to H-spaces having more than one non-trivial homotopy groups. In order to have an accurate hold on H. Cartan's result, we start by studying the duality between homology and cohomology of 2-local Eilenberg-MacLane spaces of finite type. This leads us to some improvements of H. Cartan's methods in this particular case. Our main result can be stated as follows. Let X be an H-space with two non-vanishing finite 2-torsion homotopy groups. Then X does not admit any exponent for its reduced integral graded (co)homology group. We construct a wide class of examples for which this result is a simple consequence of a topological feature, namely the existence of a weak retract X K(G,n) for some abelian group G and n>1. We also generalize our main result to more complicated stable two stage Postnikov systems, using the Eilenberg-Moore spectral sequence and analytic methods involving Betti numbers and their asymptotic behaviour. Finally, we investigate some guesses on the non-existence of homology exponents for finite Postnikov towers. We conjecture that Postnikov pieces do not admit any (co)homology exponent. This work also includes the presentation of the "Eilenberg-MacLane machine", a C++ program designed to compute explicitely all integral homology groups of Eilenberg-MacLane spaces. <br/><br/>Il est toujours difficile pour un mathématicien de parler de son travail. La difficulté réside dans le fait que les objets qu'il étudie sont abstraits. On rencontre assez rarement un espace vectoriel, une catégorie abélienne ou une transformée de Laplace au coin de la rue ! Cependant, même si les objets mathématiques sont difficiles à cerner pour un non-mathématicien, les méthodes pour les étudier sont essentiellement les mêmes que celles utilisées dans les autres disciplines scientifiques. On décortique les objets complexes en composantes plus simples à étudier. On dresse la liste des propriétés des objets mathématiques, puis on les classe en formant des familles d'objets partageant un caractère commun. On cherche des façons différentes, mais équivalentes, de formuler un problème. Etc. Mon travail concerne le domaine mathématique de la topologie algébrique. Le but ultime de cette discipline est de parvenir à classifier tous les espaces topologiques en faisant usage de l'algèbre. Cette activité est comparable à celle d'un ornithologue (topologue) qui étudierait les oiseaux (les espaces topologiques) par exemple à l'aide de jumelles (l'algèbre). S'il voit un oiseau de petite taille, arboricole, chanteur et bâtisseur de nids, pourvu de pattes à quatre doigts, dont trois en avant et un, muni d'une forte griffe, en arrière, alors il en déduira à coup sûr que c'est un passereau. Il lui restera encore à déterminer si c'est un moineau, un merle ou un rossignol. Considérons ci-dessous quelques exemples d'espaces topologiques: a) un cube creux, b) une sphère et c) un tore creux (c.-à-d. une chambre à air). a) b) c) Si toute personne normalement constituée perçoit ici trois figures différentes, le topologue, lui, n'en voit que deux ! De son point de vue, le cube et la sphère ne sont pas différents puisque ils sont homéomorphes: on peut transformer l'un en l'autre de façon continue (il suffirait de souffler dans le cube pour obtenir la sphère). Par contre, la sphère et le tore ne sont pas homéomorphes: triturez la sphère de toutes les façons (sans la déchirer), jamais vous n'obtiendrez le tore. Il existe un infinité d'espaces topologiques et, contrairement à ce que l'on serait naïvement tenté de croire, déterminer si deux d'entre eux sont homéomorphes est très difficile en général. Pour essayer de résoudre ce problème, les topologues ont eu l'idée de faire intervenir l'algèbre dans leurs raisonnements. Ce fut la naissance de la théorie de l'homotopie. Il s'agit, suivant une recette bien particulière, d'associer à tout espace topologique une infinité de ce que les algébristes appellent des groupes. Les groupes ainsi obtenus sont appelés groupes d'homotopie de l'espace topologique. Les mathématiciens ont commencé par montrer que deux espaces topologiques qui sont homéomorphes (par exemple le cube et la sphère) ont les même groupes d'homotopie. On parle alors d'invariants (les groupes d'homotopie sont bien invariants relativement à des espaces topologiques qui sont homéomorphes). Par conséquent, deux espaces topologiques qui n'ont pas les mêmes groupes d'homotopie ne peuvent en aucun cas être homéomorphes. C'est là un excellent moyen de classer les espaces topologiques (pensez à l'ornithologue qui observe les pattes des oiseaux pour déterminer s'il a affaire à un passereau ou non). Mon travail porte sur les espaces topologiques qui n'ont qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non nuls. De tels espaces sont appelés des tours de Postnikov finies. On y étudie leurs groupes de cohomologie entière, une autre famille d'invariants, à l'instar des groupes d'homotopie. On mesure d'une certaine manière la taille d'un groupe de cohomologie à l'aide de la notion d'exposant; ainsi, un groupe de cohomologie possédant un exposant est relativement petit. L'un des résultats principaux de ce travail porte sur une étude de la taille des groupes de cohomologie des tours de Postnikov finies. Il s'agit du théorème suivant: un H-espace topologique 1-connexe 2-local et de type fini qui ne possède qu'un ou deux groupes d'homotopie non nuls n'a pas d'exposant pour son groupe gradué de cohomologie entière réduite. S'il fallait interpréter qualitativement ce résultat, on pourrait dire que plus un espace est petit du point de vue de la cohomologie (c.-à-d. s'il possède un exposant cohomologique), plus il est intéressant du point de vue de l'homotopie (c.-à-d. il aura plus de deux groupes d'homotopie non nuls). Il ressort de mon travail que de tels espaces sont très intéressants dans le sens où ils peuvent avoir une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Jean-Pierre Serre, médaillé Fields en 1954, a montré que toutes les sphères de dimension >1 ont une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Des espaces avec un exposant cohomologique aux sphères, il n'y a qu'un pas à franchir...

Generalization of Vélu’s formulae for isogenies between elliptic curves

Given an elliptic curve E and a finite subgroup G, V ́lu’s formulae concern to a separable isogeny IG : E → E ′ with kernel G. In particular, for a point P ∈ E these formulae express the first elementary symmetric polynomial on the abscissas of the points in the set P + G as the difference between the abscissa of IG (P ) and the first elementary symmetric polynomial on the abscissas of the nontrivial points of the kernel G. On the other hand, they express Weierstraß coefficients of E ′ as polynomials in the coefficients of E and two additional parameters: w0 = t and w1 = w. We generalize this by defining parameters wn for all n ≥ 0 and giving analogous formulae for all the elementary symmetric polynomials and the power sums on the abscissas of the points in P +G. Simultaneously, we obtain an efficient way of performing computations concerning the isogeny when G is a rational group.

Volcanoes of l-isogenies of elliptic curves over finite fields: the case l=3

This paper is devoted to the study of the volcanoes of l-isogenies of elliptic curves over a finite field, focusing on their height as well as on the location of curves across its different levels. The core of the paper lies on the relationship between the l-Sylow subgroup of an elliptic curve and the level of the volcano where it is placed. The particular case l = 3 is studied in detail, giving an algorithm to determine the volcano of 3-isogenies of a given elliptic curve. Experimental results are also provided.

Estudi de la contaminacio atmosferica de la plana del camp de Tarragona (Catalunya) prenent els liquens com a bioindicadors

Se evalua la contaminación atmosférica de la llanura litoral del Camp de Tarragona (Cataluña) tomando como bioindicadores los líquens epífitos del algarrobo (Ceratonia Siliqua). Se caracterizan ochenta y cinco estaciones según diversos parámetros: índice de pureza atmosférica (IPA), recubrimiento medio global (RMG) y nombres de especies. La combinación de los datos obtenidos permite dividir el área estudiada en seis zonas de isocontaminación. Por otra parte, se clasifican 15 especies de líquenes y el alga Pleurococcus en función de su resistencia a la contaminación atmosférica.

Acerca de la nomenclatura y tipificacion de algunos taxones del G. Dianthus L.

El objetivo de esta nota es aclarar en lo posible el intrincado panorama nomenclatural del género que nos ocupa. Trataremos en especial acerca de algunos binómenes establecidos por autores como Smith, Lapeyrouse y Timbal-Lagrave, a causa de los problemas que plantea el uso diverso que de ellos se ha hecho. Se imponía fijar la aplicación de tales nombres, designando, en los casos en que fuera posible, sus tipos nomenclaturales. Para ello hemos consultado los materiales originales, depositados en los herbarios: LINN The Linnean Society of London , P Muséum National d'Histoire Naturelle, Laboratoire de Phanérogamie, París y TL Laboratoire de Botanique, Université Paul Sabatier, Toulouse-: . Hacemos, también, algunas precisiones acerca de la nomenclatura de algunos híbridos existentes en la Península Ibérica.

¿Por qué adaptar a los clásicos?

Nadie discute la importancia de las obras clásicas, pero pocos tienen acceso a ellas. Sus nombres, sus autores forman el cuerpo de la historia de la literatura; son, pues, materia de estudio. Honran calles, plazas; visten centenarios, premios; arropan con su excelencia la historia del país, incluso dibujan rutas turísticas, en las que se contemplan esculturas de sus personajes y placas alusivas, y, sin embargo, la mayoría de los ciudadanos de esas ciudades y pueblos, y la gran parte de los transeúntes de esos caminos no han leído las obras literarias cuyos nombres conocen tan bien. Y lo que es peor, sus hijos y sus nietos no sólo no las van a leer, sino que no pueden leerlas. No estoy hablando de un extraño pueblo cuyos habitantes sufren una terrible maldición, no; estoy hablando de nuestro país y de nuestros clásicos, tal vez eso sí exagerando un poco

Balayage visuel des sujets effectuant l'auto-évaluation de l'échelle ELADEB

Introduction Les Echelles Lausannoises d'Auto-Evaluation des Difficultés et des Besoins ELADEB, est un outil utilisé en réhabilitation psychiatrique permettant de dresser le profil des problèmes rencontrés par les patients psychiatriques dans les principaux domaines de la vie quotidienne, ainsi que le besoin d'aide supplémentaire à celle déjà existante. Cet outil a déjà été validé dans une étude1 portant sur 94 patients et recueille un intérêt grandissant. Afin de compléter les données de validation recueillies lors de la première étude, nous présentons ici une seconde étude visant à comprendre d'avantage cet outil en le couplant à l'Eye tracker qui permet une étude du regard et ainsi observer des phénomènes visuels des sujets qui pratiquent l'auto-évaluation des difficultés et des besoins d'aide. Objectifs Cette étude pilote et exploratrice a pour but de mesurer l'exploration visuelle des cartes lors de l'évaluation d'ELADEB au travers des trois variables suivantes d'oculométrie récoltées au travers de l'outil de mesure de l'Eye tracker : (1) la variation de la taille pupillaire (pixels), (2) le rapport des nombres de points de fixation/temps, et (3) de la durée totale du temps de traitement de l'information de la carte (ms). Hypothèses. Le traitement visuel des cartes sélectionnées comme problèmes versus non problèmes sera différent chez tout le monde d'une part au niveau de : (1) la variation pupillaire, (2) du nombre de points de fixation de l'oeil/temps ainsi que (3) de la durée totale du traitement de l'information de la carte en fonction de notre compréhension. On peut poser l'hypothèse que l'émotion sera différente selon que la personne rencontre un problème ou non et ainsi, on peut s'attendre à ce que les cartes sélectionnées comme problèmes soient associées à une réaction émotionnelle plus importante que les autres, ce qui nous permettrait d'observer une corrélation entre le balayage visuel et ELADEB. Méthodes Cette étude exploratoire porte sur un échantillon de 10 sujets passant un test d'évaluation des difficultés et des besoins ELADEB, couplé à un appareil d'Eye tracking. Les critères d'inclusion des sujets sont : (1) hommes entre 30 et 40 ans, (2) dépourvu de symptômes psychotiques ou de psychoses. Les critères d'exclusion des sujets sont : (1) consommation d'alcool ou de drogues, (2) troubles psycho-organiques, (3) retard mental, (4) difficulté de compréhension de la langue française, (5) état de décompensation aiguë empêchant la réalisation de l'étude. Trois instruments sont utilisés comme supports d'analyses pour cette étude : (1) ELADEB, (2) l'Eye tracking et (3) le Gaze tracker. Le dispositif (2) d'Eye tracking se présente sous forme de lunettes particulières à porter par le sujet et qui permet de suivre les mouvements de l'oeil. L'une des caméras suit et enregistre les mouvements oculaires du sujet et permet de « voir en temps réel ce que voit le sujet et où il regarde » tandis que la seconde caméra scrute et analyse sa pupille. Les données sont ensuite répertoriées par le logiciel de mesures (3) « Gaze tracker », qui les analyse avec, à la fois une évaluation quantitative des points de fixation2 en se basant sur leurs nombres et leurs durées, ainsi qu'une mesure de la variation pupillaire fournie en pixels par le logiciel. Résultat(s) escompté(s) Il s'agit d'une étude exploratoire dans laquelle on espère retrouver les variations moyennes intra-sujets selon les hypothèses carte problème versus non problèmes. On peut s'attendre à trouver une retraduction des mesures de l'échelle ELADEB au travers de l'Eye tracking, ce qui concorderait avec les hypothèses énoncées et ajouterait encore d'avantage de validation à ELADEB au travers d'un outil pointu de mesure physiologique.

La influència dels continguts numèrics a l’hora de realitzar estratègies de càlcul mental

En aquesta recerca es presenta l’anàlisi de les estratègies que usen els alumnes de 4t de primària de l’escola Barnola d’Avinyó per a resoldre operacions de suma amb nombres de fins a dues xifres. A més, permet observar la seva evolució després d’haver dut a terme una unitat didàctica orientada a treballar i millorar de manera manipulativa i dinàmica, al llarg de set setmanes, els continguts numèrics. Per tant, amb els resultats obtinguts podem valorar si el fet de treballar continguts numèrics influencia en l’ús d’estratègies de càlcul mental i contrastar-ho amb diferents autors destacats en aquest àmbit.

Stability of nanoparticle agglomerates under mechanical stress and its effects on their release into the air

L'exposition professionnelle aux nanomatériaux manufacturés dans l'air présente des risques potentiels pour la santé des travailleurs dans les secteurs de la nanotechnologie. Il est important de comprendre les scénarios de libération des aérosols de nanoparticules dans les processus et les activités associées à l'exposition humaine. Les mécanismes de libération, y compris les taux de libération et les propriétés physico-chimiques des nanoparticules, déterminent leurs comportements de transport ainsi que les effets biologiques néfastes. La distribution de taille des particules d'aérosols est l'un des paramètres les plus importants dans ces processus. La stabilité mécanique d'agglomérats de nanoparticules affecte leurs distributions de tailles. Les potentiels de désagglomération de ces agglomérats déterminent les possibilités de leur déformation sous énergies externes. Cela rend les changements possibles dans leur distribution de taille et de la concentration en nombre qui vont finalement modifier leurs risques d'exposition. Les conditions environnementales, telles que l'humidité relative, peuvent influencer les processus de désagglomération par l'adhérence de condensation capillaire de l'humidité. L'objectif général de cette thèse était d'évaluer les scénarios de libération des nanomatériaux manufacturés des processus et activités sur le lieu de travail. Les sous-objectifs étaient les suivants: 1. Etudier les potentiels de désagglomération des nanoparticules dans des conditions environnementales variées. 2. Etudier la libération des nano-objets à partir de nanocomposites polymères; 3. Evaluer la libération de nanoparticules sur le lieu de travail dans des situations concrètes. Nous avons comparé différents systèmes de laboratoire qui présentaient différents niveau d'énergie dans l'aérosolisation des poudres. Des nanopoudres de TiO2 avec des hydrophilicités de surface distinctes ont été testées. Un spectromètre à mobilité électrique (SMPS), un spectromètre à mobilité aérodynamique (APS) et un spectromètre optique (OPC) ont été utilisés pour mesurer la concentration de particules et la distribution de taille des particules. La microscopie électronique à transmission (TEM) a été utilisée pour l'analyse morphologique d'échantillons de particules dans l'air. Les propriétés des aérosols (distribution de taille et concentration en nombre) étaient différentes suivant la méthode employée. Les vitesses des flux d'air d'aérosolisation ont été utilisées pour estimer le niveau d'énergie dans ces systèmes, et il a été montré que les tailles modales des particules étaient inversement proportionnelles à la vitesse appliquée. En général, les particules hydrophiles ont des diamètres plus grands et des nombres inférieurs à ceux des particules hydrophobes. Toutefois, cela dépend aussi des méthodes utilisées. La vitesse de l'air peut donc être un paramètre efficace pour le classement de l'énergie des procédés pour des systèmes d'aérosolisation similaires. Nous avons développé un système laboratoire pour tester les potentiels de désagglomération des nanoparticules dans l'air en utilisant des orifices critiques et un humidificateur. Sa performance a été comparée à un système similaire dans un institut partenaire. Une variété de nanopoudres différentes a été testée. Le niveau d'énergie appliquée et l'humidité ont été modifiés. Le SMPS et l'OPC ont été utilisés pour mesurer la concentration de particules et la distribution de la taille. Un TEM a été utilisé pour l'analyse morphologique d'échantillons de particules dans l'air. Le diamètre moyen des particules a diminué et la concentration en nombre s'est accrue lorsque des énergies externes ont été appliquées. Le nombre de particules inférieures à 100 nm a été augmenté, et celui au-dessus de 350 nm réduits. Les conditions humides ont faits exactement le contraire, en particulier pour les petites particules. En outre, ils ont réduits les effets de la différence de pression due à l'orifice. Les résultats suggèrent que la désagglomération d'agglomérats de nanoparticules dans l'air est possible dans la gamme d'énergie appliquée. Cependant, l'atmosphère humide peut favoriser leur agglomération et améliorer leurs stabilités en réduisant la libération de nanoparticules dans l'environnement. Nous proposons d'utiliser notre système pour le test de routine des potentiels de désagglomération des nanomatériaux manufacturés et de les classer. Un tel classement faciliterait la priorisation de l'exposition et du risque encouru en fonction du niveau d'ENM. Un système de perçage automatique et un système de sciage manuel ont été développés pour étudier la libération de nanoparticules à partir de différents types de nanocomposites. La vitesse de perçage et taille de la mèche ont été modifiées dans les expériences. La distribution de taille des particules et leur concentration en nombre ont été mesurées par un SMPS et un miniature diffusion size classifier (DISCmini). Les distributions de nanoparticules dans les composites et les particules libérées ont été analysés par un TEM et un microscope électronique à balayage (SEM). Les tests de perçage ont libérés un plus grand nombre de particules que le sciage. Des vitesses de perçage plus rapide et les mèches plus grandes ont augmentés la génération de particules. Les charges de nanoparticules manufacturées dans les composites ne modifient pas leurs comportements de libération dans les expériences de perçage. Toutefois, le sciage différencie les niveaux de libération entre les composites et les échantillons blancs. De plus, les vapeurs de polymères ont été générées par la chaleur de sciage. La plupart des particules libérées sont des polymères contenant des nanoparticules ou sur leurs surface. Les résultats ont souligné l'importance du type de processus et paramètres pour déterminer la libération de nanoparticules de composites. Les émissions secondaires telles que les fumées polymères appellent à la nécessité d'évaluations de l'exposition et de risque pour de tels scénarios. Une revue systématique de la littérature sur le sujet de libérations de nanoparticules dans l'air dans les secteurs industriels et laboratoires de recherche a été effectuée. Des stratégies de recherche des informations pertinentes et de stockage ont été développées. Les mécanismes de libération, tels que la taille de particules d'aérosol et de leur concentration en nombre, ont été comparés pour différentes activités. La disponibilité de l'information contextuelle qui est pertinente pour l'estimation de l'exposition humaine a été évaluée. Il a été constaté que les données relatives à l'exposition ne sont pas toujours disponibles dans la littérature actuelle. Les propriétés des aérosols libérés semblent dépendre de la nature des activités. Des procédés à haute énergie ont tendance à générer des plus hauts niveaux de concentrations de particules dans les gammes de plus petite taille. Les résultats peuvent être utiles pour déterminer la priorité des procédés industriels pour l'évaluation les risques associés dans une approche à plusieurs niveaux. Pour l'évaluation de l'exposition, la disponibilité de l'information peut être améliorée par le développement d'une meilleure méthode de communication des données.

Música hongaresa en el repertori violístic del segle XX : anàlisi de la rellevància dels compositors hongaresos en el creixent interès compositiu de la música per a viola del segle XX

En les següents pàgines s’intenta mostrar la gran quantitat i qualitat de música hongaresa per viola del segle XX disponible, el perquè de tant material en comparació amb altres èpoques i el grau de coneixement que es té d’aquest repertori. El treball està realitzat a través de la recopilació d’informació de tots els aspectes en relació, i d’enquestes a estudiants de viola que permeten conèixer altres aspectes com el contacte d’aquests amb la música hongaresa. Amb la seva lectura es pot descobrir una infinitat d’obres molt desconegudes, de noms importants per la història de l’instrument i del poc coneixement que es té d’alguns d’aquests aspectes.

Isospora bocamontensis (Protozoa: Apicomplexa) in captive yellow cardinal Gubernatrix cristata (Passeriformes: Emberezidae)

The yellow cardinal (Gubernatrix cristata) is a passerine found in southern Brazil, especially along the border with Uruguay and Argentina. It is an endangered species and its population is decreasing. Among the parasites that affect passerines, the genus Isospora is the most easily found in both captive and free-living birds. This parasite commonly causes injury to the intestinal tissue and could occasionally affect other organs. In this work we examined the occurrence of coccidiosis in captive yellow cardinals and its association with factors such as sex, use of parasiticides, type of enclosure, contact with feces, type of food and cleaning frequency. We collected fecal samples of 45 yellow cardinals, healthy and kept in captivity, in late afternoon at the end of the reproductive period. The examination showed parasitic infection by Isospora bocamontensis in 44.5% of the birds. This infection is not influenced by the sex of birds, but is significantly affected by the type of enclosure, contact with the feces, use of parasiticides, type of food and cleaning frequency. The results indicate that to keep yellow cardinals captive, these factors must be observed.

RECUEIL DES ŒUVRES POÉTIQUES de Jehan Molinet. Ms. in-fol. sur papier de 201 f., demi-rel. v. f, tr. r. (Rel. du XVIIIe siècle.)

Complainte (La) de Grece

Vetus testamentum, pars (Genesis-Job).

Ce ms. a été légué au chapitre de Notre-Dame par Pierre du Jardin, prêtre du diocèse de Limoges et chapelain de Notre-Dame de Paris, mort en 1431, comme l'indique la note au f. 251v: "Venerabilis et discretus vir deffunctus dominus Petrus de Orto, alias dictus Mallerat, presbiter Lemovicensis diocesis, quondam cappellanus hujus venerabilis eccelesie Parisiensis, qui obiit anno M° CCCC° XXXI° die XXIII° mensis aprilis, legavit per suum testamentum supra dicte ecclesie hunc presentem librum..." (XVe s.). Au f. 1 figure l'ex-libris "A la bibliotheque de l'Eglise de Paris" (XVIIe s.). Notre-Dame.

Français 1346

Contient : 1° « Le Triparty », de « NICOLAS CHUQUET », traité d'arithmétique ; 2° « Plusieurs aultres Invencions de nombres en general », recueil de problèmes d'arithmétique ; 3° « Commant la science des nombres se peult appliquer aux mesures de geometrie » ; 4° « Commant la science des nombres se peult appliquer au fait de marchandise »

Ensayo histórico etimológico y filológico sobre los apellidos castellanos, desde el siglo X hasta nuestra edad

UANL