Von nichtkommutativen Geometrien, ihren Symmetrien und etwas Hochenergiephysik

In den letzten fünf Jahren hat sich mit dem Begriff desspektralen Tripels eine Möglichkeit zur Beschreibungdes an Spinoren gekoppelten Gravitationsfeldes auf(euklidischen) nichtkommutativen Räumen etabliert. Die Dynamik dieses Gravitationsfeldes ist dabei durch diesogenannte spektrale Wirkung, dieSpur einer geeigneten Funktion des Dirac-Operators,bestimmt. Erstaunlicherweise kann man die vollständige Lagrange-Dichtedes (an das Gravitationsfeld gekoppelten) Standardmodellsder Elementarteilchenphysik, also insbesondere auch denmassegebenden Higgs-Sektor, als spektrale Wirkungeines entsprechenden spektralen Tripels ableiten. Diesesspektrale Tripel ist als Produkt des spektralenTripels der (kommutativen) Raumzeit mit einem speziellendiskreten spektralen Tripel gegeben. In der Arbeitwerden solche diskreten spektralen Tripel, die bis vorKurzem neben dem nichtkommutativen Torus die einzigen,bekannten nichtkommutativen Beispiele waren, klassifiziert. Damit kannnun auch untersucht werden, inwiefern sich dasStandardmodell durch diese Eigenschaft gegenüber anderenYang-Mills-Higgs-Theorien auszeichnet. Es zeigt sichallerdings, dasses - trotz mancher Einschränkung - eine sehr große Zahl vonModellen gibt, die mit Hilfe von spektralen Tripelnabgeleitet werden können. Es wäre aber auch denkbar, dass sich das spektrale Tripeldes Standardmodells durch zusätzliche Strukturen,zum Beispiel durch eine darauf ``isometrisch'' wirkendeHopf-Algebra, auszeichnet. In der Arbeit werden, um dieseFrage untersuchen zu können, sogenannte H-symmetrischespektrale Tripel, welche solche Hopf-Isometrien aufweisen,definiert.Dabei ergibt sich auch eine Möglichkeit, neue(H-symmetrische) spektrale Tripel mit Hilfe ihrerzusätzlichen Symmetrienzu konstruieren. Dieser Algorithmus wird an den Beispielender kommutativen Sphäre, deren Spin-Geometrie hier zumersten Mal vollständig in der globalen, algebraischen Sprache der NichtkommutativenGeometrie beschrieben wird, sowie dem nichtkommutativenTorus illustriert.Als Anwendung werden einige neue Beipiele konstruiert. Eswird gezeigt, dass sich für Yang-Mills Higgs-Theorien, diemit Hilfe von H-symmetrischen spektralen Tripeln abgeleitetwerden, aus den zusätzlichen Isometrien Einschränkungen andiefermionischen Massenmatrizen ergeben. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird kurz auf dieQuantisierung der spektralen Wirkung für diskrete spektraleTripel eingegangen.Außerdem wird mit dem Begriff des spektralen Quadrupels einKonzept für die nichtkommutative Verallgemeinerungvon lorentzschen Spin-Mannigfaltigkeiten vorgestellt.

Coupled-Cluster-Berechnungen von Parametern der Kernspin-Resonanz-Spektroskopie

Coupled-Cluster-Berechnungen von Parametern derKernspin-Resonanz-Spektroskopie Dissertationsschrift von Alexander A.Auer, Mainz 2002 Im Rahmen einer Studie der Berechnung von 13C-Verschiebungenwerdendie Einfluesse von Elektronenkorrelation, Basissatz,Gleichgewichtsgeometrie sowie Schwingungs- und Rotationseffekten separat betrachtet.Dabei zeigt sich, dass dieCoupled-Cluster-Singles-Doubles-Methode mitstoerungstheoretischer Behandlung der Dreifachanregungen(CCSD(T)) mit entsprechend grossen Basissaetzen bei Beruecksichtigung derNullpunktsschwingungseffekte Ergebnisse mit ca. 1 ppm Abweichung zum Experiment liefert. Eine Analyse der Elektronenkorrelationseffekte beiCoupled-Cluster- (CC-) Berechnungen von indirekten Spin-Spin-Kopplungskonstanten zeigt, dassCC-Methoden mit Hartree-Fock-Orbitalrelaxation zur Berechnung derKopplungskonstanten ungeeignet sind. Eine Loesung ist die Verwendung unrelaxierter CC-Methoden,in denendie HF-Orbitalrelaxation aus der Berechnung der gestoertenWellenfunktion ausgeschlossen wird. Full-Configuration-Interaction-Berechnungen fuer Borhydridzeigen,dass auf CC-Singles-Doubles-Niveau (CCSD) 94% und aufCC-Singles-Doubles-Triples-Niveau (CCSDT) 99% der Korrelationseffekte beschrieben werden. Weiterhin istdie Beruecksichtigung der Nullpunktsschwingung sowie die Wahl eines ausreichend grossen Basissatzes wichtig. Auf Grundlage der vorangegangenen Studien werden im letztenTeil zwei Beispiele zur Anwendung hochgenauer Berechnungen vonNMR-Parametern vorgestellt.Im Rahmen einer Studie der Spin-Spin-Kopplungskonstanten vonCyclopentan wird eine Karplus-Beziehungzwischen den Kopplungskonstanten und der Konformation desMolekuels aufgestellt, desweiteren werden die NMR-Parameter von Methylidinphosphanuntersucht.

Nichtkommutative Geometrie und Quantisierung von Raumzeiten und Konfigurationsräumen

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik istexperimentell hervorragend bestätigt, hat auf theoretischerSeite jedoch unbefriedigende Aspekte: Zum einen wird derHiggssektor der Theorie von Hand eingefügt, und zum anderenunterscheiden sich die Beschreibung des beobachtetenTeilchenspektrums und der Gravitationfundamental. Diese beiden Nachteile verschwinden, wenn mandas Standardmodell in der Sprache der NichtkommutativenGeometrie formuliert. Ziel hierbei ist es, die Raumzeit der physikalischen Theoriedurch algebraische Daten zu erfassen. Beispielsweise stecktdie volle Information über eine RiemannscheSpinmannigfaltigkeit M in dem Datensatz (A,H,D), den manspektrales Tripel nennt. A ist hierbei die kommutativeAlgebra der differenzierbaren Funktionen auf M, H ist derHilbertraum der quadratintegrablen Spinoren über M und D istder Diracoperator. Mit Hilfe eines solchen Tripels (zu einer nichtkommutativenAlgebra) lassen sich nun sowohl Gravitation als auch dasStandardmodell mit mathematisch ein und demselben Mittelerfassen. In der vorliegenden Arbeit werden nulldimensionale spektraleTripel (die diskreten Raumzeiten entsprechen) zunächstklassifiziert und in Beispielen wird eine Quantisierungsolcher Objekte durchgeführt. Ein Problem der spektralenTripel stellt ihre Beschränkung auf echt RiemannscheMetriken dar. Zu diesem Problem werden Lösungsansätzepräsentiert. Im abschließenden Kapitel der Arbeit wird dersogenannte 'Feynman-Beweis der Maxwellgleichungen' aufnichtkommutative Konfigurationsräume verallgemeinert.

Algebraische Beschreibung von Symmetrien: das Modell der Nichtkommutativen Multi-Tori

In der Nichtkommutativen Geometrie werden Räume und Strukturen durch Algebren beschrieben. Insbesondere werden hierbei klassische Symmetrien durch Hopf-Algebren und Quantengruppen ausgedrückt bzw. verallgemeinert. Wir zeigen in dieser Arbeit, daß der bekannte Quantendoppeltorus, der die Summe aus einem kommutativen und einem nichtkommutativen 2-Torus ist, nur den Spezialfall einer allgemeineren Konstruktion darstellt, die der Summe aus einem kommutativen und mehreren nichtkommutativen n-Tori eine Hopf-Algebren-Struktur zuordnet. Diese Konstruktion führt zur Definition der Nichtkommutativen Multi-Tori. Die Duale dieser Multi-Tori ist eine Kreuzproduktalgebra, die als Quantisierung von Gruppenorbits interpretiert werden kann. Für den Fall von Wurzeln der Eins erhält man wichtige Klassen von endlich-dimensionalen Kac-Algebren, insbesondere die 8-dim. Kac-Paljutkin-Algebra. Ebenfalls für Wurzeln der Eins kann man die Nichtkommutativen Multi-Tori als Hopf-Galois-Erweiterungen des kommutativen Torus interpretieren, wobei die Rolle der typischen Faser von einer endlich-dimensionalen Hopf-Algebra gespielt wird. Der Nichtkommutative 2-Torus besitzt bekanntlich eine u(1)xu(1)-Symmetrie. Wir zeigen, daß er eine größere Quantengruppen-Symmetrie besitzt, die allerdings nicht auf die Spektralen Tripel des Nichtkommutativen Torus fortgesetzt werden kann.

New developments in state-specific multireference coupled-cluster theory

Coupled-cluster theory in its single-reference formulation represents one of the most successful approaches in quantum chemistry for the description of atoms and molecules. To extend the applicability of single-reference coupled-cluster theory to systems with degenerate or near-degenerate electronic configurations, multireference coupled-cluster methods have been suggested. One of the most promising formulations of multireference coupled cluster theory is the state-specific variant suggested by Mukherjee and co-workers (Mk-MRCC). Unlike other multireference coupled-cluster approaches, Mk-MRCC is a size-extensive theory and results obtained so far indicate that it has the potential to develop to a standard tool for high-accuracy quantum-chemical treatments. This work deals with developments to overcome the limitations in the applicability of the Mk-MRCC method. Therefore, an efficient Mk-MRCC algorithm has been implemented in the CFOUR program package to perform energy calculations within the singles and doubles (Mk-MRCCSD) and singles, doubles, and triples (Mk-MRCCSDT) approximations. This implementation exploits the special structure of the Mk-MRCC working equations that allows to adapt existing efficient single-reference coupled-cluster codes. The algorithm has the correct computational scaling of d*N^6 for Mk-MRCCSD and d*N^8 for Mk-MRCCSDT, where N denotes the system size and d the number of reference determinants. For the determination of molecular properties as the equilibrium geometry, the theory of analytic first derivatives of the energy for the Mk-MRCC method has been developed using a Lagrange formalism. The Mk-MRCC gradients within the CCSD and CCSDT approximation have been implemented and their applicability has been demonstrated for various compounds such as 2,6-pyridyne, the 2,6-pyridyne cation, m-benzyne, ozone and cyclobutadiene. The development of analytic gradients for Mk-MRCC offers the possibility of routinely locating minima and transition states on the potential energy surface. It can be considered as a key step towards routine investigation of multireference systems and calculation of their properties. As the full inclusion of triple excitations in Mk-MRCC energy calculations is computational demanding, a parallel implementation is presented in order to circumvent limitations due to the required execution time. The proposed scheme is based on the adaption of a highly efficient serial Mk-MRCCSDT code by parallelizing the time-determining steps. A first application to 2,6-pyridyne is presented to demonstrate the efficiency of the current implementation.