La formula di Eulero per i poliedri fra storia e didattica

Questa tesi riguarda la formula di Eulero per i poliedri: F - S + V = 2 dove F indica il numero di facce, S il numero di spigoli e V quello dei vertici di un poliedro. Nel primo capitolo tratteremo i risultati ottenuti da Cartesio: egli fu il primo a considerare non solo le caratteristiche geometriche ma anche metriche di un solido. Partendo dall'analogia con le figure piane, riuscì a ricavare importanti relazioni nei solidi convessi, riguardanti il numero e la misura degli angoli piani, degli angoli solidi e delle facce. Non arrivò mai alla formulazione conosciuta oggi ma ne intuì le caratteristiche topologiche, che però non dimostrò mai. Nel secondo capitolo invece ci occuperemo di ciò che scoprì Eulero. Il manoscritto contenente i risultati di Cartesio era scomparso e quindi questi non erano più conosciuti dai matematici; Eulero, in accordo con quanto avviene per i poligoni, desiderava ottenere un metodo di classificazione per i poliedri e si mise a studiare le loro proprietà. Oltre alla sua formula, in un primo articolo ricavò importanti relazioni, e in un secondo lavoro ne propose una dimostrazione. Riportiamo in breve anche un confronto tra il lavoro di Cartesio e quello di Eulero. Il terzo capitolo invece riguarda il metodo e il rigore nella formulazione di teoremi e dimostrazioni: I. Lakatos ne fa un esame critico nel libro "Dimostrazioni e Confutazioni - la logica della scoperta matematica", simulando una lezione dove a tema compaiono la Formula di Eulero e le sue dimostrazioni. Noi cercheremo di analizzare questo suo lavoro. Su questi tre autori e i loro lavori riportiamo alcune considerazioni biografiche e storiche che possono offrire interessanti spunti didattici: infatti nel quarto e ultimo capitolo ci occuperemo di alcune considerazioni didattiche a proposito della Formula. La struttura sarà quella di un'ipotetica lezione a studenti di Scuola Media Inferiore e utilizzeremo i risultati ottenuti nei precedenti capitoli e una personale esperienza di tirocinio.

L'insegnamento della matematica nella scuola secondaria dall'Unità d'Italia

Questa tesi ripercorre le tappe principali della storia della scuola secondaria italiana, soffermandosi su quelle che hanno caratterizzato l'insegnamento della matematica. Inoltre analizza le caratteristiche delle prove di matematica assegnate alla maturità scientifica fin dalla nascita dell'esame di Stato.

Note sul ruolo dell'infinito in matematica

Questo elaborato realizzato assieme alla creazione di un link nel sito "progettomatematic@" tratta dell'infinito in tre modi diversi: la storia, l'applicazione ai frattali e alla crittografia. Inizia con una breve storia dai greci all'antinomia di Russel; poi si parla dei frattali in natura, di misura e dimensione di Hausdorff, polvere di Cantor e fiocco di neve di Koch. Infine si trova un riassunto dei cifrari storici famosi, con particolare attenzione al cifrario di Vernam, alla teoria dell'entropia di Shannon e alla dimostrazione che otp ha sicurezza assoluta.

La comprensione del concetto di limite, dalla storia alla pratica didattica.

Molti concetti basilari dell'Analisi Matematica si fondano sulla definizione di limite, della quale si è avuta una formulazione rigorosa solo nel XIX secolo, grazie a Cauchy e a Weierstrass. Il primo capitolo ripercorre brevemente le tappe storiche di un percorso lungo e difficile, durato circa 2000 anni, evidenziando le difficoltà dei grandi matematici che si sono occupati dei concetti infinitesimali. Nel secondo capitolo vengono esposte le possibili cause delle difficoltà degli studenti nell'apprendimento dei limiti. Nel terzo capitolo vengono descritte ed analizzate le risposte degli studenti liceali ed universitari ad un questionario sui limiti.

Storia, sviluppi e applicazioni dei logaritmi.

Scopo della tesi è la trattazione dei logaritmi a partire dalla storia di quest'ultimi, al loro sviluppo, fino ad arrivare alle diverse applicazioni dei logaritmi in svariate discipline. La tesi è strutturata in quattro capitoli, nel primo dei quali si parte analizzando quali istanze teoriche e necessità pratiche abbiano preparato la strada all'introduzione dei logaritmi. Vengono riportati alcuni passi del testo più importante dedicato da Nepero ai logaritmi, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, la modifica ad opera di Henry Briggs e la diffusione dei logaritmi in gran parte dell' Europa. Nel secondo capitolo viene evidenziato il legame tra i logaritmi e la geometria dell'iperbole per poi passare alla trattazione dei primi studi sulla curva logaritmica. Nel terzo capitolo viene esaminata la controversia tra Leibniz e Bernoulli sul significato da attribuire ai logaritmi dei numeri negativi soffermandosi su come Eulero uscì da una situazione di stallo proponendo una teoria dei logaritmi dei numeri complessi. Nel quarto ed ultimo capitolo vengono analizzati i diversi utilizzi della scala logaritmica ponendo soprattutto l'attenzione sul regolo calcolatore, arrivando infine a mostrare le applicazioni dei logaritmi in altre discipline.

Trigonometria: storia e applicazioni

Nella presente tesi si cerca di tratteggiare lo sviluppo storico della disciplina trigonometrica: da fedele alleata di astronomia e geodesia, appendice naturale di effemeridi e manuali topografici, fino all’emancipazione a scienza autonoma, branca indipendente della matematica pura. Un cammino lungo ed affascinante che attraversa i millenni: dalle prime tracce individuabili nella civiltà egizia ed in quella mesopotamica fino alla definitiva fioritura e successiva sistemazione logica della trigonometria degli archi e delle corde, avvenuta nel mondo greco ed alessandrino. Poi il rinascimento culturale europeo, passando attraverso la tradizione indiana e la mediazione arabo-islamica. Quindi il preludio alla trigonometria moderna grazie al contributo di matematici del calibro di Viète e Napier, sino alla scoperta delle sue innumerevoli applicazioni alla fisica durante la gloriosa Rivoluzione Scientifica. Infine la nascita e lo studio sistematico delle funzioni circolari, colonne portanti dell’analisi, ad opera di Eulero ed ancora la Rivoluzione Francese con Carnot e Fourier. Ampio spazio, inoltre, è dedicato a problemi ed applicazioni pratiche tratte da manuali per la scuola secondaria largamente diffusi intorno alla metà del secolo scorso.

L'evoluzione del concetto di integrale nella storia e all'interno della scuola

Argomento della presente tesi è il calcolo integrale. Nella prima parte dell'elaborato viene descritta l'evoluzione storica delle idee presenti già nella matematica antica, che conducono infine alla creazione del calcolo integrale vero e proprio, nei fondamentali lavori di Newton e Leibniz. Segue una sintetica descrizione delle sistematizzazioni formali della teoria dell'integrazione, ad opera di Riemann e successivamente Lebesgue, oltre alla generalizzazione dell'integrale di Riemann ideata da Sieltjes, di grande importanza, fra l'altro, nel calcolo delle probabilità. Si dà poi conto degli spazi funzionali con norme integrali (L^p, spazi di Sobolev). L'ultimo capitolo è dedicato all'insegnamento del calcolo integrale nella scuola secondaria in Italia, e alla sua evoluzione dall'inizio del XX secolo a oggi.

Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche ...

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Il Bollettino di matematica : giornale scientifico-didattico per li̕ncremento degli studi matematica nelle scuole medie--

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I numeri trascendenti nella storia

L'origine e lo sviluppo del concetto di numero trascendente attraversano quasi tutta la storia della matematica ed i risultati più importanti si sono ottenuti solo in tempi relativamente recenti. I numeri trascendenti costituiscono un argomento che ha sempre affascinato i matematici ma fino a poco tempo fa, in una prospettiva di epoche storiche, si conoscevano pochissimi esempi di numeri di cui si sapesse dimostrare la trascendenza. La dimostrazione della trascendenza di pi greco mette fine ai tentativi di risolvere per via elementare la quadratura del cerchio, uno dei problemi classici dell'antichità. Scopo di questa tesi è presentare delle dimostrazioni di esistenza dei numeri trascendenti utilizzabili anche a scopo didattico e dimostrare la trascendenza del numero di Nepero e di pi greco. Ho deciso, inoltre, nel mio lavoro di tesi, di ripercorrere le tappe principali dell'evoluzione storica del concetto di numero trascendente ed ho analizzato quelle che oltre ad essere di grande importanza storica, sono utili ad una migliore comprensione del concetto stesso. La presentazione di queste tappe può essere molto importante, a mio parere, da un punto di vista didattico in quanto i testi di matematica mostrano quasi sempre concetti e teoremi come entità assolute e immutabili, inserite nei giorni nostri, senza fare riferimento al contesto storico ed umano in cui le idee sono nate.

Insegnare matematica nell'era digitale: dall’ardesia al silicio in cinquant’anni

La prima parte dell’elaborato ripercorre la storia dell’introduzione delle tecnologie all’interno delle istituzioni scolastiche, sia dal punto di vista pratico, sia dal punto di vista legislativo, che ha accompagnato questo ingresso tutt’altro che lineare, a partire dagli anni ’80 fino ai giorni nostri grazie alle ultime introduzioni avvenute con la messa in atto del Piano Nazionale Scuola Digitale. Vengono poi descritti alcuni software utilizzati nelle scuole sia in passato che in tempi più recenti per arrivare agli ultimi sviluppi e agli applicativi online per lo studio della matematica. Infine nell’ultimo capitolo è descritta un’unità didattica riguardante lo studio della probabilità, ideata per gli allievi di una scuola secondaria di secondo grado che utilizza la LIM e alcuni software adeguati all’argomento proposto. Quello che emerge, però, è la difficoltà sia nella diffusione delle tecnologie nella scuola, sia nel loro utilizzo da parte dei docenti. Spesso gli insegnanti non hanno un livello adeguato di formazione in ambito tecnologico e quindi non sono in grado di sfruttare pienamente le potenzialità offerte. Il cammino per arrivare ad una completa formazione del personale docente e per la completa digitalizzazione delle scuole è ancora lungo e tortuoso. Tuttavia è importante ricordare che le tecnologie non possono essere la risposta a tutto, bensì un efficace mezzo per attirare l’attenzione e soprattutto stimolare la fantasia di alunni e docenti. Inoltre non si può pensare alcuna tecnologizzazione senza prima aver posto e consolidato le basi di un qualsivoglia argomento da proporre in classe con l’ausilio di software e hardware.

Il concetto di funzione: storia, applicazioni, sviluppi

Il concetto di funzione è tra i più rilevanti, ma anche tra i più controversi concetti matematici. In questo lavoro di tesi si è esaminato questo concetto a partire dalle sue origini fino ad arrivare alla definizione bourbakista, che è quella insegnata a tutti gli studenti a partire dalla scuola secondaria fino ad arrivare all'università. Successivamente si è analizzato in che modo questo delicato concetto viene presentato agli studenti delle scuole secondarie di secondo grado, osservando come le recenti Indicazioni Nazionali e Linee Guida danno suggerimenti per affrontare questo argomento, anche esaminando alcuni libri di testo. Infine si è descritto come il concetto di funzione abbia preso, in tempi relativamente recenti, un respiro più ampio dando luogo all'analisi funzionale, laddove le funzioni non sono più viste come corrispondenza punto a punto ma come oggetti che vengono osservati globalmente. Si considereranno infatti nuovi spazi i cui elementi sono funzioni.

Triángulo de Pascal. En el planteamiento de una situación problema

En este texto se presenta el desarrollo de los significados asociados con cada uno de los elementos que constituyen una red conceptual como un aporte primordial para el planteamiento de una situación problema; la presente obra, por ejemplo, permite el despliegue de un trabajo didáctico interesante pensado como posibilidad de matematizar, esto es, para llegar constructiva y significativamente a conceptos matemáticos considerados como fundamentales.

Una testimonianza silenziosa.Storia della Chiesa cattolica in Tunisia dal Trattato del Bardo alla ‘rivoluzione dei gelsomini’

The work examines the change involving the Church in Tunisia from the period of the Protectorate to the present through the fundamental moments of independence (1956) and the signing of the ‘Modus vivendi’ (1964). In the first structure of the “modern” Church, a fundamental role was played by the complex figure of the French Cardinal Charles-Allemand Lavigerie who, while giving strong impulse to setting up disinterested charitable social initiatives by the congregations (Pères Blancs, Soeurs Blanches and others), also represented the ideal of the ‘evangelizing’ (as well as colonial) Church which, despite its declared will to avoid proselytism, almost inevitably tended to slip into it. During the French Protectorate (1881-1956) the ecclesiastic institution concentrated strongly on itself, with little heed for the sensitivity of its host population, and developed its activities as if it were in a European country. From the social standpoint, the Church was mostly involved in teaching, which followed the French model, and health facilities. In the Church only the Pères Blancs missionaries were sincerely committed to promoting awareness of the local context and dialogue with the Muslims. The Catholic clergy in the country linked its religious activity close to the policy of the Protectorate, in the hope of succeeding in returning to the ancient “greatness of the African Church”, as the Eucharistic Congress in Carthage in 1930 made quite clear. The Congress itself planted the first seed in the twentyfive- year struggle that led the Tunisian population to independence in 1956 and the founding of the Republic in 1957. The conquest of independence and the ‘Modus vivendi’ marked a profound change in the situation and led to an inversion of roles: the Catholic community was given the right to exist only on the condition that it should not interfere in Tunisian society. The political project of Bourguiba, who led the Republic from 1957 to 1987, aimed to create a strongly egalitarian society, with a separation between political and religious powers. In particular, in referring to the Church, he appeared as a secularist with no hostility towards the Catholics who were, however, considered as “cooperators”, welcome so long as they were willing to place their skills at the service of the construction of the state. So, in the catholic Community was a tension between the will of being on the side of the country and that of conserving a certain distance from it and not being an integral part of it. In this process of reflection, the role of the Second Vatican Council was fundamental: it spread the idea of a Church open to the world and the other religions, in particular to Islam: the teaching of the Council led the congregations present in the country to accept the new condition. This new Church that emerged from the Council saw some important events in the process of “living together”, of “cultural mixing” and the search for a common ground between different realities. The almost contemporary arrival of Arab bishops raised awareness among the Tunisians of the existence of Christian Arabs and, at the same time, the Catholic community began considering their faith in a different way. In the last twenty years the situation has continued to change. Side by side with the priests present for decades or even those born there, some new congregations have begun to operate, albeit in small numbers: they have certainly revitalized the community of the faithful, but they sometimes appear more devoted to service “within” the Church, than to services for the population, and are thus characterized by exterior manifestations of their religion. This sort of presence has made it possible for Bourguiba's successor, Ben Ali (president from 1987 to 2011), to practice forms of tolerance even more clearly, but always limited to formal relations; the Tunisians are still far from having a real understanding of the Catholic reality, with certain exceptions connected to relations on a personal and not structured plane, as was the case in the previous period. The arrival of a good number of young people from sub-Saharan Africa, most of all students, belonging to the JCAT, and personnel of the BAD has “Africanized” the Church in Tunisia and has brought about an increase in Christians' exterior manifestations; but this is a visibility that is not blatant but discreet, with the implicit risk of the Church continuing to be perceived as a sort of exterior body, alien to the country; nor can we say, lacking proper documentation, how it will be possible to build a bridge between different cultures through the “accompaniment” of Christian wives of Tunisians. Today, the Church is living in a country that has less and less need of it; its presence, in the schools and in health facilities, is extremely reduced. And also in other sectors of social commitment, such as care for the disabled, the number of clergymen involved is quite small. The ‘revolution’ in 2011 and the later developments up to the present have brought about another socio-political change, characterized by a climate of greater freedom, but with as yet undefinable contours. This change in the political climate will inevitable have consequences in Tunisia’s approach to religious and cultural minorities, but it is far too soon to discuss this on the historical and scientific planes.

Nuove intersezioni: crimine e storia nella narrativa Italiana al cambio di millennio

My research investigates a recent tendency in Italian literature, characterized by elements of renewal within the novel-writing tradition and of discontinuity with postmodern culture. It proposes an interpretation of the genres of the historical novel and crime fiction in the last fifteen years, in order to underline the important role played by these types of narrative in revitalizing contemporary Italian literature. These modalities of writing are considered both individually and in their connections beyond a traditional notion of genre, emphasizing those characteristics which may be assumed as irreconcilable with a postmodern approach to fiction and those which, furthermore, seem to indicate attempts to take a new course. In particular, my study analyses the recent literary tendency to combine the elements of ‘crime’ and ‘history’ in order to represent political and social reality, and how the works examined relate to postmodern narrative. For this reason, I pay particular attention to the relationship between literature and the past and to the socio-political aspects connected with the praxis of narrating, offering an original interpretation of the way in which the authors studied engage with these characteristics.