Numerical and analytical approaches to strongly correlated electron systems

In this thesis we consider three different models for strongly correlated electrons, namely a multi-band Hubbard model as well as the spinless Falicov-Kimball model, both with a semi-elliptical density of states in the limit of infinite dimensions d, and the attractive Hubbard model on a square lattice in d=2. In the first part, we study a two-band Hubbard model with unequal bandwidths and anisotropic Hund's rule coupling (J_z-model) in the limit of infinite dimensions within the dynamical mean-field theory (DMFT). Here, the DMFT impurity problem is solved with the use of quantum Monte Carlo (QMC) simulations. Our main result is that the J_z-model describes the occurrence of an orbital-selective Mott transition (OSMT), in contrast to earlier findings. We investigate the model with a high-precision DMFT algorithm, which was developed as part of this thesis and which supplements QMC with a high-frequency expansion of the self-energy. The main advantage of this scheme is the extraordinary accuracy of the numerical solutions, which can be obtained already with moderate computational effort, so that studies of multi-orbital systems within the DMFT+QMC are strongly improved. We also found that a suitably defined Falicov-Kimball (FK) model exhibits an OSMT, revealing the close connection of the Falicov-Kimball physics to the J_z-model in the OSM phase. In the second part of this thesis we study the attractive Hubbard model in two spatial dimensions within second-order self-consistent perturbation theory. This model is considered on a square lattice at finite doping and at low temperatures. Our main result is that the predictions of first-order perturbation theory (Hartree-Fock approximation) are renormalized by a factor of the order of unity even at arbitrarily weak interaction (U->0). The renormalization factor q can be evaluated as a function of the filling n for 0<n<1. In the limit n->0, the q-factor vanishes, signaling the divergence of self-consistent perturbation theory in this limit. Thus we present the first asymptotically exact results at weak-coupling for the negative-U Hubbard model in d=2 at finite doping.

In dieser Arbeit werden drei verschiedene Modelle stark korrelierter Elektronensysteme betrachtet. Diese sind ein Mehrband-Hubbard-Modell sowie ein Falicov-Kimball-Modell, die beide mit halb-elliptischer Zustandsdichte und im Limes unendlicher Dimensionen behandelt werden. Ausserdem wird das attraktive Hubbard-Modell auf dem Quadratgitter in zwei Dimensionen untersucht. Im ersten Teil der Arbeit wird ein Zweiband-Hubbard-Modell mit unterschiedlichen Bandbreiten und anisotroper Hund'scher Kopplung (J_z-Modell) im Limes unendlicher Dimensionen im Rahmen der Dynamischen Molekularfeld-Theorie (DMFT) behandelt. Das DMFT-Stoerstellenproblem wird dabei mittels einer Quanten-Monte-Carlo-Simulation (QMC) geloest. Als wichtigstes Resultat finden wir, dass das J_z-Modell das Phaenomen des orbital-selektiven Mott-Uebergangs (OSMT) beschreibt, im Gegensatz zu Ergebnissen frueherer Arbeiten. Das Modell wird dabei mit einem hochpraezisen DMFT-Algorithmus untersucht, der als Teil dieser Arbeit entwickelt wurde und welcher die QMC-Ergebnisse um die Hochfrequenzentwicklung der Selbstenergie ergaenzt. Der Hauptvorteil dieser Methode besteht in der aussergewoehnlichen Genauigkeit der numerischen Loesungen, die schon mit moderatem numerischen Aufwand erhalten werden koennen. Die Untersuchung von Mehrband-Systemen wird dadurch stark verbessert. Das Phaenomen des OSMT finden wir ebenfalls in einem Falicov-Kimball-Modell (FK), was die enge Verknuepfung der Physik des FK-Modells mit der orbital-selektiven Phase des J_z-Modells aufzeigt. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird das attraktive Hubbard-Modell in zweiter Ordnung selbstkonsistenter Stoerungstheorie in zwei raeumlichen Dimensionen untersucht. Das Modell wird dabei auf dem Quadratgitter bei endlicher Dotierung und im Grenzwert niedriger Temperatur betrachtet. Als wichtigstes Resultat finden wir hier, dass die Ergebnisse der Stoerungstheorie erster Ordnung (Hartree-Fock Naeherung) schon bei beliebig schwacher Wechselwirkung (U->0) um einen Faktor q der Ordnung eins renormiert werden. Der Renormierungsfaktor wird als Funktion der Fuellung n, mit 0<n<1, berechnet. Im Grenzwert n->0 finden wir, dass der q-Faktor verschwindet und folglich die Stoerungstheorie zusammenbricht. Damit haben wir die ersten aymptotisch exakten Ergebnisse fuer das attraktive Hubbard-Modell bei schwacher Kopplung und endlicher Dotierung in zwei Dimensionen erhalten.