Nichtkommutative Geometrie und Quantisierung von Raumzeiten und Konfigurationsräumen

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik istexperimentell hervorragend bestätigt, hat auf theoretischerSeite jedoch unbefriedigende Aspekte: Zum einen wird derHiggssektor der Theorie von Hand eingefügt, und zum anderenunterscheiden sich die Beschreibung des beobachtetenTeilchenspektrums und der Gravitationfundamental. Diese beiden Nachteile verschwinden, wenn mandas Standardmodell in der Sprache der NichtkommutativenGeometrie formuliert. Ziel hierbei ist es, die Raumzeit der physikalischen Theoriedurch algebraische Daten zu erfassen. Beispielsweise stecktdie volle Information über eine RiemannscheSpinmannigfaltigkeit M in dem Datensatz (A,H,D), den manspektrales Tripel nennt. A ist hierbei die kommutativeAlgebra der differenzierbaren Funktionen auf M, H ist derHilbertraum der quadratintegrablen Spinoren über M und D istder Diracoperator. Mit Hilfe eines solchen Tripels (zu einer nichtkommutativenAlgebra) lassen sich nun sowohl Gravitation als auch dasStandardmodell mit mathematisch ein und demselben Mittelerfassen. In der vorliegenden Arbeit werden nulldimensionale spektraleTripel (die diskreten Raumzeiten entsprechen) zunächstklassifiziert und in Beispielen wird eine Quantisierungsolcher Objekte durchgeführt. Ein Problem der spektralenTripel stellt ihre Beschränkung auf echt RiemannscheMetriken dar. Zu diesem Problem werden Lösungsansätzepräsentiert. Im abschließenden Kapitel der Arbeit wird dersogenannte 'Feynman-Beweis der Maxwellgleichungen' aufnichtkommutative Konfigurationsräume verallgemeinert.

The Standard Model of elementary particle physics (SM) isexperimentally well established, but has on theoretical sidesome unsatisfactory aspects: the first is, that the Higgssector has to be put in by hand, the second is the fact,that the description of the observed particlespectrum and gravitation differ fundamentally. Bothdisadvantages vanish by formulating the SM withinNoncommutative Geometry. Here the aim is the description of spacetimeproperties byalgebraic data. Complete information about a RiemannianSpinmanifold is contained in the data set (A,H,D) of aspectral triple, where A is the commutative algebra ofdifferentiable functions on M, H is the Hilbertspace ofsquareintegrable spinors and D is the Diracoperator. By means of such a triple (with noncommutative algebra) onecan describe the SM and gravitation on the same mathematicalfooting. In this work zerodimensional spectral triples (correspondingto discrete spacetimes) are classified and a quantisation ofsuch objects is carried out in examples. One problemconcerning spectral triples is their restriction to properRiemannian metrics. Proposals for possible solutions to thisproblem are presented. The last chapter deals with theso-called 'Feynman proof of the Maxwell equations', which isgeneralised to noncommutative configuration spaces.