Gruppi risolubili

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Proposta di traduzione in francese di parte del sito web "www.Turismo.Ra.It"

Questo elaborato finale analizza la mia proposta di traduzione di parte del sito internet www.turismo.ra.it. Ho intrapreso la traduzione delle pagine di questo sito nel quadro di una collaborazione volontaria con il Comune di Ravenna; anche il mio tirocinio curricolare si è concentrato sulla traduzione del sito. Ho deciso dunque di articolare la tesi come segue: il primo capitolo, si concentra sulla teoria dei siti internet e sulla loro organizzazione, focalizzando l’interesse sulle modalità di scrittura sul web, mentre il secondo capitolo tratta l’analisi del sito, ponendo particolare attenzione alla sua struttura. La mia proposta di traduzione segue poi nel terzo capitolo, mentre nel quarto offro una possibile analisi dei testi tradotti, con commenti relativi agli aspetti linguistici e alle difficoltà riscontrate, e analizzando la memoria di traduzione da me creata nel corso della mia attività. L’elaborato si conclude con alcune mie considerazioni finali circa l’attività svolta, e la bibliografia, con annessa sitografia, da me consultate per lo svolgimento del mio lavoro di ricerca.

Lattices and discrete methods in cooperative games and decisions

Questa tesi si pone l'obiettivo di presentare la teoria dei giochi, in particolare di quelli cooperativi, insieme alla teoria delle decisioni, inquadrandole formalmente in termini di matematica discreta. Si tratta di due campi dove l'indagine si origina idealmente da questioni applicative, e dove tuttavia sono sorti e sorgono problemi più tipicamente teorici che hanno interessato e interessano gli ambienti matematico e informatico. Anche se i contributi iniziali sono stati spesso formulati in ambito continuo e utilizzando strumenti tipici di teoria della misura, tuttavia oggi la scelta di modelli e metodi discreti appare la più idonea. L'idea generale è quindi quella di guardare fin da subito al complesso dei modelli e dei risultati che si intendono presentare attraverso la lente della teoria dei reticoli. Ciò consente di avere una visione globale più nitida e di riuscire agilmente ad intrecciare il discorso considerando congiuntamente la teoria dei giochi e quella delle decisioni. Quindi, dopo avere introdotto gli strumenti necessari, si considerano modelli e problemi con il fine preciso di analizzare dapprima risultati storici e solidi, proseguendo poi verso situazioni più recenti, più complesse e nelle quali i risultati raggiunti possono suscitare perplessità. Da ultimo, vengono presentate alcune questioni aperte ed associati spunti per la ricerca.

Gruppi liberi e giochi di parole

La struttura di gruppo è una delle strutture algebriche più semplici e fondamentali della matematica. Un gruppo si può descrivere in vari modi. Noi abbiamo illustrato la presentazione tramite generatori e relazioni, che consiste sostanzialmente nell'elencare le "regole di calcolo" che valgono nel gruppo considerato, oltre a quelle che derivano dagli assiomi di gruppo. L'idea principale di questa tesi è quella di mostrare come un argomento così tecnico e specifico possa essere reso "elementare" e anche divertente. Siamo partiti dalla costruzione di un gioco, inventando regole da aggiungere di volta in volta. Abbiamo poi tentato di spiegare il medesimo concetto da un punto di vista teorico, tramite la teoria dei gruppi liberi. Si tratta di gruppi che hanno un insieme di generatori soddisfacenti unicamente alle relazioni che sono conseguenza degli assiomi di gruppo.Ogni gruppo è un quoziente di un gruppo libero su un appropriato insieme di generatori per un sottogruppo normale, generato dalle relazioni. Infine si è illustrato il problema della parola formulato da Max Dhen nel 1911, e si è visto come tale problema è risolubile per i gruppi liberi.

H-gruppi e co-H-gruppi

Si inizia generalizzando la teoria dei gruppi a categorie qualsiasi, quindi senza necessariamente un insieme sostegno, studiando anche i cogruppi, ovvero gli oggetti duali dei gruppi, e caratterizzando in termini categoriali tali strutture. Vengono poi studiati oggetti topologici con la struttura di gruppo generalizzato vista inizialmente, compatibile con la struttura topologica. L'utilità degli H-gruppi e dei co-H-gruppi è specialmente in topologia algebrica, dove la struttura di questi oggetti fornisce molte informazioni sul loro comportamento, in termini di gruppi di omotopia e di più generici gruppi di mappe fra loro e altri spazi. Vengono poi dati esempi di questi oggetti, e si studia come i co-H-gruppi, in particolare, permettono di definire i gruppi di omotopia e di dimostrare i risultati fondamentali della teoria dell'omotopia.

Fasi geometriche, fase di Berry ed effetto Aharonov-Bohm

Un sistema sottoposto ad una lenta evoluzione ciclica è descritto da un'Hamiltoniana H(X_1(t),...,X_n(t)) dipendente da un insieme di parametri {X_i} che descrivono una curva chiusa nello spazio di appartenenza. Sotto le opportune ipotesi, il teorema adiabatico ci garantisce che il sistema ritornerà nel suo stato di partenza, e l'equazione di Schrödinger prevede che esso acquisirà una fase decomponibile in due termini, dei quali uno è stato trascurato per lungo tempo. Questo lavoro di tesi va ad indagare principalmente questa fase, detta fase di Berry o, più in generale, fase geometrica, che mostra della caratteristiche uniche e ricche di conseguenze da esplorare: essa risulta indipendente dai dettagli della dinamica del sistema, ed è caratterizzata unicamente dal percorso descritto nello spazio dei parametri, da cui l'attributo geometrico. A partire da essa, e dalle sue generalizzazioni, è stata resa possibile l'interpretazione di nuovi e vecchi effetti, come l'effetto Aharonov-Bohm, che pare mettere sotto una nuova luce i potenziali dell'elettromagnetismo, e affidare loro un ruolo più centrale e fisico all'interno della teoria. Il tutto trova una rigorosa formalizzazione all'interno della teoria dei fibrati e delle connessioni su di essi, che verrà esposta, seppur in superficie, nella parte iniziale.

Algoritmi quantistici e classi di complessità

Solitamente il concetto di difficoltà è piuttosto soggettivo, ma per un matematico questa parola ha un significato diverso: anche con l’aiuto dei più potenti computer può essere impossibile trovare la soluzione di un sudoku, risolvere l’enigma del commesso viaggiatore o scomporre un numero nei suoi fattori primi; in questo senso le classi di complessità computazionale quantificano il concetto di difficoltà secondo le leggi dell’informatica classica. Una macchina quantistica, però, non segue le leggi classiche e costituisce un nuovo punto di vista in una frontiera della ricerca legata alla risoluzione dei celebri problemi del millennio: gli algoritmi quantistici implementano le proprietà straordinarie e misteriose della teoria dei quanti che, quando applicate lucidamente, danno luogo a risultati sorprendenti.

Punti razionali di ordine finito su una curva ellittica

Questa tesi nasce dal voler approfondire lo studio delle curve piane di grado 3 iniziato nel corso di Geometria Proiettiva. In particolare si andrà a studiare la legge di gruppo che si può definire su tali curve e i punti razionali di ordine finito appartenenti alle curve ellittiche. Nel primo capitolo si parla di equazioni diofantee, dell’Ultimo Teorema di Fermat, dell'equazione e della formula di duplicazione di Bachet. Si parla inoltre dello stretto rapporto tra la geometria, l'algebra e la teoria dei numeri nella teoria delle curve ellittiche e come le curve ellittiche siano importanti nella crittografia. Nel secondo capitolo vengono enunciate alcune definizioni, proposizioni e teoremi, riguardanti polinomi e curve ellittiche. Nel terzo capitolo viene introdotta la forma normale di una cubica. Nel quarto capitolo viene descritta la legge di gruppo su una cubica piana non singolare e la costruzione geometrica che porta ad essa; si vede il caso particolare della legge di gruppo per una cubica razionale in forma normale ed inoltre si ricavano le formule esplicite per la somma di due punti appartenenti ad una cubica. Nel capitolo cinque si iniziano a studiare i punti di ordine finito per una curva ellittica con la legge di gruppo dove l'origine è un flesso: vengono descritti e studiati i punti di ordine 2 e quelli di ordine 3. Infine, nel sesto capitolo si studiano i punti razionali di ordine finito qualsiasi: viene introdotto il concetto di discriminante di una cubica e successivamente viene enunciato e dimostrato il teorema di Nagell-Lutz.

Virtualizzazione di funzioni di rete su piattaforme per cloud computing

Questo documento affronta le novità ed i vantaggi introdotti nel mondo delle reti di telecomunicazioni dai paradigmi di Software Defined Networking e Network Functions Virtualization, affrontandone prima gli aspetti teorici, per poi applicarne i concetti nella pratica, tramite casi di studio gradualmente più complessi. Tali innovazioni rappresentano un'evoluzione dell'architettura delle reti predisposte alla presenza di più utenti connessi alle risorse da esse offerte, trovando quindi applicazione soprattutto nell'emergente ambiente di Cloud Computing e realizzando in questo modo reti altamente dinamiche e programmabili, tramite la virtualizzazione dei servizi di rete richiesti per l'ottimizzazione dell'utilizzo di risorse. Motivo di tale lavoro è la ricerca di soluzioni ai problemi di staticità e dipendenza, dai fornitori dei nodi intermedi, della rete Internet, i maggiori ostacoli per lo sviluppo delle architetture Cloud. L'obiettivo principale dello studio presentato in questo documento è quello di valutare l'effettiva convenienza dell'applicazione di tali paradigmi nella creazione di reti, controllando in questo modo che le promesse di aumento di autonomia e dinamismo vengano rispettate. Tale scopo viene perseguito attraverso l'implementazione di entrambi i paradigmi SDN e NFV nelle sperimentazioni effettuate sulle reti di livello L2 ed L3 del modello OSI. Il risultato ottenuto da tali casi di studio è infine un'interessante conferma dei vantaggi presentati durante lo studio teorico delle innovazioni in analisi, rendendo esse una possibile soluzione futura alle problematiche attuali delle reti.

Prodotto di funzioni generalizzate

Le funzioni generalizzate sono uno strumento matematico che trova la sua applicazione fisica quando si trattano problemi con discontinuità o singolarità. Risulta perciò necessario formulare una teoria in grado di descrivere completamente questi oggetti e le loro proprietà. Nella teoria delle funzioni generalizzate il problema del loro prodotto è tuttora aperto poiché non esiste un metodo univoco per dare la definizione tra questi oggetti. Lo scopo di questo elaborato è di presentare la teoria delle funzioni generalizzate e i problemi legati al loro prodotto per poi presentare due metodi per affrontarlo, con esempi e risultati di particolare interesse. Vengono mostrati infine alcuni esempi fisici dove la soluzione richiede l'utilizzo di questo apparato matematico vertendo soprattutto sullo stretto legame tra il prodotto di funzioni generalizzate e la procedura della rinormalizzazione nella teoria dei campi quantistici.

Applicazione del metodo QDanet_PRO alla classificazione di dati omici

Il presente lavoro di tesi si pone nell'ambito dell'analisi dati attraverso un metodo (QDanet_PRO), elaborato dal Prof. Remondini in collaborazine coi Dott. Levi e Malagoli, basato sull'analisi discriminate a coppie e sulla Teoria dei Network, che ha come obiettivo la classificazione di dati contenuti in dataset dove il numero di campioni è molto ridotto rispetto al numero di variabili. Attraverso questo studio si vogliono identificare delle signature, ovvero un'insieme ridotto di variabili che siano in grado di classificare correttamente i campioni in base al comportamento delle variabili stesse. L'elaborazione dei diversi dataset avviene attraverso diverse fasi; si comincia con una un'analisi discriminante a coppie per identificare le performance di ogni coppia di variabili per poi passare alla ricerca delle coppie più performanti attraverso un processo che combina la Teoria dei Network con la Cross Validation. Una volta ottenuta la signature si conclude l'elaborazione con una validazione per avere un'analisi quantitativa del successo o meno del metodo.

TuCSoN on Cloud: Revisione dell'architettura

In questa tesi si revisiona l'architettura di TuCSoN on Cloud. Sono trattati i problemi riguardanti la gestione dei nodi TuCSoN su un cloud simulato su Cloudify; ovvero come sono memorizzati i vari tuple centre per ogni utente. É inoltre trattato il problema della concorrenza e della sicurezza, ovvero di come é gestita la password dell'utente.

Grafi aleatori - il modello di Erdos-Rényi

Dopo aver dato una definizione formale per il modello di Erdos-Rényi, si dimostra che in un grafo ER il grado dei nodi (misura della connessione) risulta essere una variabile aleatoria con distribuzione binomiale, mentre il clustering (misura della densità di archi a livello locale) tende a zero. Successivamente si determinano le funzioni soglia per alcune proprietà monotone particolarmente significative, consentendo così di descrivere diverse configurazioni possibili per un grafo ER al variare dei suoi parametri. Infine, si mostra come si possano utilizzare i grafi ER per modellizzare la diffusione di una malattia infettiva all’interno di una popolazione numerosa.

DTN discovery and routing: from space applications to terrestrial networks.

L'argomento di questa tesi è l'architettura di rete Delay-/Disruption-Tolerant Networking (DTN), progettata per operare nelle reti “challenged”, dove la suite di protocolli TCP/IP risulta inefficace a causa di lunghi ritardi di propagazione del segnale, interruzioni e disturbi di canale, ecc. Esempi di reti “challenged” variano dalle reti interplanetarie alle Mobile Ad-Hoc Networks (MANETs). Le principali implementazioni dell'architettura DTN sono DTN2, implementazione di riferimento, e ION, sviluppata da NASA JPL per applicazioni spaziali. Una grande differenza tra reti spaziali e terrestri è che nello spazio i movimenti dei nodi sono deterministici, mentre non lo sono per i nodi mobili terrestri, i quali generalmente non conoscono la topologia della rete. Questo ha portato allo sviluppo di diversi algoritmi di routing: deterministici per le reti spaziali e opportunistici per quelle terrestri. NASA JPL ha recentemente deciso di estendere l'ambito di applicazione di ION per supportare anche scenari non deterministici. Durante la tesi, svolta presso NASA JPL, mi sono occupato di argomenti diversi, tutti finalizzati a questo obiettivo. Inizialmente ho testato la nuova implementazione dell'algoritmo IP Neighbor Discovery (IPND) di ION, corretti i bug e prodotta la documentazione ufficiale. Quindi ho contribuito ad integrare il Contact Graph Routing (CGR) di ION nel simulatore DTN “ONE” utilizzando la Java Native Interface (JNI) come ponte tra il codice Java di ONE e il codice C di ION. In particolare ho adattato tutte le librerie di ION necessarie per far funzionare CGR all'interno dell'ambiente di ONE. Infine, dopo aver analizzato un dataset di tracce reali di nodi mobili, ho contribuito a progettare e a sviluppare OCGR, estensione opportunistica del CGR, quindi ne ho curato l'integrazione in ONE. I risultati preliminari sembrano confermare la validità di OCGR che, una volta messo a punto, può diventare un valido concorrente ai più rinomati algoritmi opportunistici.

Aspects of supergeometry in locally covariant quantum field theory

In questa tesi vengono presentati i piu recenti risultati relativi all'estensione della teoria dei campi localmente covariante a geometrie che permettano di descrivere teorie di campo supersimmetriche. In particolare, si mostra come la definizione assiomatica possa essere generalizzata, mettendo in evidenza le problematiche rilevanti e le tecniche utilizzate in letteratura per giungere ad una loro risoluzione. Dopo un'introduzione alle strutture matematiche di base, varieta Lorentziane e operatori Green-iperbolici, viene definita l'algebra delle osservabili per la teoria quantistica del campo scalare. Quindi, costruendo un funtore dalla categoria degli spazio-tempo globalmente iperbolici alla categoria delle *-algebre, lo stesso schema viene proposto per le teorie di campo bosoniche, purche definite da un operatore Green-iperbolico su uno spazio-tempo globalmente iperbolico. Si procede con lo studio delle supervarieta e alla definizione delle geometrie di background per le super teorie di campo: le strutture di super-Cartan. Associando canonicamente ad ognuna di esse uno spazio-tempo ridotto, si introduce la categoria delle strutture di super-Cartan (ghsCart) il cui spazio-tempo ridotto e globalmente iperbolico. Quindi, si mostra, in breve, come e possibile costruire un funtore da una sottocategoria di ghsCart alla categoria delle super *-algebre e si conclude presentando l'applicazione dei risultati esposti al caso delle strutture di super-Cartan in dimensione 2|2.