Sulla teoria delle frazioni continue

La tesi si propone di fornire una introduzione completa ai fondamenti della teoria delle frazioni continue (numeriche). Questo da' adito anche alla illustrazione e alla soluzione di vari problemi specialmente nell'ambito della teoria dei numeri che, in vari modi, si rifanno alle frazioni continue.

Biliardi Circolari con Trappole

Sistemi dinamici.

Implementazione di test di casualità in CrypTool

In questa tesi vengono introdotte le idee chiave della moderna crittografia, presentato il cifrario perfetto one-time pad e mostrate le criticità che l’utilizzo di tale schema presenta. L’idea di schemi di cifratura matematicamente sicuri deve essere superata a favore di schemi computazionalmente sicuri. A questo proposito diventa cruciale il concetto di pseudocasualità: come la sicurezza computazionale è un indebolimento della sicurezza perfetta, così la pseudocasualità è un indebolimento della pura casualità. E' quindi necessario avere dei metodi per definire la bontà di un generatore pseudocasuale di numeri. Il National Institute of Standars and Technology fornisce alcuni criteri per caratterizzare e scegliere generatori appropriati sulla base di test statistici. Alcuni di questi test sono stati implementati all’interno del portale di apprendimento CrypTool sviluppato da alcune Università e centri di ricerca di Germania e Austria.

Verso una teoria delle differenze tra documenti semi-strutturati

I sistemi di versionamento moderni quali "git" o "svn" sono ad oggi basati su svariati algoritmi di analisi delle differenze (detti algoritmi di diffing) tra documenti (detti versioni). Uno degli algoritmi impiegati con maggior successo a tal proposito è il celebre "diff" di Unix. Tale programma è in grado di rilevare le modifiche necessarie da apportare ad un documento al fine di ottenerne un altro in termini di aggiunta o rimozione di linee di testo. L'insieme di tali modifiche prende nome di "delta". La crescente richiesta e applicazione dei documenti semi-strutturati (ed in particolar modo dei documenti XML) da parte della comunità informatica soprattutto in ambito web ha motivato la ricerca di algoritmi di diffing più raffinati che operino al meglio su tale tipologia di documenti. Svariate soluzioni di successo sono state discusse; algoritmi ad alte prestazioni capaci di individuare differenze più sottili della mera aggiunta o rimozione di testo quali il movimento di interi nodi, il loro riordinamento finanche il loro incapsulamento e così via. Tuttavia tali algoritmi mancano di versatilità. L'incapsulamento di un nodo potrebbe essere considerata una differenza troppo (o troppo poco) generale o granulare in taluni contesti. Nella realtà quotidiana ogni settore, pubblico o commerciale, interessato a rilevare differenze tra documenti ha interesse nell'individuarne sempre e soltanto un sottoinsieme molto specifico. Si pensi al parlamento italiano interessato all'analisi comparativa di documenti legislativi piuttosto che ad un ospedale interessato alla diagnostica relativa alla storia clinica di un paziente. Il presente elaborato di tesi dimostra come sia possibile sviluppare un algoritmo in grado di rilevare le differenze tra due documenti semi-strutturati (in termini del più breve numero di modifiche necessarie per trasformare l'uno nell'altro) che sia parametrizzato relativamente alle funzioni di trasformazione operanti su tali documenti. Vengono discusse le definizioni essenziali ed i principali risultati alla base della teoria delle differenze e viene dimostrato come assunzioni più blande inducano la non calcolabilità dell'algoritmo di diffing in questione.

Separation control by means of oriented DBD plasma actuators: an experimental analysis in a wind tunnel

This thesis provides an experimental analysis of the effectiveness of oriented DBD plasma actuators over a NACA 0015 airfoil at low Reynolds numbers. Tests were performed in partnership with the Department of Electrical Engineering of Bologna University, in the wind tunnel of the Applied Aerodynamics Laboratory of Aerospace Engineering faculty. Lift coefficient measurements were carried out in order to verify how an oriented plasma jet succeeds in prevent boundary layer separation. Both actuators’ chord wise position and plasma jet orientation angle have been investigated to examine which configurations lead to the best results. A particular attention has been paid also to the analysis of results in steady and unsteady plasma actuation. Questa tesi offre un’analisi sperimentale sull’efficacia di attuatori al plasma orientabili, basati su una tecnologia DBD, installati su un profilo alare NACA 0015, a bassi numeri di Reynolds. Le prove sono state condotte in collaborazione con il Dipartimento di Ingegneria Elettrica dell’Università di Bologna, nella galleria del vento del Laboratorio di Aerodinamica Applicata della Facoltà di Ingegneria Aerospaziale di Forlì. Per verificare come un getto orientabile di plasma riesca a prevenire la separazione dello strato limite, sono state eseguite misure sul coefficiente di portanza. Sono state indagate sia la posizione degli attuatori lungo la corda che l’angolo con cui è orientato il getto di plasma, per vedere quali configurazioni conducono ai migliori risultati. Una particolare attenzione è stata riservata all’analisi dei risultati ottenuti con plasma continuo e pulsato.

Integrazione p-adica e teorema di Igusa

Questa tesi si prefigge lo scopo di dimostrare il teorema di Igusa. Inizia introducendo algebricamente i numeri p-adici e ne dà una rappresentazione grafica. Sviluppa poi un integrale definito dalla misura di Haar, invariante per traslazione e computa alcuni esempi. Utilizza il blow up come strumento per la risoluzione di alcuni integrali ed enuncia un'applicazione del teorema di Hironaka sulla risolubilità delle singolarità. Infine usa questi risultati per dimostrare il teorema di Igusa.

A numerical study of turbulent Rayleigh-Bénard convection

Il flusso di Rayleigh-Bénard, costituito da un fluido racchiuso fra due pareti a diversa temperatura, rappresenta il paradigma della convezione termica. In natura e nelle applicazioni industriali, il moto convettivo avviene principalmente in regime turbolento, rivelando un fenomeno estremamente complesso. L'obiettivo principale di questo elaborato di tesi consiste nell'isolare e descrivere gli aspetti salienti di un flusso turbolento di Rayleigh-Bénard. L'analisi è applicata a dati ottenuti da tre simulazioni numeriche dirette effettuate allo stesso numero di Rayleigh (Ra=10^5) e a numeri di Prandtl differenti (Pr=0.7,2,7). Sulla base di alcune statistiche a singolo punto, vengono definite nel flusso tre regioni caratteritiche: il bulk al centro della cella, lo strato limite termico e quello viscoso in prossimità delle pareti. Grazie all'analisi dei campi istantanei e delle correlazioni spaziali a due punti, sono state poi individuate due strutture fondamentali della convezione turbolenta: le piume termiche e la circolazione a grande scala. L'equazione generalizzata di Kolmogorov, introdotta nell'ultima parte della trattazione, permette di approcciare il problema nella sua complessità, visualizzando come l'energia cinetica viene immessa, si distribuisce e viene dissipata sia nello spazio fisico, sia in quello delle scale turbolente. L'immagine che emerge dall'analisi complessiva è quella di un flusso del tutto simile a una macchina termica. L'energia cinetica viene prodotta nel bulk, considerato il motore del flusso, e da qui fluisce verso le pareti, dove viene infine dissipata.

Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.

Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Il problema della primalità in complessità computazionale

Questa tesi vuole fornire un'introduzione alla complessità computazionale e allo studio dei numeri primi riferito a questa materia. Si tratterà della Macchina di Turing e della sua importanza per calcolabilità e complessità, introducendo le classi P ed NP. Queste saranno approfondite studiando prima la classe di problemi NP-completi e successivamente fornendo alcuni esempi importanti. Nella parte finale ci si occuperà esplicitamente del problema dei numeri primi e si guarderà da vicino l'algoritmo AKS, dimostrandone la correttezza.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Generatore di entropia basato su dinamica caotica con interfaccia usb

È impossibile implementare sorgenti autenticamente casuali su hardware digitale. Quindi, storicamente, si è fatto ampio uso di generatori di numeri pseudo-casuali, evitando così i costi necessari per la progettazione di hardware analogico dedicato. Tuttavia, le sorgenti pseudo-casuali hanno proprietà (riproducibilità e periodicità) che si trasformano in vulnerabilità, nel caso in cui vengano adottate in sistemi di sicurezza informatica e all’interno di algoritmi crittografici. Oggi la richiesta di generatori di numeri autenticamente casuali è ai suoi massimi storici. Alcuni importanti attori dell’ICT sviluppato proprie soluzioni dedicate, ma queste sono disponibili solo sui sistemi moderni e di fascia elevata. È quindi di grande attualità rendere fruibili generatori autenticamente casuali per sistemi già esistenti o a basso costo. Per garantire sicurezza e al tempo stesso contenere i costi di progetto è opportuno pensare ad architetture che consentano di riusare parti analogiche già disponibili. Particolarmente interessanti risultano alcune architetture che, grazie all’utilizzo di dinamiche caotiche, consentono di basare buona parte della catena analogica di elaborazione su ADC. Infatti, tali blocchi sono ampiamente fruibili in forma integrata su architetture programmabili e microcontrollori. In questo lavoro, si propone un’implementazione a basso costo ed elevata flessibilità di un architettura basata su un ADC, inizialmente concepita all’Università di Bologna. La riduzione di costo viene ottenuta sfruttando il convertitore già presente all’interno di un microcontrollore. L’elevata flessibilità deriva dal fatto che il microcontrollore prescelto mette a disposizione una varietà di interfacce di comunicazione, tra cui quella USB, con la quale è possibile rendere facilmente fruibili i numeri casuali generati. Quindi, l’intero apparato comprende solo un microcontrollore e una minima catena analogica di elaborazione esterna e può essere interfacciato con estrema facilità ad elaboratori elettronici o sistemi embedded. La qualità della proposta, in termini di statistica delle sequenze casuali generate, è stata validata sfruttando i test standardizzati dall’U.S. NIST.

Il concetto di funzione. Una proposta didattica di approccio coordinato fra matematica e fisica

Da anni l’insegnamento “trasmissivo” delle scienze è messo in discussione e le ricerche condotte su grandi numeri di studenti di diverso livello scolare ne stanno dimostrando la scarsa efficacia. Si è cercato di documentare e interpretare le difficoltà esistenti per trovare soluzioni che garantiscano un apprendimento significativo. Il lavoro di tesi cerca di mettere a punto una proposta efficace per una formazione iniziale su un concetto matematico significativo: la funzione. Il percorso che presentiamo si sviluppa a partire da un’esperienza didattica in una terza secondaria inferiore in cui il passaggio dalla fase percettiva a quella più formale è affiancato dalla rappresentazione grafica relativa al moto del proprio corpo. L’attività ha permesso di avvicinare gli studenti ai fenomeni partendo da situazioni reali, di indagare le regolarità dei grafici, interpretare la relazione tra le grandezze e ha permesso a ciascuno di costruirsi un modello intuitivo. La proposta didattica si rivolge agli studenti più grandi del biennio della secondaria superiore ed è risultato abbastanza naturale adattare le prime fasi alla pre-sperimentazione. Si introduce la dipendenza lineare tra due variabili associandola ad un grafico rettilineo e si definisce la relazione che lega le variabili spazio temporali. Il passaggio al concetto di limite viene delineato attraverso l’ingrandimento e l’approssimazione della curva senza necessariamente introdurre rigore e formalismo ma sottolineando la finezza del significato matematico e il senso del procedimento. Tale proposta è un intreccio di contenuti matematici e fisici che avvicina gli studenti allo studio e alla comprensione della realtà di cui fanno parte.

Misura di Hausdorff e frattali

In questa tesi sono presentate la misura e la dimensione di Hausdorff, gli strumenti matematici che permettono di descrivere e analizzare alcune delle più importanti proprietà degli insiemi frattali. Inoltre viene introdotto il carattere di autosimilarità, comune a questi insiemi, e vengono mostrati alcuni tra i più noti esempi di frattali, come l'insieme di Cantor, la curva di Koch, l'insieme di Mandelbrot e gli insiemi di Julia. Di quest'ultimi sono presenti immagini ottenute tramite un codice Matlab.