Algebraische Zyklen auf abelschen Varietäten der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ (1,2,2,2)

Diese Arbeit besch"aftigt sich mit algebraischen Zyklen auf komplexen abelschen Variet"aten der Dimension 4. Ziel der Arbeit ist ein nicht-triviales Element in $Griff^{3,2}(A^4)$ zu konstruieren. Hier bezeichnet $A^4$ die emph{generische} abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$. Die ersten drei Kapitel sind eine Wiederholung von elementaren Definitionen und Begriffen und daher eine Festlegung der Notation. In diesen erinnern wir an elementare Eigenschaften der von Saito definierten Filtrierungen $F_S$ und $Z$ auf den Chowgruppen (vgl. cite{Sa0} und cite{Sa}). Wir wiederholen auch eine Beziehung zwischen der $F_S$-Filtrierung und der Zerlegung von Beauville der Chowgruppen (vgl. cite{Be2} und cite{DeMu}), welche aus cite{Mu} stammt. Die wichtigsten Begriffe in diesem Teil sind die emph{h"ohere Griffiths' Gruppen} und die emph{infinitesimalen Invarianten h"oherer Ordnung}. Dann besch"aftigen wir uns mit emph{verallgemeinerten Prym-Variet"aten} bez"uglich $(2:1)$ "Uberlagerungen von Kurven. Wir geben ihre Konstruktion und wichtige geometrische Eigenschaften und berechnen den Typ ihrer Polarisierung. Kapitel ref{p-moduli} enth"alt ein Resultat aus cite{BCV} "uber die Dominanz der Abbildung $p(3,2):mathcal R(3,2)longrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$. Dieses Resultat ist von Relevanz f"ur uns, weil es besagt, dass die generische abelsche Variet"at der Dimension 4 mit Polarisierung von Typ $(1,2,2,2)$ eine verallgemeinerte Prym-Variet"at bez"uglich eine $(2:1)$ "Uberlagerung einer Kurve vom Geschlecht $7$ "uber eine Kurve vom Geschlecht $3$ ist. Der zweite Teil der Dissertation ist die eigentliche Arbeit und ist auf folgende Weise strukturiert: Kapitel ref{Deg} enth"alt die Konstruktion der Degeneration von $A^4$. Das bedeutet, dass wir in diesem Kapitel eine Familie $Xlongrightarrow S$ von verallgemeinerten Prym-Variet"aten konstruieren, sodass die klassifizierende Abbildung $Slongrightarrow mathcal A_4(1,2,2,2)$ dominant ist. Desweiteren wird ein relativer Zykel $Y/S$ auf $X/S$ konstruiert zusammen mit einer Untervariet"at $Tsubset S$, sodass wir eine explizite Beschreibung der Einbettung $Yvert _Thookrightarrow Xvert _T$ angeben k"onnen. Das letzte und wichtigste Kapitel enth"ahlt Folgendes: Wir beweisen dass, die emph{ infinitesimale Invariante zweiter Ordnung} $delta _2(alpha)$ von $alpha$ nicht trivial ist. Hier bezeichnet $alpha$ die Komponente von $Y$ in $Ch^3_{(2)}(X/S)$ unter der Beauville-Zerlegung. Damit und mit Hilfe der Ergebnissen aus Kapitel ref{Cohm} k"onnen wir zeigen, dass [ 0neq [alpha ] in Griff ^{3,2}(X/S) . ] Wir k"onnen diese Aussage verfeinern und zeigen (vgl. Theorem ref{a4}) begin{theorem}label{maintheorem} F"ur $sin S$ generisch gilt [ 0neq [alpha _s ]in Griff ^{3,2}(A^4) , ] wobei $A^4$ die generische abelsche Variet"at der Dimension $4$ mit Polarisierung vom Typ $(1,2,2,2)$ ist. end{theorem}

Monodromy calculations for some differential equations

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist es w"{u}nschenswert, die Monodromiegruppe einer homogenen linearen Differenzialgleichung zu verstehen. Es sind nur wenige analytische Methoden zur Berechnung dieser Gruppe bekannt, daher entwickeln wir im ersten Teil dieser Arbeit eine numerische Methode zur Approximation ihrer Erzeuger.rnIm zweiten Abschnitt fassen wir die Grundlagen der Theorie der Uniformisierung Riemannscher Fl"achen und die der arithmetischen Fuchsschen Gruppen zusammen. Auss erdem erkl"aren wir, wie unsere numerische Methode bei der Bestimmung von uniformisierenden Differenzialgleichungen dienlich sein kann. F"ur arithmetische Fuchssche Gruppen mit zwei Erzeugern erhalten wir lokale Daten und freie Parameter von Lam'{e} Gleichungen, welche die zugeh"origen Riemannschen Fl"achen uniformisieren. rnIm dritten Teil geben wir einen kurzen Abriss zur homologischen Spiegelsymmetrie und f"uhren die $widehat{Gamma}$-Klasse ein. Wir erkl"aren wie diese genutzt werden kann, um eine Hodge-theoretische Version der Spiegelsymmetrie f"ur torische Varit"aten zu beweisen. Daraus gewinnen wir Vermutungen "uber die Monodromiegruppe $M$ von Picard-Fuchs Gleichungen von gewissen Familien $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ von $n$-dimensionalen Calabi-Yau Variet"aten. Diese besagen erstens, dass bez"uglich einer nat"urlichen Basis die Monodromiematrizen in $M$ Eintr"age aus dem K"orper $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$ haben. Und zweitens, dass sich topologische Invarianten des Spiegelpartners einer generischen Faser von $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ aus einem speziellen Element von $M$ rekonstruieren lassen. Schliess lich benutzen wir die im ersten Teil entwickelten Methoden zur Verifizierung dieser Vermutungen, vornehmlich in Hinblick auf Dimension drei. Dar"uber hinaus erstellen wir eine Liste von Kandidaten topologischer Invarianten von vermutlich existierenden dreidimensionalen Calabi-Yau Variet"aten mit $h^{1,1}=1$.

Specific PET-ligands for selected 5-HT and GABA A-receptor subtypes = PET-Liganden mit Spezifität für definierte 5-HT und GABA A-Rezeptor-Subtypen

Für diese Arbeit wurden sechs neue Benzodiazepinderivate, TC07, TC08, TC09, TC10, TC11 und TC12, hergestellt. Diese wurden mittels Radioligandenbindungsassay sowohl auf ihre Bindungseigenschaften für Membranen des Cerebellum, des Hippo-campus und des Cortex der Ratte hin untersucht, als auch für Membranen von HEK293 Zellen, die transient rekombinante GABAA Rezeptoren exprimierten. Zusätz-lich wurden kompetitive in situ Rezeptorautoradiographien an Rattenhirnschnitten mit den Liganden [3H]Ro15-4513 und [3H]R015-1788 durchgeführt. Zusammen ergaben sich aus diesen Experimenten deutliche Hinweise auf eine Selektivität der Verbindun-gen TC07, TC11 und TC12 für a5-Untereinheiten enthaltende GABAA Rezeptoren mit a5-Affinitäten im niedrigen nanomolaren Bereich. In vivo Bindungsexperimente in Ratten, mit [3H]Ro15-1788 als Tracer und TC07 als Kompetitor, ergaben, dass TC07 mehr [3H]Ro15-1788 im Vorderhirn als im Cerebellum verdrängt. Bezog man die regionale Verteilung der a5-Untereinheit des GABAA Rezep-tors im Rattenhirn mit ein – sehr wenige a5-Untereinheiten im Cerebellum, etwa 20 % der GABAA Rezeptor-Untereinheiten im Hippocampus – untermauerten diese Ergeb-nisse die Vermutung, TC07 könne a5-selektiv sein. Diese Daten bestätigten darü-berhinaus, dass TC07 die Blut-Hirn-Schranke passieren kann. Für elektrophysiologische Messungen mit TC07 und TC12 wurden die oben erwähnten transient transfizierten HEK293 Zellen verwendet, welche die GABAA Rezeptor Unte-reinheitenkombination a5b3g2 exprimierten. Das Dosis-Antwort Verhalten ergab keinen signifikanten Effekt für TC12. Die Daten von TC07 dagegen lassen auf einen schwach negativ modulatorischen Effekt schließen, was, zumindest theoretisch, die Möglichkeit eröffnet, TC07 auch als sogenannten cognitive enhancer einzusetzen. Der errechnete Ki-Wert lag in derselben Größenordnung wie der Ki-Wert, der anhand der Bindungsas-saydaten errechnet wurde. Insgesamt rechtfertigen die bisherigen Ergebnisse die radiochemische Markierung mit 18F von drei der sechs getesteten Verbindungen in der Reihenfolge TC07, TC12 und TC11. Des Weiteren wurde [18F]MHMZ, ein potentiell 5-HT2A selektiver Ligand und PET-Tracer einschließlich Vorläufer und Referenzverbindungen, mit hohen Ausbeuten syn-thetisiert (Herth, Debus et al. 2008). Autoradiographieexperimente mit Rattenhirn-schnitten zeigten hervorragende in situ Bindungseigenschaften der neuen Verbindung. Die Daten wiesen eine hohe Selektivität für 5-HT2A Rezeptoren in Verbindung mit einer niedrigen unspezifischen Bindung auf. [18F]MHMZ erfährt in vivo eine schnelle Metabo-lisierung, wobei ein polarer aktiver Metabolit entsteht, welcher vermutlich nicht die Blut-Hirn-Schranke passieren kann. Transversale, sagittale und coronale Kleintier-PET-Bilder des Rattenhirns zeigten eine hohe Anreicherung im frontalen Cortex und im Striatum, während im Cerebellum so gut wie keine Anreicherung festzustellen war. Diese Verteilung deckt sich mit der bekann-ten Verteilung der 5-HT2A Rezeptoren. Die in vivo Anreicherung scheint sich ebenfalls gut mit der Verteilung der in den Autoradiographieexperimenten gemessenen Bindung zu decken. Nach Berechnungen mit dem 4-Parameter Referenzgewebe Modell beträgt das Bindungspotential (BP) für den frontalen Cortex 1,45. Das Cortex zu Cerebellum Verhältnis wurde auf 2,7 nach 30 Minuten Messzeit bestimmt, was bemerkenswert nah an den von Lundkvist et al. für [11C]MDL 100907 publizierten Daten liegt. Abgesehen von der etwas niedrigeren Affinität waren die gemessenen in vitro, in situ und in vivo Daten denen von [3H]MDL 100907 und [11C]MDL 100907 sehr ähnlich, so dass wir ein [18F]Analogon in der Hand haben, das die bessere Selektivität von MDL 100907 verglichen mit Altanserin mit der längeren Halbwertszeit und den besse-ren Eigenschaften für die klinische Routine von 18F verglichen mit 11C verbindet. Die Ergebnisse von [18F]MHMZ rechtfertigenden weitere Experimente, um diesen Liganden für die klinische Routine am Menschen nutzbar zu machen.