Convergence results for stochastic particle systems with social interaction

We consider stochastic individual-based models for social behaviour of groups of animals. In these models the trajectory of each animal is given by a stochastic differential equation with interaction. The social interaction is contained in the drift term of the SDE. We consider a global aggregation force and a short-range repulsion force. The repulsion range and strength gets rescaled with the number of animals N. We show that for N tending to infinity stochastic fluctuations disappear and a smoothed version of the empirical process converges uniformly towards the solution of a nonlinear, nonlocal partial differential equation of advection-reaction-diffusion type. The rescaling of the repulsion in the individual-based model implies that the corresponding term in the limit equation is local while the aggregation term is non-local. Moreover, we discuss the effect of a predator on the system and derive an analogous convergence result. The predator acts as an repulsive force. Different laws of motion for the predator are considered.

Direct and inverse transient eddy current problems

Die vorliegende Arbeit behandelt Vorwärts- sowie Rückwärtstheorie transienter Wirbelstromprobleme. Transiente Anregungsströme induzieren elektromagnetische Felder, welche sogenannte Wirbelströme in leitfähigen Objekten erzeugen. Im Falle von sich langsam ändernden Feldern kann diese Wechselwirkung durch die Wirbelstromgleichung, einer Approximation an die Maxwell-Gleichungen, beschrieben werden. Diese ist eine lineare partielle Differentialgleichung mit nicht-glatten Koeffizientenfunktionen von gemischt parabolisch-elliptischem Typ. Das Vorwärtsproblem besteht darin, zu gegebener Anregung sowie den umgebungsbeschreibenden Koeffizientenfunktionen das elektrische Feld als distributionelle Lösung der Gleichung zu bestimmen. Umgekehrt können die Felder mit Messspulen gemessen werden. Das Ziel des Rückwärtsproblems ist es, aus diesen Messungen Informationen über leitfähige Objekte, also über die Koeffizientenfunktion, die diese beschreibt, zu gewinnen. In dieser Arbeit wird eine variationelle Lösungstheorie vorgestellt und die Wohlgestelltheit der Gleichung diskutiert. Darauf aufbauend wird das Verhalten der Lösung für verschwindende Leitfähigkeit studiert und die Linearisierbarkeit der Gleichung ohne leitfähiges Objekt in Richtung des Auftauchens eines leitfähigen Objektes gezeigt. Zur Regularisierung der Gleichung werden Modifikationen vorgeschlagen, welche ein voll parabolisches bzw. elliptisches Problem liefern. Diese werden verifiziert, indem die Konvergenz der Lösungen gezeigt wird. Zuletzt wird gezeigt, dass unter der Annahme von sonst homogenen Umgebungsparametern leitfähige Objekte eindeutig durch die Messungen lokalisiert werden können. Hierzu werden die Linear Sampling Methode sowie die Faktorisierungsmethode angewendet.

Analytische Ableitungen der Energie für den "Equation-of-Motion-Coupled-Cluster"-Ansatz zur Berechnung von Ionisationspotentialen

In der vorliegenden Arbeit wird die Theorie der analytischen zweiten Ableitungen für die EOMIP-CCSD-Methode formuliert sowie die durchgeführte Implementierung im Quantenchemieprogramm CFOUR beschrieben. Diese Ableitungen sind von Bedeutung bei der Bestimmung statischer Polarisierbarkeiten und harmonischer Schwingungsfrequenzen und in dieser Arbeit wird die Genauigkeit des EOMIP-CCSD-Ansatzes bei der Berechnung dieser Eigenschaften für verschiedene radikalische Systeme untersucht. Des Weiteren können mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitungen vibronische Kopplungsparameter berechnet werden, welche zur Simulation von Molekülspektren in Kombination mit dem Köppel-Domcke-Cederbaum (KDC)-Modell - in der Arbeit am Beispiel des Formyloxyl (HCO2)-Radikals demonstriert - benötigt werden.rnrnDer konzeptionell einfache EOMIP-CC-Ansatz wurde gewählt, da hier die Wellenfunktion eines Radikalsystems ausgehend von einem stabilen geschlossenschaligen Zustand durch die Entfernung eines Elektrons gebildet wird und somit die Problematik der Symmetriebrechung umgangen werden kann. Im Rahmen der Implementierung wurden neue Programmteile zur Lösung der erforderlichen Gleichungen für die gestörten EOMIP-CC-Amplituden und die gestörten Lagrange-Multiplikatoren zeta zum Quantenchemieprogramm CFOUR hinzugefügt. Die unter Verwendung des Programms bestimmten Eigenschaften werden hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit im Vergleich zu etablierten Methoden wie z.B. CCSD(T) untersucht. Bei der Berechnung von Polarisierbarkeiten und harmonischen Schwingungsfrequenzen liefert die EOMIP-CCSD-Theorie meist gute Resultate, welche nur wenig von den CCSD(T)-Ergebnissen abweichen. Einzig bei der Betrachtung von Radikalen, für die die entsprechenden Anionen nicht stabil sind (z.B. NH2⁻ und CH3⁻), liefert der EOMIP-CCSD-Ansatz aufgrund methodischer Nachteile keine aussagekräftige Beschreibung. rnrnDie Ableitungen der EOMIP-CCSD-Energie lassen sich auch zur Simulation vibronischer Kopplungen innerhalb des KDC-Modells einsetzen.rnZur Kopplung verschiedener radikalischer Zustände in einem solchen Modellpotential spielen vor allem die Ableitungen von Übergangsmatrixelementen eine wichtige Rolle. Diese sogenannten Kopplungskonstanten können in der EOMIP-CC-Theorie besonders leicht definiert und berechnet werden. Bei der Betrachtung des Photoelektronenspektrums von HCO2⁻ werden zwei Alternativen untersucht: Die vertikale Bestimmung an der Gleichgewichtsgeometrie des HCO2⁻-Anions und die Ermittlung adiabatischer Kraftkonstanten an den Gleichgewichtsgeometrien des Radikals. Lediglich das adiabatische Modell liefert bei Beschränkung auf harmonische Kraftkonstanten eine qualitativ sinnvolle Beschreibung des Spektrums. Erweitert man beide Modelle um kubische und quartische Kraftkonstanten, so nähern sich diese einander an und ermöglichen eine vollständige Zuordnung des gemessenen Spektrums innerhalb der ersten 1500 cm⁻¹. Die adiabatische Darstellung erreicht dabei nahezu quantitative Genauigkeit.