Numerical simulation of some viscoelastic fluids

Numerical simulation of the Oldroyd-B type viscoelastic fluids is a very challenging problem. rnThe well-known High Weissenberg Number Problem" has haunted the mathematicians, computer scientists, and rnengineers for more than 40 years. rnWhen the Weissenberg number, which represents the ratio of elasticity to viscosity, rnexceeds some limits, simulations done by standard methods break down exponentially fast in time. rnHowever, some approaches, such as the logarithm transformation technique can significantly improve rnthe limits of the Weissenberg number until which the simulations stay stable. rnrnWe should point out that the global existence of weak solutions for the Oldroyd-B model is still open. rnLet us note that in the evolution equation of the elastic stress tensor the terms describing diffusive rneffects are typically neglected in the modelling due to their smallness. However, when keeping rnthese diffusive terms in the constitutive law the global existence of weak solutions in two-space dimension rncan been shown. rnrnThis main part of the thesis is devoted to the stability study of the Oldroyd-B viscoelastic model. rnFirstly, we show that the free energy of the diffusive Oldroyd-B model as well as its rnlogarithm transformation are dissipative in time. rnFurther, we have developed free energy dissipative schemes based on the characteristic finite element and finite difference framework. rnIn addition, the global linear stability analysis of the diffusive Oldroyd-B model has also be discussed. rnThe next part of the thesis deals with the error estimates of the combined finite element rnand finite volume discretization of a special Oldroyd-B model which covers the limiting rncase of Weissenberg number going to infinity. Theoretical results are confirmed by a series of numerical rnexperiments, which are presented in the thesis, too.

Numerische Simulation viskoelastischer Flüssigkeiten vom Oldroyd-B Typ ist ein sehr komplexes Problem. rnTatsächlich beschäftigt das bekannte high Weissenberg number problem” viele Mathematiker, Informatiker und Ingenieure seit längerer Zeit. rnWenn die Weissenberg-Zahl, die das Verhältnis zwischen der Elastizität und der Viskosität rndes Fluides beschreibt, eine gewisse Schranke übersteigt, sind die Standardverfahren instabil und die Lösung exponentiell rnschnell in der Zeit wächst. Anderseits gibt es einige Ansätze, wie, z.B., die logarithmische Transformation, die rneine deutliche Verbesserung der Stabilität des Verfahrens und die Erhöhung der Schranke der Weissenberg-Zahl, für welche die rnnumerischen Simulationen stabil bleiben, erweisen.rn rnWir möchten darauf hinweisen, dass die globale Existenz schwacher Lösungen rnfür das Oldroyd-B Modell noch immer offen bleibt. Bei der Modellierung der Zeitevolution rndes elastischen Spannungstensors werden typischerweise die Diffusionseffekte aufgrund rnihrer Kleinheit vernachlässigt. Werden allerdings diese Diffusionsterme beibehalten, rnkann die globale Existenz schwacher Lösungen in zwei Raumdimension gezeigt werden.rn rnDer Hauptteil dieser Doktorarbeit ist den Stabilitätsuntersuchungen für die viskoelastischen Flüssigkeiten vom rnOldroyd-B Typ gewidmet. Als Erstes wird gezeigt, dass die freie Energie des diffusiven Oldroyd-B Modells sowie die rnlogarithmische-Transformation dissipativ in der Zeit sind. Weiterhin entwickeln wir dissipative numerische Verfahren, rndie auf der charakteristischen Finiten-Elementen-Methode und Finiten-Differenzen-Methode basieren. Darüberrnhinaus wird die lineare Stabilitätsanalyse des diffusiven Oldroyd-B Modells diskutiert.rnDer nächste Teil der Arbeit befasst sich mit den Fehlerschätzungen des kombinierten Finiten-Elementen- und rnFiniten-Volumen-Verfahrens für ein spezielles Oldroyd-B Modell mit der undendlichen Weissenberg-Zahl.rnTheoretische Ergebnisse werden durch eine Reihe von numerischen Experimenten, die in der Arbeit vorgestellt sind, bestätigt.