Numerical simulation of some viscoelastic fluids

Numerical simulation of the Oldroyd-B type viscoelastic fluids is a very challenging problem. rnThe well-known High Weissenberg Number Problem" has haunted the mathematicians, computer scientists, and rnengineers for more than 40 years. rnWhen the Weissenberg number, which represents the ratio of elasticity to viscosity, rnexceeds some limits, simulations done by standard methods break down exponentially fast in time. rnHowever, some approaches, such as the logarithm transformation technique can significantly improve rnthe limits of the Weissenberg number until which the simulations stay stable. rnrnWe should point out that the global existence of weak solutions for the Oldroyd-B model is still open. rnLet us note that in the evolution equation of the elastic stress tensor the terms describing diffusive rneffects are typically neglected in the modelling due to their smallness. However, when keeping rnthese diffusive terms in the constitutive law the global existence of weak solutions in two-space dimension rncan been shown. rnrnThis main part of the thesis is devoted to the stability study of the Oldroyd-B viscoelastic model. rnFirstly, we show that the free energy of the diffusive Oldroyd-B model as well as its rnlogarithm transformation are dissipative in time. rnFurther, we have developed free energy dissipative schemes based on the characteristic finite element and finite difference framework. rnIn addition, the global linear stability analysis of the diffusive Oldroyd-B model has also be discussed. rnThe next part of the thesis deals with the error estimates of the combined finite element rnand finite volume discretization of a special Oldroyd-B model which covers the limiting rncase of Weissenberg number going to infinity. Theoretical results are confirmed by a series of numerical rnexperiments, which are presented in the thesis, too.

Numerical investigations on atmosphere-biosphere interactions

Der Austausch von Spurengasen und Aerosolpartikeln zwischenAtmosphäre und Biosphäre spielt eine wichtige Rolle in derAtmosphärenphysik und -chemie. Wälder repräsentieren sowohleine signifikante Senke als auch Quelle für Spurengase undPartikel und tragen somit maßgeblich zu derenatmosphärischem Budget bei. Strahlungsnebel beeinflußt durchAufnahme, Entfernen und Prozessieren von Aerosolpartikelnund löslichen Spurengasen deren Konzentrationen in derGasphase. In dieser Arbeit wird erstmalig ein Modell präsentiert,welches die Simulation des Austausches zwischen Atmosphäreund Biosphäre unter Berücksichtigung der dynamischenWechselwirkung zwischen Strahlungsnebel, Blattflächenwasserund Mehrphasenchemie ermöglicht. Numerische Fallstudien mitfolgenden Schwerpunkten werden präsentiert: - Einfluß von Vegetation und Blattflächenwasser auf diezeitlichen und räumlichen Schwankungen derGrößenabhängigkeit der Flüssigphasenkonzentrationen inNebeltropfen, - Einfluß von Blattflächenwasser auf dieTrockendepositionsflüsse von Ammoniak im Wald - Simulationenwurden mit einem neuen dynamischen Depositionsmodelldurchgeführt und mit dem Widerstandsansatz verglichen -, - Einfluß von physikalischen und chemischen Prozessen aufdie Reduktion von NO- und Isoprenemissionen aus demWaldbestand verglichen mit den primären Emissionen.

Novel simulation methods for Coulomb and hydrodynamic interactions

This thesis presents new methods to simulate systems with hydrodynamic and electrostatic interactions. Part 1 is devoted to computer simulations of Brownian particles with hydrodynamic interactions. The main influence of the solvent on the dynamics of Brownian particles is that it mediates hydrodynamic interactions. In the method, this is simulated by numerical solution of the Navier--Stokes equation on a lattice. To this end, the Lattice--Boltzmann method is used, namely its D3Q19 version. This model is capable to simulate compressible flow. It gives us the advantage to treat dense systems, in particular away from thermal equilibrium. The Lattice--Boltzmann equation is coupled to the particles via a friction force. In addition to this force, acting on {it point} particles, we construct another coupling force, which comes from the pressure tensor. The coupling is purely local, i.~e. the algorithm scales linearly with the total number of particles. In order to be able to map the physical properties of the Lattice--Boltzmann fluid onto a Molecular Dynamics (MD) fluid, the case of an almost incompressible flow is considered. The Fluctuation--Dissipation theorem for the hybrid coupling is analyzed, and a geometric interpretation of the friction coefficient in terms of a Stokes radius is given. Part 2 is devoted to the simulation of charged particles. We present a novel method for obtaining Coulomb interactions as the potential of mean force between charges which are dynamically coupled to a local electromagnetic field. This algorithm scales linearly, too. We focus on the Molecular Dynamics version of the method and show that it is intimately related to the Car--Parrinello approach, while being equivalent to solving Maxwell's equations with freely adjustable speed of light. The Lagrangian formulation of the coupled particles--fields system is derived. The quasi--Hamiltonian dynamics of the system is studied in great detail. For implementation on the computer, the equations of motion are discretized with respect to both space and time. The discretization of the electromagnetic fields on a lattice, as well as the interpolation of the particle charges on the lattice is given. The algorithm is as local as possible: Only nearest neighbors sites of the lattice are interacting with a charged particle. Unphysical self--energies arise as a result of the lattice interpolation of charges, and are corrected by a subtraction scheme based on the exact lattice Green's function. The method allows easy parallelization using standard domain decomposition. Some benchmarking results of the algorithm are presented and discussed.

Numerical and analytical approaches to strongly correlated electron systems

In this thesis we consider three different models for strongly correlated electrons, namely a multi-band Hubbard model as well as the spinless Falicov-Kimball model, both with a semi-elliptical density of states in the limit of infinite dimensions d, and the attractive Hubbard model on a square lattice in d=2. In the first part, we study a two-band Hubbard model with unequal bandwidths and anisotropic Hund's rule coupling (J_z-model) in the limit of infinite dimensions within the dynamical mean-field theory (DMFT). Here, the DMFT impurity problem is solved with the use of quantum Monte Carlo (QMC) simulations. Our main result is that the J_z-model describes the occurrence of an orbital-selective Mott transition (OSMT), in contrast to earlier findings. We investigate the model with a high-precision DMFT algorithm, which was developed as part of this thesis and which supplements QMC with a high-frequency expansion of the self-energy. The main advantage of this scheme is the extraordinary accuracy of the numerical solutions, which can be obtained already with moderate computational effort, so that studies of multi-orbital systems within the DMFT+QMC are strongly improved. We also found that a suitably defined Falicov-Kimball (FK) model exhibits an OSMT, revealing the close connection of the Falicov-Kimball physics to the J_z-model in the OSM phase. In the second part of this thesis we study the attractive Hubbard model in two spatial dimensions within second-order self-consistent perturbation theory. This model is considered on a square lattice at finite doping and at low temperatures. Our main result is that the predictions of first-order perturbation theory (Hartree-Fock approximation) are renormalized by a factor of the order of unity even at arbitrarily weak interaction (U->0). The renormalization factor q can be evaluated as a function of the filling n for 00, the q-factor vanishes, signaling the divergence of self-consistent perturbation theory in this limit. Thus we present the first asymptotically exact results at weak-coupling for the negative-U Hubbard model in d=2 at finite doping.

Numerical simulations of microphysical processes in pyro-convective clouds

Hochreichende Konvektion über Waldbränden ist eine der intensivsten Formen von atmosphärischer Konvektion. Die extreme Wolkendynamik mit hohen vertikalen Windgeschwindigkeiten (bis 20 m/s) bereits an der Wolkenbasis, hohen Wasserdampfübersättigungen (bis 1%) und die durch das Feuer hohen Anzahlkonzentration von Aerosolpartikeln (bis 100000 cm^-3) bilden einen besonderen Rahmen für Aerosol-Wolken Wechselwirkungen.Ein entscheidender Schritt in der mikrophysikalischen Entwicklung einer konvektiven Wolke ist die Aktivierung von Aerosolpartikeln zu Wolkentropfen. Dieser Aktivierungsprozess bestimmt die anfängliche Anzahl und Größe der Wolkentropfen und kann daher die Entwicklung einer konvektiven Wolke und deren Niederschlagsbildung beeinflussen. Die wichtigsten Faktoren, welche die anfängliche Anzahl und Größe der Wolkentropfen bestimmen, sind die Größe und Hygroskopizität der an der Wolkenbasis verfügbaren Aerosolpartikel sowie die vertikale Windgeschwindigkeit. Um den Einfluss dieser Faktoren unter pyro-konvektiven Bedingungen zu untersuchen, wurden numerische Simulationen mit Hilfe eines Wolkenpaketmodells mit detaillierter spektraler Beschreibung der Wolkenmikrophysik durchgeführt. Diese Ergebnisse können in drei unterschiedliche Bereiche abhängig vom Verhältnis zwischen vertikaler Windgeschwindigkeit und Aerosolanzahlkonzentration (w/NCN) eingeteilt werden: (1) ein durch die Aerosolkonzentration limitierter Bereich (hohes w/NCN), (2) ein durch die vertikale Windgeschwindigkeit limitierter Bereich (niedriges w/NCN) und (3) ein Übergangsbereich (mittleres w/NCN). Die Ergebnisse zeigen, dass die Variabilität der anfänglichen Anzahlkonzentration der Wolkentropfen in (pyro-) konvektiven Wolken hauptsächlich durch die Variabilität der vertikalen Windgeschwindigkeit und der Aerosolkonzentration bestimmt wird. rnUm die mikrophysikalischen Prozesse innerhalb der rauchigen Aufwindregion einer pyrokonvektiven Wolke mit einer detaillierten spektralen Mikrophysik zu untersuchen, wurde das Paketmodel entlang einer Trajektorie innerhalb der Aufwindregion initialisiert. Diese Trajektore wurde durch dreidimensionale Simulationen eines pyro-konvektiven Ereignisses durch das Model ATHAM berechnet. Es zeigt sich, dass die Anzahlkonzentration der Wolkentropfen mit steigender Aerosolkonzentration ansteigt. Auf der anderen Seite verringert sich die Größe der Wolkentropfen mit steigender Aerosolkonzentration. Die Reduzierung der Verbreiterung des Tropfenspektrums stimmt mit den Ergebnissen aus Messungen überein und unterstützt das Konzept der Unterdrückung von Niederschlag in stark verschmutzen Wolken.Mit Hilfe des Models ATHAM wurden die dynamischen und mikrophysikalischen Prozesse von pyro-konvektiven Wolken, aufbauend auf einer realistischen Parametrisierung der Aktivierung von Aerosolpartikeln durch die Ergebnisse der Aktivierungsstudie, mit zwei- und dreidimensionalen Simulationen untersucht. Ein modernes zweimomenten mikrophysikalisches Schema wurde in ATHAM implementiert, um den Einfluss der Anzahlkonzentration von Aerosolpartikeln auf die Entwicklung von idealisierten pyro-konvektiven Wolken in US Standardamtosphären für die mittleren Breiten und den Tropen zu untersuchen. Die Ergebnisse zeigen, dass die Anzahlkonzentration der Aerosolpartikel die Bildung von Regen beeinflusst. Für geringe Aerosolkonzentrationen findet die rasche Regenbildung hauptsächlich durch warme mikrophysikalische Prozesse statt. Für höhere Aerosolkonzentrationen ist die Eisphase wichtiger für die Bildung von Regen. Dies führt zu einem verspäteten Einsetzen von Niederschlag für verunreinigtere Atmosphären. Außerdem wird gezeigt, dass die Zusammensetzung der Eisnukleationspartikel (IN) einen starken Einfluss auf die dynamische und mikrophysikalische Struktur solcher Wolken hat. Bei sehr effizienten IN bildet sich Regen früher. Die Untersuchung zum Einfluss des atmosphärischen Hintergrundprofils zeigt eine geringe Auswirkung der Meteorologie auf die Sensitivität der pyro-konvektiven Wolken auf diernAerosolkonzentration. Zum Abschluss wird gezeigt, dass die durch das Feuer emittierte Hitze einen deutlichen Einfluss auf die Entwicklung und die Wolkenobergrenze von pyro-konvektive Wolken hat. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass in dieser Dissertation die Mikrophysik von pyrokonvektiven Wolken mit Hilfe von idealisierten Simulation eines Wolkenpaketmodell mit detaillierte spektraler Mikrophysik und eines 3D Modells mit einem zweimomenten Schema im Detail untersucht wurde. Es wird gezeigt, dass die extremen Bedingungen im Bezug auf die vertikale Windgeschwindigkeiten und Aerosolkonzentrationen einen deutlichen Einfluss auf die Entwicklung von pyro-konvektiven Wolken haben.

Numerical study of homogeneous and heterogeneous crystal nucleation in colloidal systems

Im Rahmen dieser Arbeit wurden Computersimulationen von Keimbildungs- und Kris\-tallisationsprozessen in rnkolloidalen Systemen durchgef\"uhrt. rnEine Kombination von Monte-Carlo-Simulationsmethoden und der Forward-Flux-Sampling-Technik wurde rnimplementiert, um die homogene und heterogene Nukleation von Kristallen monodisperser Hart\-kugeln zu untersuchen. rnIm m\"a\ss{ig} unterk\"uhlten Bulk-Hartkugelsystem sagen wir die homogenen Nukleationsraten voraus und rnvergleichen die Resultate mit anderen theoretischen Ergebnissen und experimentellen Daten. rnWeiterhin analysieren wir die kristallinen Cluster in den Keimbildungs- und Wachstumszonen, rnwobei sich herausstellt, dass kristalline Cluster sich in unterschiedlichen Formen im System bilden. rnKleine Cluster sind eher l\"anglich in eine beliebige Richtung ausgedehnt, w\"ahrend gr\"o\ss{ere} rnCluster kompakter und von ellipsoidaler Gestalt sind. rn rnIm n\"achsten Teil untersuchen wir die heterogene Keimbildung an strukturierten bcc (100)-W\"anden. rnDie 2d-Analyse der kristallinen Schichten an der Wand zeigt, dass die Struktur der rnWand eine entscheidende Rolle in der Kristallisation von Hartkugelkolloiden spielt. rnWir sagen zudem die heterogenen Kristallbildungsraten bei verschiedenen \"Ubers\"attigungsgraden voraus. rnDurch Analyse der gr\"o\ss{ten} Cluster an der Wand sch\"atzen wir zus\"atzlich den Kontaktwinkel rnzwischen Kristallcluster und Wand ab. rnEs stellt sich heraus, dass wir in solchen Systemen weit von der Benetzungsregion rnentfernt sind und der Kristallisationsprozess durch heterogene Nukleation stattfindet. rn rnIm letzten Teil der Arbeit betrachten wir die Kristallisation von Lennard-Jones-Kolloidsystemen rnzwischen zwei ebenen W\"anden. rnUm die Erstarrungsprozesse f\"ur ein solches System zu untersuchen, haben wir eine Analyse des rnOrdnungsparameters f\"ur die Bindung-Ausrichtung in den Schichten durchgef\"urt. rnDie Ergebnisse zeigen, dass innerhalb einer Schicht keine hexatische Ordnung besteht, rnwelche auf einen Kosterlitz-Thouless-Schmelzvorgang hinweisen w\"urde. rnDie Hysterese in den Erhitzungs-Gefrier\-kurven zeigt dar\"uber hinaus, dass der Kristallisationsprozess rneinen aktivierten Prozess darstellt.

Computer simulation studies of vector spin glasses

Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit klassischen Vektor-Spingläsern eine Art von ungeordneten Magneten - auf verschiedenen Gittertypen. Da siernbedeutsam für eine experimentelle Realisierung sind, ist ein theoretisches Verständnis von Spinglas-Modellen mit wenigen Spinkomponenten und niedriger Gitterdimension von großer Bedeutung. Da sich dies jedoch als sehr schwierigrnerweist, sind neue, aussichtsreiche Ansätze nötig. Diese Arbeit betrachtet daher den Limesrnunendlich vieler Spindimensionen. Darin entstehen mehrere Vereinfachungen im Vergleichrnzu Modellen niedriger Spindimension, so dass für dieses bedeutsame Problem Eigenschaften sowohl bei Temperatur Null als auch bei endlichen Temperaturenrnüberwiegend mit numerischen Methoden ermittelt werden. Sowohl hyperkubische Gitter als auch ein vielseitiges 1d-Modell werden betrachtet. Letzteres erlaubt es, unterschiedliche Universalitätsklassen durch bloßes Abstimmen eines einzigen Parameters zu untersuchen. "Finite-size scaling''-Formen, kritische Exponenten, Quotienten kritischer Exponenten und andere kritische Größen werden nahegelegt und mit numerischen Ergebnissen verglichen. Eine detaillierte Beschreibung der Herleitungen aller numerisch ausgewerteter Gleichungen wird ebenso angegeben. Bei Temperatur Null wird eine gründliche Untersuchung der Grundzustände und Defektenergien gemacht. Eine Reihe interessanter Größen wird analysiert und insbesondere die untere kritische Dimension bestimmt. Bei endlicher Temperatur sind der Ordnungsparameter und die Spinglas-Suszeptibilität über die numerisch berechnete Korrelationsmatrix zugänglich. Das Spinglas-Modell im Limes unendlich vieler Spinkomponenten kann man als Ausgangspunkt zur Untersuchung der natürlicheren Modelle mit niedriger Spindimension betrachten. Wünschenswert wäre natürlich ein Modell, das die Vorteile des ersten mit den Eigenschaften des zweiten verbände. Daher wird in Modell mit Anisotropie vorgeschlagen und getestet, mit welchem versucht wird, dieses Ziel zu erreichen. Es wird auf reizvolle Wege hingewiesen, das Modell zu nutzen und eine tiefergehende Beschäftigung anzuregen. Zuletzt werden sogenannte "real-space" Renormierungsgruppenrechnungen sowohl analytisch als auch numerisch für endlich-dimensionale Vektor-Spingläser mit endlicher Anzahl von Spinkomponenten durchgeführt. Dies wird mit einer zuvor bestimmten neuen Migdal-Kadanoff Rekursionsrelation geschehen. Neben anderen Größen wird die untere kritische Dimension bestimmt.

Numerical analysis of the relation between interactions and structure in a molecular fluid

Coarse graining is a popular technique used in physics to speed up the computer simulation of molecular fluids. An essential part of this technique is a method that solves the inverse problem of determining the interaction potential or its parameters from the given structural data. Due to discrepancies between model and reality, the potential is not unique, such that stability of such method and its convergence to a meaningful solution are issues.rnrnIn this work, we investigate empirically whether coarse graining can be improved by applying the theory of inverse problems from applied mathematics. In particular, we use the singular value analysis to reveal the weak interaction parameters, that have a negligible influence on the structure of the fluid and which cause non-uniqueness of the solution. Further, we apply a regularizing Levenberg-Marquardt method, which is stable against the mentioned discrepancies. Then, we compare it to the existing physical methods - the Iterative Boltzmann Inversion and the Inverse Monte Carlo method, which are fast and well adapted to the problem, but sometimes have convergence problems.rnrnFrom analysis of the Iterative Boltzmann Inversion, we elaborate a meaningful approximation of the structure and use it to derive a modification of the Levenberg-Marquardt method. We engage the latter for reconstruction of the interaction parameters from experimental data for liquid argon and nitrogen. We show that the modified method is stable, convergent and fast. Further, the singular value analysis of the structure and its approximation allows to determine the crucial interaction parameters, that is, to simplify the modeling of interactions. Therefore, our results build a rigorous bridge between the inverse problem from physics and the powerful solution tools from mathematics. rn