Von nichtkommutativen Geometrien, ihren Symmetrien und etwas Hochenergiephysik

In den letzten fünf Jahren hat sich mit dem Begriff desspektralen Tripels eine Möglichkeit zur Beschreibungdes an Spinoren gekoppelten Gravitationsfeldes auf(euklidischen) nichtkommutativen Räumen etabliert. Die Dynamik dieses Gravitationsfeldes ist dabei durch diesogenannte spektrale Wirkung, dieSpur einer geeigneten Funktion des Dirac-Operators,bestimmt. Erstaunlicherweise kann man die vollständige Lagrange-Dichtedes (an das Gravitationsfeld gekoppelten) Standardmodellsder Elementarteilchenphysik, also insbesondere auch denmassegebenden Higgs-Sektor, als spektrale Wirkungeines entsprechenden spektralen Tripels ableiten. Diesesspektrale Tripel ist als Produkt des spektralenTripels der (kommutativen) Raumzeit mit einem speziellendiskreten spektralen Tripel gegeben. In der Arbeitwerden solche diskreten spektralen Tripel, die bis vorKurzem neben dem nichtkommutativen Torus die einzigen,bekannten nichtkommutativen Beispiele waren, klassifiziert. Damit kannnun auch untersucht werden, inwiefern sich dasStandardmodell durch diese Eigenschaft gegenüber anderenYang-Mills-Higgs-Theorien auszeichnet. Es zeigt sichallerdings, dasses - trotz mancher Einschränkung - eine sehr große Zahl vonModellen gibt, die mit Hilfe von spektralen Tripelnabgeleitet werden können. Es wäre aber auch denkbar, dass sich das spektrale Tripeldes Standardmodells durch zusätzliche Strukturen,zum Beispiel durch eine darauf ``isometrisch'' wirkendeHopf-Algebra, auszeichnet. In der Arbeit werden, um dieseFrage untersuchen zu können, sogenannte H-symmetrischespektrale Tripel, welche solche Hopf-Isometrien aufweisen,definiert.Dabei ergibt sich auch eine Möglichkeit, neue(H-symmetrische) spektrale Tripel mit Hilfe ihrerzusätzlichen Symmetrienzu konstruieren. Dieser Algorithmus wird an den Beispielender kommutativen Sphäre, deren Spin-Geometrie hier zumersten Mal vollständig in der globalen, algebraischen Sprache der NichtkommutativenGeometrie beschrieben wird, sowie dem nichtkommutativenTorus illustriert.Als Anwendung werden einige neue Beipiele konstruiert. Eswird gezeigt, dass sich für Yang-Mills Higgs-Theorien, diemit Hilfe von H-symmetrischen spektralen Tripeln abgeleitetwerden, aus den zusätzlichen Isometrien Einschränkungen andiefermionischen Massenmatrizen ergeben. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird kurz auf dieQuantisierung der spektralen Wirkung für diskrete spektraleTripel eingegangen.Außerdem wird mit dem Begriff des spektralen Quadrupels einKonzept für die nichtkommutative Verallgemeinerungvon lorentzschen Spin-Mannigfaltigkeiten vorgestellt.

In the preceding five years the notion of spectral triples,which describe the gravitional field and its coupling tospinors over (euclidean) noncommutative spaces, has been established. Thedynamics of this gravitational field is thereby given asthe so called spectral action, i.e. as the trace of somesuitable function of the Dirac operator. Astonishingly, one can derive the full Lagrange density ofthe standardmodel of elementary particle physics - and inparticularthe mass generating Higgs sector - as the spectral action ofa certain spectral triple. This spectral triple is given astheproduct of the spectral triple of (commutative) spacetimewith some discrete spectral triple.In the thesis we classify such discrete spectral triples,which have been the only known examplesof noncommutative spectral triples until recently. With thisresult at hand, one can then study to what extend this noncommutative description distinguishes the standardmodelwithin the class of all Yang-Mills-Higgs theories. It turns out, however, that - in spite of many restrictions- there still exist too many models which couldbe derived using spectral triples. It might be possible, that the spectral triple of thestandardmodel is distinguished by some additionalstructures,for instance by the 'isometrical action' of someHopf-algebra on it. To clarify this question, we define thenotionof H-symmetric spectral triples, which do possess suchHopf-isometries. As a side result this notion puts us ina position to construct new (H-symmetric) spectral tripleswith the help of their symmetries.We illustrate this algorithm on the examples of thecommutative sphere, whose spin geometry is for the firsttime completely worked outin the global, algebraic language of noncommutativegeometry, and on the example of the noncommutative Torus.As an application we construct a few new examples. We show,that for Yang-Mills theories which are derived fromH-symmetric spectral triples, the additional isometries willresult in restrictions on the fermionic mass matrices. In the last part of the thesis we briefly mention thequantization of the spectral action for discrete spectraltriples.Moreover we present the concept of spectral quadruples,which we believe toprovide the generalization (in the sense of noncommutativegeometry) of lorentzian spin manifolds.