Direct and inverse transient eddy current problems

Die vorliegende Arbeit behandelt Vorwärts- sowie Rückwärtstheorie transienter Wirbelstromprobleme. Transiente Anregungsströme induzieren elektromagnetische Felder, welche sogenannte Wirbelströme in leitfähigen Objekten erzeugen. Im Falle von sich langsam ändernden Feldern kann diese Wechselwirkung durch die Wirbelstromgleichung, einer Approximation an die Maxwell-Gleichungen, beschrieben werden. Diese ist eine lineare partielle Differentialgleichung mit nicht-glatten Koeffizientenfunktionen von gemischt parabolisch-elliptischem Typ. Das Vorwärtsproblem besteht darin, zu gegebener Anregung sowie den umgebungsbeschreibenden Koeffizientenfunktionen das elektrische Feld als distributionelle Lösung der Gleichung zu bestimmen. Umgekehrt können die Felder mit Messspulen gemessen werden. Das Ziel des Rückwärtsproblems ist es, aus diesen Messungen Informationen über leitfähige Objekte, also über die Koeffizientenfunktion, die diese beschreibt, zu gewinnen. In dieser Arbeit wird eine variationelle Lösungstheorie vorgestellt und die Wohlgestelltheit der Gleichung diskutiert. Darauf aufbauend wird das Verhalten der Lösung für verschwindende Leitfähigkeit studiert und die Linearisierbarkeit der Gleichung ohne leitfähiges Objekt in Richtung des Auftauchens eines leitfähigen Objektes gezeigt. Zur Regularisierung der Gleichung werden Modifikationen vorgeschlagen, welche ein voll parabolisches bzw. elliptisches Problem liefern. Diese werden verifiziert, indem die Konvergenz der Lösungen gezeigt wird. Zuletzt wird gezeigt, dass unter der Annahme von sonst homogenen Umgebungsparametern leitfähige Objekte eindeutig durch die Messungen lokalisiert werden können. Hierzu werden die Linear Sampling Methode sowie die Faktorisierungsmethode angewendet.

This work considers direct and inverse transient eddy current problems. Transient excitation currents generate electromagnetic fields, which in turn induce electric currents in proximal conductors. For slowly varying fields this can be described by the eddy current equation, an approximation to Maxwell's equations. It is a linear partial differential equation with non-smooth coecients and of mixed parabolic-elliptic type. The direct problem consists of determining the electric field as the distributional solution of the equation from knowledge of the excitation and the coefficients describing the considered medium. Conversely, the fields can be measured by measurement coils. The inverse problem is then to infer information about the coefficient describing the conductors from these measurements. This work presents a variational solution theory and discusses if the equation is well-posed. Furthermore, the solution's behavior for vanishing conductivity coefficient is studied and a linearization of the equation without conducting object towards the appearance of a conducting object is given. Two modifications are proposed to regularize the equation, which lead to a fully parabolic, respectively, a fully elliptic problem. Both are verified by proving the convergence of the solutions. Finally, considering the inverse problem of locating the conductors surrounded by a homogeneous medium and using linear sampling and factorization methods, it is shown that their position and shape are uniquely determined by the measurements.